卷04（山東卷數(shù)學(xué)）-2021屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬測(cè)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知全集0=1<,集合A={—1,0,1,1,B={x|x>l},則Ac&B）=（）

A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{巾<1}D.{x|-l<x<l}

【答案】B

【分析】

按照并集和交集的概念求解即可.

【詳解】

由題可知Q/={x|x<l},則Ac（電8）={—1,0}.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查并集和交集的求法，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，考查計(jì)算能力，屬于

?？碱}.

2.已知命題。，VxeR,d+二..2,則力為（）

e

A.ex+-7..2B.HXGZ?,ex+—<2

ee

C.GR?e*H—2D.VxeR,e*4■——?2

ee

【答案】B

【分析】

直接利用全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，寫(xiě)出結(jié)果即可.

【詳解】

解：因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,

所以：命題P,VxeT?,e'+t..2,則一P為ex+—<2.

ee

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知復(fù)數(shù)2=上衛(wèi)為純虛數(shù)（其中，?為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)。=（）

3+Z

A.-3B.3

1I

C.—D.—

33

【答案】A

【分析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，列出方程組，即可求解.

【詳解】

l+ai(l+az)(3-z)3+a3?-1.

3+z(3+z)(3-z)1010

3+a=0

因?yàn)閺?fù)數(shù)z為純虛數(shù)，可得，八，解得。=一3.

3。一1#0

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的分類(lèi)及其應(yīng)用，著重考查計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

4.4張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字L2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡

片的數(shù)之和為奇數(shù)的概率為（）

2

3

【答案】c

【分析】

和為奇數(shù)，則取出的兩張卡片?張奇數(shù)一張偶數(shù)，得到概率.

【詳解】

C'C'42

根據(jù)題意：和為奇數(shù)，則取出的兩張卡片一張奇數(shù)一張偶數(shù)，則。=-2=：=彳?

63

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

5.已知定義在R上的函數(shù)=?=/(log3V5),

c=/(ln3),則a,h,c的大小關(guān)系為()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，求得函數(shù)為奇函數(shù)，化簡(jiǎn)8=FQog32),再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,

即可求解.

【詳解】

由題意，定義在R上的函數(shù)/(》)=12兇的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

且〃一x)=_%.=-X.2兇=一/(力，所以函數(shù)/(x)=x?州為奇函數(shù),

所以。=-/(log31)=/(-log3i)=/(log32)

又由當(dāng)xiO時(shí)，結(jié)合初等函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)/(x)=x-2”為單調(diào)遞增函數(shù)，

又由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得log32<log3<In3,

所以『(log?2)</(log3A/5)</(In3)，即c>a>>

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的轉(zhuǎn)化思想,

以及熟練應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)

算能力.

6.在某技能測(cè)試中，甲乙兩人的成績(jī)(單位：分)記錄在如下的莖葉圖中，其中甲的

某次成績(jī)不清晰，用字母a代替.已知甲乙成績(jī)的平均數(shù)相等，那么甲乙成績(jī)的中位數(shù)

分別為()

88

84048

A.2020C.2021D.2121

【答案】B

【分析】

先由題中數(shù)據(jù)，根據(jù)題意，求出a=4,將甲乙的成績(jī)都從小到大排序，即可得出中位

數(shù).

【詳解】

18+18+16+20+24+28+a124+a

由題中數(shù)據(jù)可得：甲的平均數(shù)為玉=

18+18+20+20+24+28128

乙的平均數(shù)為￡=

因?yàn)榧滓页煽?jī)的平均數(shù)相等，所以與吆=畢，解得：。=4,

66

1QI24

所以甲的成績(jī)?yōu)椋?6,18,18,24,24,28,其中位數(shù)為_(kāi)_2=21,

2

乙的成績(jī)?yōu)椋?8,18,20,20,24,28,其中位數(shù)為衛(wèi)士型=20.

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查由莖葉圖計(jì)算中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.

7.如圖，在圓柱QQ內(nèi)有一個(gè)球0,該球與圓柱的上,下底面及母線均相切.若。。2=2，

則圓柱。1。2的表面積為（）

A.47rB.5〃C.67rD.77r

【答案】c

【分析】

根據(jù)圖形可以得出〃=2r=2,代入圓柱的表面積公式，即可求解.

【詳解】

由題意，可得〃=2r=2,解得r=l，

所以圓柱。|。2的表面積為S=兀/x2+Ijrrxh=6萬(wàn)產(chǎn)=6兀-

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓柱的表面積的求法，其中解答中熟練應(yīng)用組合體的結(jié)構(gòu)特征，求得球

的半徑是解答的關(guān)犍，意在考查空間想象能力，以及運(yùn)算與求解能力.

xlnx,x>0八/、/、?,

8.已知函數(shù)/(x)=<C，若X產(chǎn)々且/&)=/(馬)，則歸一々|的最大值

X?1,X_U

為()

A.272B.2C.6D.1

【答案】B

【分析】

設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為玉，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)y=/(x)于另一點(diǎn)5,設(shè)點(diǎn)8的橫

坐標(biāo)為彳2,并過(guò)點(diǎn)8作直線y=x+l的平行線人設(shè)點(diǎn)A到直線/的距離為d，計(jì)算出

直線/的傾斜角為彳，可得出打一引="/,于是當(dāng)直線/與曲線y=xlnx相切時(shí),

d取最大值，從而歸-回取到最大值.

【詳解】

當(dāng)x〉0時(shí)，/(x)=xlnx,

求導(dǎo)f，(x)=lnx+l,令_f(x)=O,得x=1

e

(1、：,+8)時(shí)，/'(可＞0,/(%)

當(dāng)xe0,-時(shí)，/r(x)<0,/(%)單調(diào)遞減;當(dāng)工￡

\eJ

單調(diào)遞增;

6

如下圖所示:

設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為為,過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)y=F(x)于另一點(diǎn)5,設(shè)點(diǎn)5的橫

坐標(biāo)為々，并過(guò)點(diǎn)5作直線y=x+l的平行線/,設(shè)點(diǎn)A到直線/的距離為4,

歸一到=\[2d，

由圖形可知，當(dāng)直線/與曲線y=xlnx相切時(shí)，d取最大值,

令/(%)=如尤+1=1,得x=l,切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),

此時(shí)，d=--y=—-=^2,—x,Lx=\/2xy/2,—2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)差的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩平行直線的

距離，考查學(xué)生的化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.

二、選擇題：本小題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分

9.設(shè)向量a=(2,0),U(l,l),則()

A.a-bB.[a-b^llb

C.(a-b\^bD.q與。的夾角為色

''4

【答案】CD

【分析】

根據(jù)平面向量的模、垂直、夾角公式坐標(biāo)運(yùn)算公式和共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可對(duì)各項(xiàng)進(jìn)

行判斷，即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閍=（2,0）,力=（1,1）,所以忖=2,忖=&,所以曰卜利，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)槿?（2,0）,6=（1,1）,所以（。一〃）二（1,-1）,又6=（1,1）,則lxlw—1x1,

所以k-力）與6不平行，故B錯(cuò)誤；

rrr

又（a-匕））=1-1=0,故C正確；

rfa-h2V2

又cos<a,0>=卬彳=云方=萬(wàn)-,又與人的夾角范圍是

所以a與b的夾角為巴，故D正確.

4

故選：CD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量的模、垂直、夾角公式坐標(biāo)運(yùn)算公式，考查了共線向量的坐標(biāo)運(yùn)

算，屬于較易題.

10.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布

餅狀圖、“90后”從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中正確的是（）

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡“90后”從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位

分布餅狀圖分布條形圖

8

注：“90后”指1990年及以后出生的人，“80后”指1980-1989年之間出生的人，“80前”

指1979年及以前出生的人.

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)“90后”比“80前”多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)“90后”比“80后”多

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)餅狀圖確定互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”占總?cè)藬?shù)比例，即可判斷A;

根據(jù)條形圖確定互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例，即可

判斷B;

根據(jù)條形圖確定互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例，根據(jù)

餅狀圖確定"80前''的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，兩者比較可判斷C;

根據(jù)條形圖確定互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中"90后''從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，但

“80后”中從事技術(shù)崗位的比例不可確定，即可判斷D.

【詳解】

由題圖可知，互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”占總?cè)藬?shù)的56%,超過(guò)一半，A正確；

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的

56%x39.6%=22.176%,超過(guò)20%,所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員（包括“90后”“80后”“80

前“）從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%,B正確；

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中“90后”從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的56%xl7%=9.52%,

超過(guò)“80前”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，且“80前”中從事運(yùn)營(yíng)崗位的比例未知，C正確；

互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中"90后'’從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的

56%x39.6%=22.176%,小于“80后”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例，但“80后”中從事技術(shù)

崗位的比例未知，D不一定正確.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

本題考查餅狀圖與條形圖，考查數(shù)據(jù)分析與判斷能力，屬基礎(chǔ)題.

(sin"

11.設(shè)函數(shù)5,則下列結(jié)論正確的是()

X2-X—

4

A./(x)WlB.|/(x)|<4|x|

C.曲線y=/(x)存在對(duì)稱(chēng)軸D.曲線y=/(x)存在對(duì)稱(chēng)軸中心

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)配方法、函數(shù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即

可.

【詳解】

A：因?yàn)閞一xH—=(x—)+121,sinTixW1,

42

.5sinTtr11

.simtx<x2-%+—=>-------—<I=>/(x)<l.....

所以425J,故本結(jié)注正確；

X-XH—

4

B：設(shè)g(x)=x-sinx(xe[0,+oo),g'(x)=I-cosx>0,

所以函數(shù)g(x)=x—sinx在xe[0,+oo)時(shí)單調(diào)遞增，

因此有g(shù)(x)2g(0)=0—sinO=O,即x2sine[0,+oo),

而設(shè)函數(shù)h(x)=|x|-|sinx\,h(-x)=|-x|-|sin(-x)|=|JC|-|sinx|=h(x),

所以〃(x)=NTsinx|是實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，因此有WMsinx|,即

10

|利訃in利,|/(x)|4f[:小歸以,故本結(jié)論正確；

尤-X+4

C：因?yàn)?/p>

/1\/t、sin7t(—Fx)sin兀(—x)

住A1)'「.I也)/?r百丁2cosx-cosx八

所以曲線>=/(x)關(guān)于直線1=，對(duì)稱(chēng)，故本結(jié)論正確；

口：設(shè)曲線〉=/(%)存在對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)為(。向，則有/(a+x)+/(a-x)=2b,

當(dāng)x=0時(shí)，則有2/(a)=2b=>/(a)=。，

當(dāng)x=。時(shí)，則有/(2a)=2Z?=>2/(a)=/(2a),

sin2(77icsin。兀2sin。兀cos。兀。sinan

----------=2--------s-----------2-------

即小、2c525小、2c525

(2。)——2。H—ci-ci4—(2。)~—2aH—a—a4—

4444

b=f(a)=?『二。

因此有cosar=0或sina7F=0,所以。為整數(shù),

Q2—U~\----

4

令x=；，/(a+g)+/(a-g)=0

sin7r(a+—)sin7t(a——)

而/(a+g)+f(a-v22_cosa7rcosaTT

(?+---)2+l(a----)2+\/+l(a-lA+l

2222

顯然/(?+1)+/(?-1)=0不恒成立，故本結(jié)論不正確.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)

算能力.

12.將函數(shù)y=2sin(2x+?J的圖象向左平移弓個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)/(x)的圖象,

則下列關(guān)于函數(shù)/(x)的說(shuō)法正確的是()

A.“X)是偶函數(shù)B.“X)的最小正周期是］

c.“X)的圖象關(guān)于直線x=/對(duì)稱(chēng)D.F(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一?,o］對(duì)稱(chēng)

【答案】AD

【分析】

利用三角函數(shù)圖象變換可得函數(shù)y=/(x)的解析式，然后利用余弦型函數(shù)的基本性質(zhì)

逐項(xiàng)判斷可得出正確選項(xiàng).

【詳解】

由題意可得/(%)=2sin[2(x+S+?

-2sin2x+--2cos2x,

I2j

函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，A正確：

27r

函數(shù)y=/(x)最小周期是三=萬(wàn)，B錯(cuò)誤;

(專(zhuān)J=g,則直線X=］不是函數(shù)＞=/(%)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，C錯(cuò)誤；

(一?)=0,則(一(,。］是函數(shù)＞=/(￡)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用三角函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式，同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)基本性質(zhì)的判

斷，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.

12

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若Vxe(O,+x)),生二±12/〃，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

X

【答案】(—8,4]

【分析】

利用基本不等式求得25的最小值，由此可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

X

【詳解】

22

Jzn、4X+1,,,S4x+P

Vxe(O,+<x>),----->m,piijm<---------,

XVX/min

4r2+1II]1

由基本不等式可得把上！■=4%+上22、4十'=4,當(dāng)且僅當(dāng)尤=士時(shí)，等號(hào)成立，

xx\x2

所以，加44,因此，實(shí)數(shù)用的取值范圍是(-8,4].

故答案為：(一8,4].

【點(diǎn)睛】

本題考查利用不等式恒成立求參數(shù)，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

14.若多項(xiàng)式x?+2x"=a。+i7](x+l)++4o(x+l)+a“(x+l),則4°=

【答案】-22

【分析】

由二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式通項(xiàng)公式得2/=2Kx+1)-1]”展開(kāi)式的通項(xiàng)為

7；+1=2^,(%+1)"-7-1/.令11——=10,解得廠=1,則即＞=2C\x(_l)=_22,得解.

【詳解】

fr

由2/=2［(x+l)-1］"展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+l=2c氧x+l)"-(-l),

令11—r=10,解得r=l,

則qo=2C：x(-l)=-22,

故答案為：-22.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式通項(xiàng)公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

15.若函數(shù)/(x)=ln(e*T+ei)-2與g(x)=sin￡像的交點(diǎn)為(X［,y),(孫必)，

(4，％,),則E玉=---------------

/=1

【答案】2

【分析】

利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得出/(x)的單調(diào)性，再結(jié)合兩函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性確定交點(diǎn)個(gè)數(shù)與性

質(zhì)后可得結(jié)論.

【詳解】

由.=e*T是增函數(shù)，"=f+l在口,+°。)是單調(diào)遞增，y=ln“-2在〃e(0,+oo)單調(diào)

t

遞增得/(x)=ln(ei+/-*)-2在［1,中?)上是增函數(shù)，

又/(2—x)=In卜2-日+』-(2川］_2=ln(e'-'+)—2=/(%),所以y=/(x)的圖

JTJC

象關(guān)于直線％=1對(duì)稱(chēng)，易知％=1也是g(x)=sin《-的對(duì)稱(chēng)軸，

在［1,3］上g⑶是減函數(shù),而g(l)=l>O>/(l),g(3)=-l<0</(3),因此/(力與

g(x)的圖象在［1,3］上有個(gè)交點(diǎn)，xe［3,4)時(shí),/(%)>0,g(x)<0,xN4時(shí)，/(x)>1,

14

g（x）〈l,/（幻與8（幻的圖象在［3,+00）上無(wú)交點(diǎn)，所以在口,”）上它們只有一個(gè)交

點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性在（-8,1］上也只有一個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng).

所以￡七=玉+々=2?

i=l

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查兩函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，解題方法是研究函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性，對(duì)稱(chēng)性，確定交

點(diǎn)個(gè)數(shù)及性質(zhì).

22

16.雙曲線C:'-f=l的右支上一點(diǎn)P在第一象限，A，B分別為雙曲線C的左、

右焦點(diǎn)，。為APKK的內(nèi)心，若內(nèi)切圓。的半徑為1,則直線26的斜率等于.

【答案】曰

63

【分析】

首先設(shè)尸大、P與、片鳥(niǎo)與圓的切點(diǎn)分別為根據(jù)圓外一點(diǎn)引圓的切線長(zhǎng)相等,

結(jié)合雙曲線的定義，列出等量關(guān)系式，求得tanNH6Q=L,利用正切倍角公式，得到

8

答案.

【詳解】

設(shè)「耳、PF2,6鳥(niǎo)與圓的切點(diǎn)分別為

則=|孫=|以訃

所以周一|/閭=|碼|一|鵬|=2=6,

又耳|+|"閭=10,解得出川=8,忻”|=2.連接60”。

.2x1

tanNHRQ=上，則女=tan2NH片。=一工=—,

81__L63

64

故答案為：—.

63

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)雙曲線的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有雙曲線的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓的問(wèn)

題，雙曲線的定義，倍角正切公式，屬于簡(jiǎn)單題目.

四、解答題：本題共6小題，共70分。其中17題10分，18-22題12分。解答應(yīng)寫(xiě)出

文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.已知a/,c分別為A6C內(nèi)角A6,。的對(duì)邊試從下列①②條件中任選一個(gè)作為已

sinA-sinCsinA-sinB

知條件并完成下列（1）（2）兩問(wèn)的解答①；②

bQ+C

2ccosC=acosB+〃cosA.

（1）求角。

（2）若c=6，4+6=而，求A6C的面積.

【答案】不論選擇哪個(gè)條件，（1）C=-；（2）空.

33

16

【分析】

（1）選擇①利用正弦定理轉(zhuǎn)化為。2—。2="—",再利用余弦定理求解；選擇②利

用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為sinC=2sinCcosC求解.

（2）先利用余弦定理求得。人，再代入SA8c=ga》sinC求解.

【詳解】

（1）選擇①

根據(jù)正弦定理得佇￡=j,從而可得4-02=0匕—02,

ba+c

根據(jù)余弦定理c2=a2+62-2"cosC，解得cosC=1，

2

TT

因?yàn)椤?（0,乃），故。=一.選擇②

3

根據(jù)正弦定理有sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC?

即sin（A+8）=2sinCcosC,即sinC=2sinCeosC

1Ji

因?yàn)?。￡?,乃），故sinCwO,從而有COSC=—,故C=—

23

（2）根據(jù)余弦定理得c2=/+b2—2"cosC,得3=/+/力，

Q1

即3=（。+份2一3",解得"=又因?yàn)镾ABc=]"sinC，

故45c的面積為2叵.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解求解的能力，屬于中檔題.

18.已知數(shù)列｛%｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列也｝為等差數(shù)列，仇=12,4=20，且%=。2，

%=4.

（1）求數(shù)列｛4｝和數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式;

(2)將數(shù)列｛4｝中的第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)，…，第3〃項(xiàng)，…刪去后剩余的項(xiàng)按

從小到大的順序排成新數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛c.｝的前2021項(xiàng)和.

2Qx8l0l0-6

【答案】⑴=2"；”=4〃(2)

7

【分析】

(1)運(yùn)用等差等比數(shù)列的基本知識(shí)運(yùn)算即可.

(2)將數(shù)列｛/｝中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)…刪去后構(gòu)成的新數(shù)列｛q｝中的奇數(shù)

項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)仍成等比數(shù)列，然后利用分組求和法求出答案即可.

【詳解】

(I)設(shè)數(shù)列｛《,｝首項(xiàng)為“，公比為9,數(shù)列也,｝首項(xiàng)為4,公差為d.

偽=124+2d=12b｝=4

因?yàn)椤?所以《解得《所以a=4〃.

佃=20/?)+4d—20,d=4

因?yàn)?=仇=8,。5=4=32,所以6=2,公比q=2,所以％,=2".

(2)由題意知，將數(shù)列｛%｝中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)…刪去后構(gòu)成的新數(shù)列｛%｝

中的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)仍成等比數(shù)列，

首項(xiàng)分別是4=2,g=4,公比均是8.

■^2021

=(。1+。3+G^。2021)+(。2+。4+。6^。202())

2X(1-810")4x(1-8*20x8*6

=------1------=-------

1-81-87

【點(diǎn)睛】

常見(jiàn)數(shù)列的求和方法：公式法(等差等比數(shù)列)、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減

法.

18

19.如圖，在直四棱柱ABC。-44Gq中，AD=BC,ABIICD,

27r

CD=2AB=DR,E，F(xiàn)分別為AQ的中點(diǎn)，ZABC=y-

(1)證明：環(huán)//平面ABCO.(2)求直線所與平面EC。所成角

的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)2叵.

19

【分析】

(1)連接A。，BD，利用三角形的中位線性質(zhì)可得砂//助，再利用線面平行的

判定定理即可證出.

(2)在平面ABCO中，過(guò)點(diǎn)。作DM，C￡>，以。為原點(diǎn)，分別以。所

在直線為蒼y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面尸CD的一個(gè)法向量，利用空間向量

UUUU

照1rEFm

的數(shù)量積，由cos<EF,m>=ITum即可求解.

mEF

【詳解】

解：(1)連接4。，BD，易知側(cè)面AO"A為矩形，

產(chǎn)為AR的中點(diǎn)，二尸為A。的中點(diǎn).

E為4B的中點(diǎn)，.\￡戶(hù)//8。

BDu平面ABC。，EFO平面ABCD

￡///平面ABCD

(2)在平面ABCO中，過(guò)點(diǎn)。作。M_LC￡>,易知。R，平

面ABC。，

故以。為原點(diǎn)，分別以所在直

線為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)。A=2AB=CO=4,則E（622），尸（蟲(chóng),工,2），。（0,0,0），C（0,4,,

EF=，DF=W，；2），F(xiàn)C=（-奈卜2）

設(shè)平面尸CD的法向量為m=(a,b,c),

+L+2c=0

DF-m=022b=0

即《解得《

FC-m=0-^-a-^—b-2c=0y/3a+4c=0

22

令。=4,得c=—\/3，所以機(jī)=(4,0,一百)

uunir￡4

cos黑：〉=EF-m2M

-tr--tttw-

mEF19

所以直線EF與平面FCO所成角的正弦值為2叵.

19

【點(diǎn)睛】

本題考查了線面平行的判定定理、空間向量法求線面角，考查了考生的邏輯推理能力以

及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20

20.網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物已經(jīng)成為人們的一種生活方式.某購(gòu)物平臺(tái)為了給顧客提供更好的購(gòu)物體

驗(yàn)，為入駐商家設(shè)置了積分制度，每筆購(gòu)物完成后，買(mǎi)家可以根據(jù)物流情況、商品質(zhì)量

等因素對(duì)商家做出評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)分為好評(píng)、中評(píng)和差評(píng)平臺(tái)規(guī)定商家有50天的試營(yíng)業(yè)時(shí)

間，期間只評(píng)價(jià)不積分，正式營(yíng)業(yè)后，每個(gè)好評(píng)給商家計(jì)1分，中評(píng)計(jì)0分，差評(píng)計(jì)-1

分，某商家在試營(yíng)業(yè)期間隨機(jī)抽取100單交易調(diào)查了其商品的物流情況以及買(mǎi)家的評(píng)價(jià)

情況，分別制成了圖1和圖2.

（1）通常收件時(shí)間不超過(guò)四天認(rèn)為是物流迅速，否則認(rèn)為是物流遲緩;

請(qǐng)根據(jù)題目所給信息完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為“獲得好評(píng)”

與物流速度有關(guān)？

中評(píng)或差

好評(píng)合計(jì)

評(píng)

物流迅速

物流遲緩30

合計(jì)

（2）從正式營(yíng)業(yè)開(kāi)始，記商家在每筆交易中得到的評(píng)價(jià)得分為X.該商家將試營(yíng)業(yè)50

天期間的成交情況制成了頻數(shù)分布表（表1）,以試營(yíng)業(yè)期間成交單數(shù)的頻率代替正式

營(yíng)業(yè)時(shí)成交單數(shù)發(fā)生的概率.

表1

成交單數(shù)363027

天數(shù)102020

（I）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（II）平臺(tái)規(guī)定，當(dāng)積分超過(guò)10000分時(shí)，商家會(huì)獲得“誠(chéng)信商家”稱(chēng)號(hào)，請(qǐng)估計(jì)該商家

從正式營(yíng)業(yè)開(kāi)始，1年內(nèi)（365天）能否獲得“誠(chéng)信商家''稱(chēng)號(hào)

n(ad-bc)2

附：K-

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

2

P(K>k()}0.1500.1000.0500.0250.010

k02.0722.7063.8415.0246.635

【答案】（1）見(jiàn)解析，有99%的把握認(rèn)為“獲得好評(píng)”與物流速度有關(guān).

（2）（I）見(jiàn)解析，0.7（II）該商家在1年內(nèi)不能獲得“誠(chéng)信商家”稱(chēng)號(hào).

【分析】

（1）先畫(huà)出2x2列聯(lián)表，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)求解；（2）（I）先求出X的取值可能是1，

0,-1，再求出對(duì)應(yīng)的概率，寫(xiě)出其分布列，求出其期望得解；（II）設(shè)商家每天的成

交量為丫，求出商家每天能獲得的平均積分和商家一年能獲得的積分，即可判斷得解.

【詳解】

（1）由題意得

好評(píng)中評(píng)或差評(píng)合計(jì)

物流迅速50555

22

物流遲緩301545

合計(jì)8020100

2_(50xl5—30x5)2_100

K=---------------------=------->O.o32)?

80x20x55x4511

所以有99%的把握認(rèn)為“獲得好評(píng)''與物流速度有關(guān).

(2)(I)由題意可知，X的取值可能是1，0.-1，

每位買(mǎi)家給商家作出好評(píng)、中評(píng)、差評(píng)的概率分別為0.8,0.1,0.1,

所以X的分布列為

X10-1

P0.80.10.1

所以EX=lx0.8+0x0.1+(—l)x0.1=0.7；

(II)設(shè)商家每天的成交量為y，則y的取值可能為27,30,36,

所以y的分布列為

Y273()36

P0.40.40.2

所以"=27x0.4+30x0.4+36x0.2=30,

所以商家每天能獲得的平均積分為30x0.7=21，

商家一年能獲得的積分：21x365=7665<10000,

所以該商家在1年內(nèi)不能獲得“誠(chéng)信商家”稱(chēng)號(hào).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查隨機(jī)變量的分布列和期望及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這

些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

21.在直角坐標(biāo)系xQy中已知網(wǎng)1,0）,動(dòng)點(diǎn)尸到直線x=6的距離等于2歸同+2,動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡記為曲線C.

（1）求曲線。的方程；

（2）已知A（2,0）,過(guò)點(diǎn)尸的動(dòng)直線/與曲線C交于5,。兩點(diǎn)，記AOB和

的面積分別為5,和S2,求5+S2的最大值.

22

【答案】⑴土+工=1；（2）3.

43

【分析】

（1）設(shè)點(diǎn)P（x,y）根據(jù)條件可得卜一6|=2j（x-l『+y2+2（x<6）化簡(jiǎn)可得曲線C

的方程.

⑵設(shè)8（Xi，X）,。（冷%），由條件可設(shè)直線/的方程為*1與曲線C的方

6/219

程聯(lián)立，得到％+%=—不一，又

3m~+43m"+4

5+S2=；|。411yl+g|。411yl=；3|%-％|=5（乂+%）2-4），防,將x+%，

y當(dāng)代入然后可求出其最大值.

【詳解】

（1）設(shè)點(diǎn)P（x,y），則|x_6|=2j（x_l『+y2+2（x<6），

2222

整理得+4/=12,即工+工=1.故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡。的方程為工+工=1.

-4343

（2）設(shè)B（X1,y）,。（孫％）

24

由題意可知立線I的斜率不為0,則可設(shè)直線/的方程為X=rny+\,

x-my+1

聯(lián)立《22,整理得2丁+一

xy（3m+4）9=0,

143

6