第57講直線、平面垂直的判定與性質(zhì)夯實基礎(chǔ)【p130】【學(xué)習(xí)目標】1．掌握空間中線面垂直位置關(guān)系的定義、判定定理與有關(guān)性質(zhì)；運用公理、定理證明或判定空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題．不論何種“垂直”都能化歸到“線線垂直”．2．會應(yīng)用“化歸思想”進行“線線垂直問題、線面垂直問題、面面垂直問題”的互相轉(zhuǎn)化．【基礎(chǔ)檢測】1．已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n【解析】對于A，m與l可能平行或異面，故A錯；對于B、D，m與n可能平行、相交或異面，故B、D錯；對于C，因為n⊥β，l?β，所以n⊥l，故C正確．【答案】C2．已知直線a?α，則α⊥β是a⊥β的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】由面面垂直的判定定理可得a?α，a⊥β?α⊥β，反之不成立，∴直線a?α，則α⊥β是a⊥β的必要不充分條件．【答案】B3．下面命題中：①兩平面相交，如果所成的二面角是直角，則這兩個平面垂直；②一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面一定垂直；③一直線與兩平面中的一個平行與另一個垂直，則這兩個平面垂直；④一平面與兩平行平面中的一個垂直，則與另一個平面也垂直；⑤兩平面垂直，經(jīng)過第一個平面上一點垂直它們交線的直線必垂直第二個平面．其中正確命題的個數(shù)有()A．2個B．3個C．4個D．5個【解析】由直線與平面、平面與平面垂直的判定和性質(zhì)知，命題①②③④正確．【答案】C4．在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是()A．①B．①②C．②③D．④【解析】在①中，設(shè)平面BCD上的另一個頂點為A1，連接BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，則CD⊥平面ABA1，故CD⊥AB，②③④均不能推出AB⊥CD.【答案】A5．α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題____________________．【解析】考慮如圖所示的直觀模型，將圖①固定，圖②進行平移或旋轉(zhuǎn)，從而把α與β的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為研究m、n的位置關(guān)系，于是易得如下正確命題：(1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,β⊥α))?m∥β或m?β，又m?β?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥β,n⊥β))?m⊥n.∴②③④?①.(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥n))?n∥α或n?α，又n?α?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(n∥α,n⊥β))?α⊥β.∴①③④?②.【答案】②③④?①(或①③④?②)【知識要點】1．直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的定義(1)如果兩條異面直線所成的角是直角，則這兩條異面直線垂直．(2)如果一條直線和平面內(nèi)__任意一條直線__都垂直，那么這條直線和這個平面垂直．(3)兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直．2．直線與平面、平面與平面垂直的判定定理(1)直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．即a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.(2)平面與平面垂直判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．即a⊥β，a?α?α⊥β.3．直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．即a⊥α，b⊥α?a∥b．(2)平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．即α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，a?α?a⊥β.典例剖析【p131】考點1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)eq\a\vs4\al(例1)如圖①、②，已知異面直線a，b的公垂線為AB，試證：(1)若a，b都平行于平面α，則AB⊥α；(2)若a，b分別垂直于平面α，β，設(shè)α∩β＝c，則AB∥c.【解析】(1)在平面α內(nèi)任取一點P，設(shè)直線a與P確定的平面與α相交于a′，直線b與P確定的平面與α相交于b′.∵a∥α，b∥α，∴a∥a′，b∥b′，又AB⊥a，AB⊥b，∴AB⊥a′，AB⊥b′，∴AB⊥α.(2)過B作直線BB′⊥α，則BB′與b是相交直線，設(shè)BB′與b確定平面γ.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BB′⊥α,c?α))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(BB′⊥c,b⊥c))?c⊥γ，BB′⊥α?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥BB′,AB⊥a))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AB⊥BB′,AB⊥b))?AB⊥γ，?AB∥c.【點評】1.證明線面垂直的方法主要有：①利用線面垂直的定義：a與α內(nèi)任何直線垂直?a⊥α；②利用判定定理：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α，n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α.③利用第二個判定定理：a∥b，a⊥α?b⊥α；④利用面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，a⊥α?a⊥β.⑤利用面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.2．由已知想性質(zhì)，即根據(jù)條件得出結(jié)論——應(yīng)用性質(zhì)．考點2平面與平面垂直的判定與性質(zhì)eq\a\vs4\al(例2)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中點，沿DE將△ADE折起．(1)如果二面角A′－DE－C是直二面角，求證：A′B＝A′C；(2)如果A′B＝A′C，求證：平面A′DE⊥平面BCDE.【解析】(1)如圖，過點A′作A′M⊥DE于點M，則A′M⊥平面BCDE，所以A′M⊥BC.又A′D＝A′E，所以M是DE的中點．取BC的中點N，連接MN，A′N，則MN⊥BC.又A′M⊥BC，A′M∩MN＝M，所以BC⊥平面A′MN，所以A′N⊥BC.又因為N是BC的中點，所以A′B＝A′C.(2)如圖，取BC的中點N，連接A′N.因為A′B＝A′C，所以A′N⊥BC.取DE的中點M，連接MN，A′M，所以MN⊥BC.又A′N∩MN＝N，所以BC⊥平面AMN，所以A′M⊥BC.又M是DE的中點，A′D＝A′E，所以A′M⊥DE.又因為DE與BC是平面BCDE內(nèi)的相交直線，所以A′M⊥平面BCDE.因為A′M在平面A′DE內(nèi)，所以平面A′DE⊥平面BCDE.【點評】1.證明面面垂直的方法有：①利用定義：α和β所成的二面角為直二面角?α⊥β；②利用判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.2．掌握性質(zhì)定理：①α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β，用來證明線面垂直，也用來確定點到平面的垂線段；②α⊥β，點P∈α，P∈a，a⊥β?a?α.3．注意轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用．考點3垂直關(guān)系中的探索性問題eq\a\vs4\al(例3)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，各個側(cè)面均是邊長為2的正方形．D為線段AC的中點．(1)求證：BD⊥平面ACC1A1；(2)求證：直線AB1∥平面BC1D；(3)設(shè)M為線段BC1上任意一點，在△BC1D內(nèi)的平面區(qū)域(包括邊界)是否存在點E，使CE⊥DM？請說明理由．【解析】(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1中，各個側(cè)面均是邊長為2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥平面ABC，又∵BD?平面ABC，∴CC1⊥BD，又底面為等邊三角形，D為線段AC的中點，∴BD⊥AC，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1A1.(2)連接B1C交BC1于O，連接OD，則O為B1C的中點，∵D是AC的中點，∴OD∥AB1，又OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴直線AB1∥平面BC1D.(3)在△BC1D內(nèi)的平面區(qū)域(包括邊界)存在點E，使CE⊥DM，此時E在線段C1D上，證明如下：過C作CE⊥C1D交線段C1D與E，由(1)可知，BD⊥平面ACC1A1，而CE?平面ACC1A1，∴BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D＝D，得CE⊥平面BC1D，∵DM?平面BC1D，∴CE⊥DM.【點評】解決探究某些點或線的存在性問題，一般方法是先研究特殊點(中點、三等分點等)、特殊位置(平行或垂直)，再證明其符合要求，一般來說是與平行有關(guān)的探索性問題常常尋找三角形的中位線或平行四邊形．對于是否存在問題，首先要分析條件，看結(jié)論需要的條件已有哪些，分析欲使結(jié)論成立，還需要什么條件，結(jié)合所求，不難作出輔助線．方法總結(jié)【p132】1．證明直線與平面垂直常運用判定定理，即轉(zhuǎn)化為線線的垂直關(guān)系來證明．2．證明線面垂直的方法主要有(以下A，P表示點，m，n，l，a，b表示直線，α，β表示平面)：(1)利用線面垂直的定義：a與α內(nèi)任何直線垂直?a⊥α；(2)利用判定定理：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m，n?α，m∩n＝A,l⊥m，l⊥n))?l⊥α；(3)利用第二判定定理：a∥b，a⊥α，則b⊥α；(4)利用面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，a⊥α，則a⊥β.(5)利用面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，則a⊥β.3．面面垂直的證明方法：(1)利用定義：α和β所成的二面角為直二面角?α⊥β；(2)利用判定定理：若a⊥β，a?α，則α⊥β.4．性質(zhì)定理的恰當應(yīng)用：(1)若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，則a⊥β，用來證明線面垂直，也用來確定點到平面的垂線段；(2)若α⊥β，點P∈α，P∈a，a⊥β，則a?α.5．垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序線線垂直?線面垂直?面面垂直．走進高考【p132】1．(2018·全國卷Ⅲ)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在平面與半圓弧eq\o(CD,\s\up8(︵))所在平面垂直，M是eq\o(CD,\s\up8(︵))上異于C，D的點．(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)當三棱錐M－ABC體積最大時，求平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值．【解析】(1)由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因為M為eq\o(CD,\s\up8(︵))上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM?平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)以D為坐標原點，eq\o(DA,\s\up6(→))的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz.當三棱錐M－ABC體積最大時，M為eq\o(CD,\s\up8(︵))的中點．由題設(shè)得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2，1，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，2，0)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝(2，0，0)．設(shè)n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(AM,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＋z＝0，,2y＝0.))可得n＝(1，0，2)．eq\o(DA,\s\up6(→))是平面MCD的法向量，因此cosn，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(n·\o(DA,\s\up6(→)),|n||\o(DA,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(5),5)，sinn，eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\f(2\r(5),5)，所以平面MAB與平面MCD所成二面角的正弦值是eq\f(2\r(5),5).2．(2018·全國卷Ⅱ)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且二面角M－PA－C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值．【解析】(1)因為AP＝CP＝AC＝4，O為AC的中點，所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2eq\r(3).連結(jié)OB.因為AB＝BC＝eq\f(\r(2),2)AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝eq\f(1,2)AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)如圖，以O(shè)為坐標原點，eq\o(OB,\s\up6(→))的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系O－xyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，－2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2eq\r(3))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，2，2eq\r(3))，取平面PAC的法向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，0，0)．設(shè)M(a，2－a，0)(0<a≤2)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(a，4－a，0)．設(shè)平面PAM的法向量為n＝(x，y，z)．由eq\o(AP,\s\up6(→))·n，eq\o(AM,\s\up6(→))·n＝0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2y＋2\r(3)z＝0，,ax＋（4－a）y＝0，))可取n＝(eq\r(3)(a－4)，eq\r(3)a，－a)，所以cos〈eq\o(OB,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(2\r(3)（a－4）,2\r(3（a－4）2＋3a2＋a2)).由已知得|cos〈eq\o(OB,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(\r(3),2).所以eq\f(2\r(3)|a－4|,2\r(3（a－4）2＋3a2＋a2))＝eq\f(\r(3),2).解得a＝－4(舍去)，a＝eq\f(4,3).所以n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8\r(3),3)，\f(4\r(3),3)，－\f(4,3))).又eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0，2，－2eq\r(3))，所以cos〈eq\o(PC,\s\up6(→))，n〉＝eq\f(\r(3),4).所以PC與平面PAM所成角的正弦值為eq\f(\r(3),4).考點集訓(xùn)【p248】A組題1．直線a⊥平面α，直線b∥α，則a與b的關(guān)系是()A．a(chǎn)∥bB．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)、b異面D．a(chǎn)、b相交【解析】設(shè)法在平面α內(nèi)尋求一條直線與b平行．【答案】B2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法中：①若m⊥α，m⊥β，則α∥β；②若m∥α，α∥β，則m∥β；③若m⊥α，m∥β，則α⊥β；④若m∥α，n⊥m，則n⊥α.所有正確說法的序號是()A．②③④B．①③C．①②D．①③④【解析】①若m⊥α，m⊥β，則α∥β，顯然一條直線垂直兩不同平面，則這兩個平面平行，所以正確；②若m∥α，α∥β，則m∥β，這種情況要排除m在面β內(nèi)，所以錯誤；③若m⊥α，m∥β，則α⊥β，顯然成立；④若m∥α，n⊥m，則n⊥α，此種情況n可以和α平行或相交或在α內(nèi)，故錯誤．【答案】B3．已知α，β，γ為不同的平面，m，n為不同的直線，則m⊥β的一個充分條件是()A．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γB．α⊥β，β⊥γ，m⊥αC．α⊥β，α∩β＝n，m⊥nD．n⊥α，n⊥β，m⊥α【解析】A、B、C項錯誤，滿足條件的m和平面β可能平行；D項正確，n⊥α，n⊥β?α∥β，結(jié)合m⊥α知m⊥β.【答案】D4．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD?平面ADC，CD?平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.【答案】D5．ABCD是正方形，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，則平面PAB、平面PBC、平面PDC、平面PAD、平面ABCD這五個平面中，互相垂直的平面有________對．【解析】如圖，可得平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，共5對．【答案】56．下列五個正方體圖形中，l是正方體的一條對角線，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出l⊥面MNP的圖形的序號是________．(寫出所有符合要求的圖形序號)【解析】①、④易判斷，⑤中△PMN是正三角形且AM＝AP＝AN，因此三棱錐A－PMN是正三棱錐．所以圖⑤中l(wèi)⊥平面MNP，由此法，還可否定③，∵AM≠AP≠AN.也易否定②.故填①④⑤.【答案】①④⑤7．如圖，三棱錐P－ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA＝90°，PB＝BC＝CA＝2，E為PC的中點，點F在PA上，且2PF＝FA.(1)求證：平面PAC⊥平面BEF；(2)求三棱錐A－BFC的體積．【解析】(1)∵PB⊥底面ABC，且AC?底面ABC，∴AC⊥PB，由∠BCA＝90°，可得AC⊥CB，又∵PB∩CB＝B，∴AC⊥平面PBC.注意到BE?平面PBC，∴AC⊥BE，∵PB＝BC，E為PC中點，∴BE⊥PC，∵PC∩AC＝C，∴BE⊥平面PAC.而BE?平面BEF，∴平面PAC⊥平面BEF.(2)VA－BFC＝VF－ABC，作FH∥PB，∵PB⊥平面ABC，∴FH⊥平面ABC，F(xiàn)H＝eq\f(4,3)，∴VF－ABC＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·2·2·eq\f(4,3)＝eq\f(8,9).8．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝eq\r(2)，D是A1B1的中點．(1)求證：C1D⊥平面AA1B1B；(2)當點F在BB1上的什么位置時，AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．【解析】(1)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中點，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D?平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于點E，延長DE交BB1于點F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點F即所求．事實上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝eq\r(2)，∴四邊形AA1B1B為正方形．又D為A1B1的中點，DF⊥AB1，∴F為BB1的中點，∴當點F為BB1的中點時，AB1⊥平面C1DF.B組題1．某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的各面中互相垂直的面的對數(shù)是()A．2B．4C．6D．8【解析】由三視圖還原直觀圖，知該幾何體是正方體截去兩個三棱柱后剩余的平行六面體ABCD－A1B1C1D1，如圖所示．顯然，上、下兩個底面都與前、后兩個側(cè)面垂直，即4對面面垂直；左、右兩個側(cè)面均與前、后兩個側(cè)面垂直，即4對面面垂直．綜上得面面垂直的位置關(guān)系共有8對．【答案】D2．在棱長為1的正方體ABCD－A′B′C′D′中，E是AA′的中點，P是三角形BDC′內(nèi)的動點，EP⊥BC′，則P的軌跡長為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(3\r(2),4)D.eq\f(\r(6),4)【解析】先找到一個平面總是保持與BC′垂直，取BB′，BC，AD的中點F，H，G.連接EF，F(xiàn)H，EG，GH，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，有BC′⊥面EFHG，又P是三角形BDC′內(nèi)的動點，根據(jù)平面的基本性質(zhì)得：點P的軌跡為面EFHG與面BDC′的交線段MN，在直角三角形MNH中，NH＝eq\f(1,2)，MH＝eq\f(\r(2),4).∴MN＝eq\r(\f(1,4)＋\f(1,8))＝eq\f(\r(6),4).【答案】