第二十七章相似27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．身高1.6米的小明利用影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，如圖，當(dāng)他站在點(diǎn)C處時(shí)，他頭頂端的影子正好與旗桿頂端的影子重合在點(diǎn)A處，測(cè)量得到AC=2米，CB=18米，則旗桿的高度是A．8米 B．14.4米 C．16米 D．20米 【答案】C【解析】設(shè)旗桿高度為h，由題意得，解得h=16米．故選C．2．如圖所示是一個(gè)直角三角形的苗圃，由一個(gè)正方形花壇和兩塊直角三角形的草皮組成．如果兩個(gè)直角三角形的兩條斜邊長(zhǎng)分別為4米和6米，則草皮的總面積為A．3平方米 B．9平方米C．12平方米 D．24平方米【答案】C【解析】∵△MDE是直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠MAB=∠BCE=90°，∠M+∠ABM=90°，∠ABM+∠CBE=90°，∴∠M=∠CBE，∴△AMB∽△CBE，∴=，∵M(jìn)B=6，BE=4，∴===，∵AB=BC，∴=，設(shè)CE=2x，則BC=3x，在Rt△CBE中，BE2=BC2+CE2，即42=（3x）2+（2x）2，解得x=，∴CE=，AB=BC=，AM=AB=，∴S草皮=S△CBE+S△AMB=××+××=12．故選C．3．《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長(zhǎng)，量得影長(zhǎng)一丈五尺，立一標(biāo)桿，長(zhǎng)一尺五寸，影長(zhǎng)五寸，問竿長(zhǎng)幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長(zhǎng)，量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)一丈五尺，同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長(zhǎng)五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長(zhǎng)為A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺 【答案】B4．一個(gè)三角形框架模型的三邊長(zhǎng)分別為20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根長(zhǎng)為60厘米的木條為一邊，做一個(gè)與模型三角形相似的三角形，那么另兩條邊的木條長(zhǎng)度不符合條件的是A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米 C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米 【答案】C【解析】①設(shè)20厘米、30厘米、40厘米的對(duì)應(yīng)邊分別為60厘米、x厘米、y厘米，根據(jù)題意得：==，解得x=90，y=120；②設(shè)20厘米、30厘米、40厘米的對(duì)應(yīng)邊分別為x厘米、60厘米、y厘米，根據(jù)題意得：==，解得x=40，y=80．設(shè)20厘米、30厘米、40厘米的對(duì)應(yīng)邊分別為x厘米、y厘米、60厘米，根據(jù)題意得：==，解得x=30，y=45．故選C．5．為測(cè)量某河的寬度，小軍在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，再在他所在的這一側(cè)選點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD與BC的交點(diǎn)E．如圖所示，若測(cè)得BE=90m，EC=45m，CD=60m，則這條河的寬AB等于A．120m B．67.5m C．40m D．30m 【答案】A【解析】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=90m，CE=45m，CD=60m，∴，解得AB=120，故選A．6．如圖，比例規(guī)是一種畫圖工具，它由長(zhǎng)度相等的兩腳AC和BD交叉構(gòu)成，利用它可以把線段按一定的比例伸長(zhǎng)或縮短．如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時(shí)使OA=3OC，OB=3OD），然后張開兩腳，使A，B兩個(gè)尖端分別在線段a的兩個(gè)端點(diǎn)上，當(dāng)CD=1.8cm時(shí)，則AB的長(zhǎng)為A．7.2cm B．5.4cm C．3.6cm D．0.6cm【答案】B【解析】∵OA=3OC，OB=3OD，∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△COD，∴==，∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．故選B．7．在小孔成像問題中，如圖所示，若O到AB的距離是18cm，O到CD的距離是6cm，則像CD的長(zhǎng)是物體AB長(zhǎng)的A． B． C．2倍 D．3倍 【答案】A【解析】如圖，作OE⊥AB于E，EO的延長(zhǎng)線交CD于F．∵AB∥CD，∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，∴===（相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比），∴CD=AB，故選A．二、填空題：請(qǐng)將答案填在題中橫線上．8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有邑方不知大小，各開中門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木，問：邑方幾何？”．其大意是：如圖，一座正方形城池，A為北門中點(diǎn)，從點(diǎn)A往正北方向走30步到B處有一樹木，C為西門中點(diǎn)，從點(diǎn)C往正西方向走750步到D處正好看到B處的樹木，則正方形城池的邊長(zhǎng)為__________步．【答案】300故答案為300．9．如圖是用卡鉗測(cè)量容器內(nèi)徑的示意圖，現(xiàn)量得卡鉗上A、D兩端的距離為4cm，，則容器的內(nèi)徑BC=__________．【答案】2cm【解析】如圖，連接AD，BC，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴==，又AD=4cm，∴BC=AD=2cm．故答案是：2cm．10．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DF=50cm，EF=30cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=20m，則樹髙AB為__________．【答案】16.5m【解析】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB，∴，∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，∴由勾股定理求得DE=40cm，∴=，∴BC=15米，∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．故答案為：16.5m．11．如圖，為了測(cè)量油桶內(nèi)油面的高度，將一根細(xì)木棒自油桶小孔插入桶內(nèi)，測(cè)得木棒插入部分AB的長(zhǎng)為100cm，木棒上沾油部分DB的長(zhǎng)為60cm，桶高AC為80cm，那么桶內(nèi)油面CE的高度是__________cm．【答案】48【解析】∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，=，解得AE=32．∴CE=80–32=48，故答案為：48．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．12．一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上．且矩形的長(zhǎng)與寬的比為3：2，求這個(gè)矩形零件的邊長(zhǎng)．【解析】如圖所示．設(shè)AD與PQ的交點(diǎn)為H．∵四邊形PQMN是矩形，∴BC∥PQ，∴△APQ∽△ABC，∴，由于矩形長(zhǎng)與寬的比為3：2，∴分兩種情況：①若PQ為長(zhǎng)，PN為寬，設(shè)PQ=3k，PN=2k，則，解得k=2，∴PQ=6cm，PN=4cm；②PN為長(zhǎng)，PQ為寬，設(shè)PN=3k，PQ=2k，則，解得k=，∴PN=cm，PQ=cm；綜上所述：矩形的長(zhǎng)為6cm，寬為4cm；或長(zhǎng)為cm，寬為cm．13．如圖，是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，求該古城墻的高度．【解析】根據(jù)題意得∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽R(shí)t△CDP，∴=，即=，解得CD=8．答：該古城墻的高度為8米．14．如圖，陽(yáng)光透過(guò)窗口照到室內(nèi)，在地面上留下2.7米寬的亮區(qū)，已知亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=8.7米，窗口高AB=1.8米，試求窗口下底與地面之間的距離BC的大?。窘馕觥俊吖馐茄刂本€傳播的，∴BD∥AE，∴△CBD∽△CAE，∴=，即=，解得BC=4．15．如圖，四邊形為ABCD是某校塊學(xué)農(nóng)基地，其中△ABD是蔬菜園，△CDB是植物園，已知AB∥CD，AB=40m，BD=60m，CD=90m．（1）求證：△ABD∽△BDC．（2）若蔬菜園△ABD的面積為800m2，求植物園△CDB的面積．16．如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測(cè)得影子CD的長(zhǎng)為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處時(shí)，測(cè)得影子EF的長(zhǎng)為2米，已知王華的身高是1.5米．（1）求路燈A的高度；學(xué)-科網(wǎng)（2）當(dāng)王華再向前走2米，到達(dá)F處時(shí)，他的影長(zhǎng)是多少？【解析】（1）設(shè)B