第74講參數(shù)方程夯實(shí)基礎(chǔ)【p168】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解曲線參數(shù)方程的意義，掌握直線、圓及圓錐曲線的參數(shù)方程，會應(yīng)用參數(shù)方程解決有關(guān)的問題．2．掌握參數(shù)方程與普通方程的互化，會根據(jù)已知給出的參數(shù)，依據(jù)條件建立參數(shù)方程．【基礎(chǔ)檢測】1．將參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝sin2θ))(θ為參數(shù))化為普通方程為()A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)【解析】消去參數(shù)，轉(zhuǎn)化為普通方程得y＝x－2，其中x∈[2，3]，y∈[0，1]．故選C.【答案】C2．參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝2))(t為參數(shù))表示的曲線是________．【解析】由x＝t＋eq\f(1,t)知x≥2或x≤－2，∴曲線方程為y＝2(x≥2或x≤－2)，表示兩條射線．【答案】兩條射線3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))的右焦點(diǎn)，且與直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4－2t，,y＝3－t))(t為參數(shù))平行的直線截橢圓所得的弦長為________．【解析】橢圓的普通方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)．直線的普通方程為x－2y＋2＝0，過點(diǎn)(1，0)與直線x－2y＋2＝0平行的直線方程為x－2y－1＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x－2y－1＝0))得4x2－2x－11＝0，所以所求的弦長為eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,4))))＝eq\f(15,4).【答案】eq\f(15,4)4．已知直線l1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－2t，,y＝2＋kt))(t為參數(shù))與直線l2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝s，,y＝1－2s))(s為參數(shù))垂直，求k的值．【解析】直線l1的普通方程為y＝－eq\f(k,2)x＋eq\f(4＋k,2)，斜率為－eq\f(k,2)；直線l2的普通方程為y＝－2x＋1，斜率為－2.∵l1與l2垂直，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)))×(－2)＝－1?k＝－1.【知識要點(diǎn)】1．參數(shù)方程的定義在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即__eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t）,y＝g（t）))__，并且對于t的每一個允許值，由該方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么此方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．2．參數(shù)方程和普通方程的互化由參數(shù)方程化為普通方程：__消去參數(shù)__，消參數(shù)的方法有代入法、加減(或乘除)消元法、三角代換法等．如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f（t），,y＝g（t）))就是曲線的參數(shù)方程，在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致．3．直線、圓錐曲線的普通方程和參數(shù)方程軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)，點(diǎn)斜式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosθ，,y＝y(tǒng)0＋tsinθ))(t為參數(shù))圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ))(θ為參數(shù))橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數(shù))雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,cosθ)，,y＝btanθ))(θ為參數(shù))拋物線y2＝2px(p>0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數(shù))典例剖析【p168】考點(diǎn)1參數(shù)方程與普通方程的互化eq\a\vs4\al(例1)已知曲線C1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－t，,y＝\f(4＋2t,3)))(t為參數(shù))．(1)將曲線C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；(2)求曲線C1上的點(diǎn)到曲線C2的距離的最大值和最小值．【解析】(1)曲線C1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，則cosθ＝eq\f(x,2)，∵sin2θ＋cos2θ＝1，可得eq\f(x2,4)＋y2＝1，∴曲線C1的普通方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1；曲線C2的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－t，,y＝\f(4＋2t,3)))(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，t＝3－x，代入y＝eq\f(4＋2（3－x）,3)，即2x＋3y－10＝0，∴曲線C2的普通方程是2x＋3y－10＝0.(2)設(shè)點(diǎn)P(2cosθ，sinθ)為曲線C1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線2x＋3y－10＝0的距離為d，則d＝eq\f(|4cosθ＋3sinθ－10|,\r(13))＝eq\f(|5sin（θ＋φ）－10|,\r(13))，∵sin(θ＋φ)∈[－1，1]，∴d∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5\r(13),13)，\f(15\r(13),13)))，∴dmax＝eq\f(15\r(13),13)，dmin＝eq\f(5\r(13),13).【點(diǎn)評】(1)將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法與加減消元法．(2)把參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個量是參數(shù)，以及參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響．考點(diǎn)2直線與圓的參數(shù)方程及應(yīng)用eq\a\vs4\al(例2)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2與C3的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．【解析】(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2eq\r(3)x＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的極坐標(biāo)為(2sinα，α)，B的極坐標(biāo)為(2eq\r(3)cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).當(dāng)α＝eq\f(5π,6)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.【點(diǎn)評】(1)過定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y(tǒng)0＋tsinα))(t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點(diǎn)P到點(diǎn)P0(x0，y0)的數(shù)量，即|t|＝|PP0|時(shí)為距離．使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1、P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為eq\f(1,2)(t1＋t2)．(2)對于形如eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))，當(dāng)a2＋b2≠1時(shí)，應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式后才能利用t的幾何意義解題．考點(diǎn)3參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的綜合問題eq\a\vs4\al(例3)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點(diǎn)P(－4，0)，傾斜角為α，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是4ρ2sin2θ＋ρ2cos2θ－4＝0.(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)|PA|·|PB|最大時(shí)，求出直線l的直角坐標(biāo)方程．【解析】(1)直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入曲線C的極坐標(biāo)方程可得直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程可得(4sin2α＋cos2α)t2－(8cosα)t＋12＝0，因?yàn)橛袃蓚€交點(diǎn)，所以Δ＝64cos2α－48(4sin2α＋cos2α)>0，解得0≤sin2α＜eq\f(1,13)，∵|PA|·|PB|＝|t1t2|＝eq\f(12,4sin2α＋cos2α)＝eq\f(12,3sin2α＋1)，∴當(dāng)sinα＝0時(shí)，|PA|·|PB|最大，此時(shí)k＝tanα＝0，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝0.方法總結(jié)【p169】1．選取參數(shù)時(shí)的一般原則是：(1)x，y與參數(shù)的關(guān)系較明顯，并列出關(guān)系式；(2)當(dāng)參數(shù)取一值時(shí)，可唯一確定x，y的值；(3)在研究與時(shí)間有關(guān)的運(yùn)動物體時(shí)，常選時(shí)間作為參數(shù)；在研究旋轉(zhuǎn)物體時(shí)，常選用旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù)；此外，也常用線段的長度、傾斜角、斜率、截距等作為參數(shù)．2．求曲線的參數(shù)方程常常分成以下幾步：(1)建立直角坐標(biāo)系，在曲線上設(shè)任意一點(diǎn)P(x，y)；(2)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)；(3)找出x，y與參數(shù)的關(guān)系，列出解析式；(4)證明(常常省略)．3．根據(jù)直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論：(1)若M1，M2為l上任意兩點(diǎn)，M1，M2對應(yīng)t的值分別為t1，t2，則|M1M2|＝|t1－t2|；(2)若M0為線段M1M2的中點(diǎn)，則有t1＋t2＝0；(3)若線段M1M2的中點(diǎn)為M，則M0M＝tM＝eq\f(t1＋t2,2).一般地，若點(diǎn)P分線段M1M2所成的比為λ，則tP＝eq\f(t1＋λt2,1＋λ).4．直線的參數(shù)方程的一般式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))(t為參數(shù))，是過點(diǎn)M0(x0，y0)，斜率為eq\f(b,a)的直線的參數(shù)方程．當(dāng)且僅當(dāng)a2＋b2＝1且b≥0時(shí)，才是標(biāo)準(zhǔn)方程，t才具有標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義．將非標(biāo)準(zhǔn)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y(tǒng)0＋bt))化為標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0±\f(|a|,\r(a2＋b2))t′，,y＝y(tǒng)0＋\f(|b|,\r(a2＋b2))t′))(t′∈R)，式中“±”號，當(dāng)a，b同號時(shí)取正；當(dāng)a，b異號時(shí)取負(fù)．5．參數(shù)方程與普通方程互化時(shí)，要注意：(1)不是所有的參數(shù)方程都能化為普通方程；(2)在化參數(shù)方程為普通方程時(shí)變量的范圍不能擴(kuò)大或縮??；(3)把普通方程化為參數(shù)方程時(shí)，由于參數(shù)選擇的不同而不同，參數(shù)的選擇是由具體的問題來決定的．6．在已知圓、橢圓、雙曲線和拋物線上取一點(diǎn)可考慮用其參數(shù)方程設(shè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解．7．在直線與圓和圓錐曲線位置關(guān)系問題中，涉及距離問題探求可考慮應(yīng)用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解．8．在求某些動點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，直接尋找x，y的關(guān)系困難，甚至找不出時(shí)，可以通過引入?yún)?shù)，建立動點(diǎn)的參數(shù)方程后求解．走進(jìn)高考【p170】1．(2017·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t為參數(shù))．(1)若a＝－1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為eq\r(17)，求a.【解析】(1)曲線C的普通方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l的普通方程為x＋4y－3＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25).))從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,25)，\f(24,25))).(2)直線l的普通方程為x＋4y－a－4＝0，故C上的點(diǎn)(3cosθ，sinθ)到l的距離為d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17)).當(dāng)a≥－4時(shí)，d的最大值為eq\f(a＋9,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(a＋9,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝8；當(dāng)a<－4時(shí)，d的最大值為eq\f(－a＋1,\r(17)).由題設(shè)得eq\f(－a＋1,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝－16.綜上，a＝8或a＝－16.2．(2018·全國卷Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ為參數(shù))，過點(diǎn)(0，－eq\r(2))且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)．(1)求α的取值范圍；(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．【解析】(1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝1.當(dāng)α＝eq\f(π,2)時(shí)，l與⊙O交于兩點(diǎn)．當(dāng)α≠eq\f(π,2)時(shí)，記tanα＝k，則l的方程為y＝kx－eq\r(2).l與⊙O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),\r(1＋k2))))<1，解得k<－1或k>1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).綜上，α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).(2)l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t為參數(shù)，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB滿足t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα.又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα.))所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α為參數(shù)，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).考點(diǎn)集訓(xùn)【p278】A組題1．求直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t為參數(shù))被曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))所截得的弦長．【解析】直線方程可化為eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0，曲線方程可化為x2＋eq\f(y2,3)＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x＋\r(3)，,x2＋\f(y2,3)＝1，))得x2－x＝0，∴x＝0或x＝1.可得交點(diǎn)為A(0，eq\r(3))，B(1，0)．∴AB＝eq\r(1＋3)＝2.∴所截得的弦長為2.2．直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4＋at，,y＝bt))(t為參數(shù))與圓eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\r(3)cosθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ為參數(shù))相切，求切線的傾斜角．【解析】直線的普通方程為bx－ay－4b＝0，圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝3，直線與圓相切，則圓心(2，0)到直線的距離為eq\r(3)，從而有eq\r(3)＝eq\f(|2b－a·0－4b|,\r(a2＋b2))，即3a2＋3b2＝4b2，∴b＝±eq\r(3)a，而直線的傾斜角的正切值為tanα＝eq\f(b,a)，∴tanα＝±eq\r(3)，因此切線的傾斜角為eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).3．已知直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t－\r(2)，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求以極點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程．【解析】∵直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋eq\r(2)＝0.∴原點(diǎn)到直線的距離r＝eq\f(\r(2),\r(2))＝1.∴以極點(diǎn)為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝1.4．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)))(t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長．【解析】直線l的極坐標(biāo)方程ρ(sinθ－3cosθ)＝0化為直角坐標(biāo)方程為3x－y＝0，曲線C的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，,y＝t＋\f(1,t)))兩式經(jīng)過平方相減，化為普通方程為y2－x2＝4，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y＝0，,y2－x2＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)，,y＝－\f(3\r(2),2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(3\r(2),2).))所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，－\f(3\r(2),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2))).所以|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),2)－\f(3\r(2),2)))\s\up12(2))＝2eq\r(5).5．已知曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cost，,y＝3＋sint))(t為參數(shù))，C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為t＝eq\f(π,2)，Q為C2上的動點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)M到直線C3：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t為參數(shù))距離的最小值．【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1，C1為圓心是(－4，3)，半徑是1的圓，C2為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓．(2)當(dāng)t＝eq\f(π,2)時(shí)，P(－4，4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2＋4cosθ，2＋\f(3,2)sinθ))，C3為直線x－2y－7＝0，M到C3的距離d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ－3sinθ－13|＝eq\f(\r(5),5)|－5sin(θ＋φ)－13|，從而當(dāng)cosθ＝eq\f(4,5)，sinθ＝－eq\f(3,5)時(shí)，d取得最小值eq\f(8\r(5),5).6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為9ρ2cos2θ＋16ρ2sin2θ＝144，且直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l恒過的定點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)在(1)的條件下，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AP))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AQ))＝9，求直線l的普通方程．【解析】(1)因?yàn)閤＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1.直線l恒過的定點(diǎn)為A(2，0)．(2)把直線l的方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程中得：(9＋7sin2α)t2＋36tcosα－9×12＝0.由t的幾何意義知|AP|＝|t1|，|AQ|＝|t2|.因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓內(nèi)，這個方程必有兩個實(shí)根，所以t1t2＝eq\f(－36×3,9＋7sin2α)，因?yàn)閑q\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AP))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AQ))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(t1t2))＝9，即eq\f(36×3,9＋7sin2α)＝9，所以sin2α＝eq\f(3,7)，因?yàn)棣痢?0，π)，所以tanα＝±eq\f(\r(3),2)，因此，直線l的方程為y＝±eq\f(\r(3),2)(x－2)．B組題1．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(12,3cos2θ＋4sin2θ)，曲線C1經(jīng)過坐標(biāo)變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝\r(3)y′))得到曲線C2，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù)，t∈R)．(1)求直線l的普通方程和曲線C1的直角坐標(biāo)方程；(2)若P為曲線C2上的點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．【解析】(1)直線l的普通方程為x－y－2＝0，曲線C1的直角坐標(biāo)方程為3x2＋4y2＝12，即eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由題意知，曲線C2的方程為x′2＋y′2＝1，其圓心C2(0，0)，半徑r＝1，所以圓心C2到直線l的距離d＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為d＋1＝eq\r(2)＋1.2．已知曲線C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8k,1＋k2)，,y＝\f(2（1－k2）,1＋k2)))(k為參數(shù))和直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosθ，,y＝1＋tsinθ))(t為參數(shù))．(1)將曲線C的方程化為普通方程；(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且P(2，1)為弦AB的中點(diǎn)，求弦AB所在直線的方程．【解析】(1)由y＝eq\f(2（1－k2）,1＋k2)，得eq\f(y,2)＝－1＋eq\f(2,1＋k2)，即eq\f(y,2)＋1＝eq\f(2,1＋k2).又x＝eq\f(8k,1＋k2)，所以k＝eq\f(x,2y＋4)，代入eq\f(8k,1＋k2)＝x，得eq\f(8×\f(x,2y＋4),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2y＋4)))\s\up12(2))＝x，整理得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，即曲線C的普通方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosθ,y＝1＋tsinθ))代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，整理得(4sin2θ＋cos2θ)t2＋(4cosθ＋8sinθ)t－8＝0.由P為AB的中點(diǎn)，得eq\f(4cosθ＋8sinθ,4sin2θ＋cos2θ)＝0，所以cosθ＋2sinθ＝0，即tanθ＝－eq\f(1,2)，故直線AB：y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.所以所求直線的方程為x＋2y－4＝0.3．將圓x2＋y2＝1上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝3eq\r(2)，且直線l在直角坐標(biāo)系中與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)問在曲線C上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP的面積S△ABP＝3，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】(1)曲線C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，故曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα,y＝3sinα))(α為參數(shù))，直線l的普通方程為：x＋y－6＝0.(2)設(shè)曲線C上點(diǎn)P(4cosα，3sinα)，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4cosα＋3sinα－6)),\r(2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5sin（α＋φ）－6)),\r(2))≥eq\f(\r(2),2)，故SΔABP≥eq\f(1,2)×6eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝3，當(dāng)sin(α＋φ)＝1時(shí)取等號，即sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，此時(shí)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)，\f(9,5))).4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(