第三章

向量組的線性相關性

與線性方程組§3.1向量組及其線性相關性

一、向量二、線性組合三、向量組的線性相關性定義：若干個同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合稱為向量組．結論：含有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應．定義：n個有次序的數(shù)a1,a2,…,an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)ai稱為第i個分量．一、向量定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，對于任何一組實數(shù)

k1,k2,…,km

，表達式k1a1+k2a2+…+kmam稱為向量組A

的一個線性組合．k1,k2,…,km稱為這個線性組合的系數(shù)．定義：給定向量組A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一組實數(shù)l1,l2,…,lm

，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam則向量b是向量組A的線性組合，這時稱向量b能由向量組

A

的線性表示．二、線性組合例：設那么線性組合的系數(shù)e1,e2,e3的線性組合一般地，對于任意的n維向量b

，必有n

階單位矩陣En

的列向量叫做n

維單位坐標向量．問題1：給定向量組A，零向量是否可以由向量組A線性表 示？問題2：如果零向量可以由向量組A線性表示，線性組合的

系數(shù)是否不全為零？思考三、向量組的線性相關性定義：給定向量組A：a1,a2,…,am，如果存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）則稱向量組A是線性相關的，否則稱它是線性無關的．向量組線性相關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．向量組線性無關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性無關 如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），則必有k1=k2=…=km=0．

m元齊次線性方程組

Ax=0只有零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的個數(shù)m． 向量組A

中任何一個向量都不能由其余m－1個向量線 性表示．向量組線性相關性的判定（重點、難點）向量組A：a1,a2,…,am線性相關 存在不全為零的實數(shù)k1,k2,…,km

，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）

．

m元齊次線性方程組

Ax=0有非零解． 矩陣A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的個數(shù)m． 向量組A

中至少有一個向量能由其余m－1個向量線性 表示．例：試討論n

維單位坐標向量組的線性相關性．例：已知試討論向量組a1,a2,a3

及向量組a1,a2

的線性相關性．解：可見R(a1,a2,a3

)=2，故向量組a1,a2,a3

線性相關；同時，R(a1,a2)=2，故向量組a1,a2線性無關．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關．解題思路：轉化為齊次線性方程組的問題；轉化為矩陣的秩的問題．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關．解法1：轉化為齊次線性方程組的問題．已知，記作B=AK．設Bx=0，則(AK)x=A(Kx)=0．因為向量組a1,a2,a3

線性無關，所以Kx=0．又|K|=2，那么Kx=0只有零解

x=0，從而向量組b1,b2,b3線性無關．例：已知向量組a1,a2,a3

線性無關，且b1=a1+a2，

b2=a2+a3，b3=a3+a1，試證明向量組b1,b2,b3線性無關．解法2：轉化為矩陣的秩的問題．已知，記作B=AK．