《2022屆山東高考模擬數(shù)學(xué)試卷分項解析》

專題14平面解析幾何（解答題）

45.（2022.廣東茂名?模擬預(yù)測）如圖，點M是圓A：（x++V=16上的動點，點8圈,0）,

線段MB的垂直平分線交半徑4用于點P.

（1）求點P的軌跡E的方程；

（2）點N為軌跡E與）’軸負(fù)半軸的交點，不過點N且不垂直于坐標(biāo)軸的直線/交橢圓E于S,

T兩點，直線NS,即分別與x軸交于C,D兩點.若C,。的橫坐標(biāo)之積是2,向：直線

/是否過定點？如果是，求出定點坐標(biāo)，如果不是，請說明理由.

【答案】⑴=+/=1;

4

⑵直線/過定點（0,3）.

【解析】

【分析】

（1）利用定義法求點P的軌跡E的方程；

（2）直線ST的方程為了=履+砥加*-1）,聯(lián)立直線和橢圓的方程得到韋達(dá)定理，再根據(jù)

%出=2得帆=3,即得解.

（1）

解:由題得|AP|+|PM|=|AM|=4,.」PA|+|PB|=4>2>/J=|AB|,

所以點尸的軌跡是以48為焦點，長軸為4的橢圓.

所以2a=4,c=5/3,

所以橢圓的方程為￡+y?=l.

4

2

所以點尸的軌跡E的方程為土+丁=1.

4

(2)

解：由題得點N(O,-1),設(shè)直線57的方程為y=kx+m(mH-1),

聯(lián)立直線和橢圓的方程為："[得(1+4k°)x2+8版x+4布-4=0,

[x+4/=4

所以△>0,4攵2一療+1>o.

設(shè)S(M,必),T(%2,y2)，所以％+x1--的生,％々=

1+4/41"+4—K/.

所以直線SN方程為y+i=5(x-。)，

不

令y=o得同理/=上7.

M+1必+1

因為左々=2,.\—^―=2,:,xtx2=2(y,+y2+y,y2+1),

M+l必+1

所以MW=2[g+帆+5+m+(3+m)(kx24-/n)+l],

22

所以=21k(xl4-x2)(m+1)4-kXjX2+(/n+l)],

所以4"'一?=2代x(--+1)+Mx4m-?+(m+l)2],

1+4公l+4k2l+4k2

因為相片一1,所以機(jī)+lwO,

所以4(機(jī)-1)=—IGkZ/n+gZ?。??—1)+2(1+422)(，"+1),

所以〃7=3,所以直線ST的方程為丫=丘+3,

所以直線ST過定點(0,3).

46.(2022.山東濟(jì)寧?二模)已知拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點為凡點M(4,附在拋物

線E上，且尸的面積為:p?(O為坐標(biāo)原點).

(1)求拋物線后的方程：

⑵過焦點尸的直線/與拋物線E交于4、8兩點，過A、B分別作垂直于/的直線4C、8。，分

別交拋物線于C、。兩點，求|AC|+|陽的最小值.

【答案】⑴V=4x

(2)12下

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)面積及拋物線上的點可求解；

(2)利用直線與拋物線的位置關(guān)系分別求得依。|=馬空?(缶+2)、

忸口=當(dāng)±1.（電+2）,再通過導(dǎo)數(shù)求最值即可.

(1)

nr=8p,

由題意可得1p解得p=2.

—x—帆=#,

122

故拋物線E的方程為丁=4x.

（2）

由題意直線/的斜率一定存在且不為0,設(shè)直線/的方程為％=0+1,#0,

設(shè)4（西,%）,8（孫％），。（不，必），

由什/：+1,消去光得……=0.

[y=4見

4

所以,+以=今，y1y2=-.

由4c垂直于/,直線AC的方程為y—M=T（x—占）

由消去W+4if=0.

4

-%=

r

27^+1,

=-p—，（朗+2）?

同理可得忸回=當(dāng)巨.（小+2），

所以|4。+忸。=畢.口(必+%)+4]=畢T+])=8^L

令〃司=空￡,x>0,則/（x）=（x+l）丁-2）,

%>0

所以當(dāng)x?0,2）時,f'（x）<0,f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)X?2,M）時，r（x）>0,〃x）單調(diào)遞

增.

所以當(dāng)下2時，/(尤)取得最小值，即當(dāng)r=土應(yīng)時?，|AC|+忸。最小值為12有.

47.(2022?山東淄博?模擬預(yù)測)己知拋物線。"2=2外5>0)的焦點為尸，點M(2,m)在拋

物線C上，且閡=2.

(1)求實數(shù)m的值及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)不過點”的直線/與拋物線C相交于A,8兩點，若直線MA,A"的斜率之積為-2,試

判斷直線/能否與圓(x-2『+(y-m)2=80相切？若能，求此時直線/的方程；若不能，請

說明理由.

【答案】⑴爐=4>；

(2)能與圓相切；y=；x+10.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)點在拋物線上和拋物線的定義列出關(guān)于，小P的方程組，解之即可；

⑵設(shè)點A,,胃中2，子)和直線A8方程y=根據(jù)兩點坐標(biāo)表示直線斜率和韋達(dá)定

理求得8=24+9,可知直線A3恒過定點且該定點在圓上M上，根據(jù)點M、N坐標(biāo)求出女

即可.

(1)

由題意得，

因為點M(2,㈤在拋物線上,所以2?=2刖,

山拋物線的定義，得加+4=2,

2

m+—=2[m=\

則2,解得,

22=2pmI?=2

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y；

(2)

由⑴得M(2,l),設(shè)點?不打8(々,亍)，

,X4-27乂+2.,x.+2x+2.

則nil%?=-^―，&?=力—，所rCKI以=F-Xj9—=-2,

得當(dāng)馬+2(占+々)+36=0:設(shè)直線A8方程為y=H+%,

有花"+、人4-4』,

所以內(nèi)+馬=4&,x,x2=-4h,所以*+8%+36=0,

得A=2%+9,所以直線AB方程為了=區(qū)+2%+9,

即直線A8恒過拋物線內(nèi)部的定點N（-2,9）,

又圓M：（x-2-+（y-=80正好經(jīng)過點N（-2,9）,

當(dāng)且僅當(dāng)直線AB與半徑MN垂直時直線AB與圓M相切,

此時％=-4=；,所以直線AB方.程為y=:x+10.

48.（2022?山東濟(jì)南?二模）已知橢圓C的焦點坐標(biāo)為耳（-1,0）和瑪（1,0）,且橢圓經(jīng)過點

⑴求橢圓C的方程：

⑵若T?！唬?，橢圓C上四點M,N,P,Q滿足祈=3直，標(biāo)=3方，求直線MN的斜率.

22

【答案】⑴工+匯=1

43

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題意得到-1，再將點（ig）代入橢圓方程求解;

X2=

（2）設(shè)“a，y），。（9，為），N（&,%），尸（程必），7（1,1），由祈M3G得到，

%=

根據(jù)都在橢圓匕得到;（2-玉）+；（2-兇）=1,同理得

l（2-x3）+1（2-y3）=l,兩式相減求解.

（1）

解：由題意可知，c=l,

設(shè)橢圓方程為《+/二=1,將點向）代入橢圓方程，

得（/_4乂4/_1）=0,

解得/=：（舍），足=4，

所以橢圓方程為三+匯=1.

43

（2）

設(shè)M（4,y）,。伉,必），N（玉,為），尸（%乂），7。，1），

]—%=3（々-1）

因為祈=3和，所以If=34-1）

又勸（與,）［）,。（々，丫2）都在橢圓上，

所以左卜，L啟門,

工+五1……①

即［43,

；（4-xJ+g（4-X）~=9...②

②-①得;（4-2x）4+g（4-2y>4=8,

即.（2-*|）+］（2-乂）=1③，

又祈=3/，同理得;（2-毛）+!（2-%）=1……④

④-③得-%）+§（乂一%）=。，

所以心=上也=f=4

再fJ.4

3

22

49.（2022?山東日照?模擬預(yù)測）已知圓加：，+a=1（4〉0力〉0）的焦點為網(wǎng)2,0）,長軸長

與短軸長的比值為應(yīng).

⑴求M的方程；

⑵過點尸的直線/與M交于A,8兩點，8C，x軸于點C,4。，》軸于點￡>,直線B。交直

線x=4于點E,求證：點C,A,E三點共線.

22

【答案】（1）二+—=1

84

⑵證明見解析

【解析】

【分析】

（1）由題意可得:=/,c=2,再結(jié)合/=從+。2,可求出/，從，從而可求出用的方程;

b

（2）由題意可知,直線/斜率存在,設(shè)A（XQJ,85,%），設(shè)直線/的方程為y=%（x-2）,

代入橢圓方程中，消去y,整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，由ADLx軸，得。（玉,0）,從而

可表示出直線8。方程,則可求出點E的坐標(biāo)，由2c_Lx軸，得C（W，O），從而可表示心C，%EC，

然后計算化簡得怎c-怎。=0，進(jìn)而可證得結(jié)論

（1）

由題設(shè)?=&，所以〃=2〃，

b

又因為c=2,a2=b2+c2f所以2b2=。+4,

解得從=4,6f2=8?

22

所以桶圓M的方程為二+二=1;

84

（2）

由題意可知，直線/斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=%（x-2）,

由'得0+2&2）f-8心+儂2_8）=0,

設(shè)A（x＞，x）,8優(yōu),%），則苔+三=?^?1,中2=^^，

1+/K14-2.K

因為軸，所以￡＞（芭,0）,

直線B力方程為丫=一息一（》一王），所以自4,必（4一再）],

X2--X\IX2~X\J

因為3C_Lx軸，所以。（％,0），

因為您「上，『（%（：;：）

（X2-X1）（4-X2）

所以“Fl各怎一號

二%（4_%）+。（4一/）二）（/_2）（4-內(nèi)）+）（工1.2）（4―尤2）

（X2-X,）（4-X2）（X2-X,）（4-X2）

=7-----2——；-[6（%,+^）-2^,%2-16]―-----生-------24公8.2-8_8

L[1+2公\+2k2_

（X2-XI）（4-X2）（X2-^）（4-X2）

16%3〃一/+1-1-2/_

l+2k2一0'

（X2-X,）（4-X2）

所以C,A,E三點共線.

50.（2022?山東?德州市教育科學(xué)研究院二模）已知AABC的兩個頂點A,8的坐標(biāo)分別為

（-73,0）,（73,0）,圓E是A4?C的內(nèi)切圓，在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,

\CP\=2-^,動點C的軌跡為曲線G.

⑴求曲線G的方程；

(2)設(shè)直線/與曲線G交于例、N兩點,點。在曲線G上，。是坐標(biāo)原點的+麗=詬，

判斷四邊形OMCW的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.

2

【答案M吟+丁=1("0)

(2)四邊形的面積是定值，其定值為6

【解析】

【分析】

(1)由題意得|C4|+|CB|=2|CP|+|AB|=4>|明，根據(jù)橢圓的定義,即可得a,c的值,根

據(jù)a,b,。的關(guān)系，可得方值，即可得答案.

(2)由題意得直線/的斜率存在，設(shè)直線/方程是y="+，”，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理,

可得司馬表達(dá)式，代入弦長公式，可得|網(wǎng)表達(dá)式，再求得。到直線MN的距離〃,

根據(jù)題意，求得。點坐標(biāo)，代入橢圓，可得太的關(guān)系，求得以的面積為S的表

達(dá)式，整理計算，即可得答案.

(1)

因為圓E為的內(nèi)切圓，

所以|C4|+「用=|CP|+|CQ|+1網(wǎng)+|QB卜21cH+|的+怛/=+|4?卜4>|,

所以點C的軌跡為以點A和點8為焦點的橢圓，

所以c=6\a-2,則)=1,

2

所以曲線G的方程為土+y2=i(y*o)

(2)

由yxo可知直線/的斜率存在，設(shè)直線/方程是y=h+m,

2

由平面圖形。MDN是四邊形，可知m*0,代入到三+/=1,

4

2

得（1+4攵2）%2+skmx+4m-4=0

4/一4

所以△=18（4Z+1-）>0,x,+x?=—8km

1+4-'、々-]+4公

所以X+%=A-2時,

所以|MN|=七尸

又點。到直線例N的距離d=

—8km2m

由麗+兩=麗得程=，%=

1+4女\+4k2

因為點O在曲線C上，所以將。點坐標(biāo)代入橢圓方程得1+4女2=4,/.

由題意四邊形OMQN為平行四邊形，

Ml"c.szAAH加口c「、~-T444/-療+]|/?14|同「4/-M+1

所以O(shè)MDN的面積為S=>/1+Kx----------------xJ?=-1—1-----------------，

1+4/Trnt71+4出5

由1+4/=4/，代入得5=6，

故四邊形。例。N的面積是定值，其定值為

22

51.（2022.山東濰坊?二模）已知M,N為橢圓0:二+y2=l（a>0）和雙曲線的

a~a~

公共頂點，6，。2分別為G和C2的離心率.

（1）若平2=*

（i）求G的漸近線方程；

（ii）過點G（4,0）的直線/交G的右支于A,8兩點，直線MA,MB與直線x=l相交于A，

B1兩點，記A,B,A，片的坐標(biāo)分別為（移打），（/，%），（%卜4），求證：

—1+—1=1—1+一.

yy2%為'

（2）從C?上的動點P（x°,y°）（x0x±a）引G的兩條切線，經(jīng)過兩個切點的直線與C?的兩條漸近

線圍成三角形的面積為S,試判斷S是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理

由.

【答案】（1）（i）尸土白：（ii）證明見解析

（2）是定值，S=a

【解析】

【分析】

（1）（i）根據(jù)橢圓和雙曲線的離心率公式求得即可求出雙曲線的漸近線方程;

（ii）直線A8的方程為x=）+4,H雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得%+%，%%，從

1111

而可求出一+一,再根據(jù)直線照,伙的方程可求出月,無，從而可求得一十一,整理即

M%%

可得證：

（2）設(shè)兩個切點出毛，％），6（%%），直線小的方程為4：?=4（%-毛）+為，與橢圓方程

聯(lián)立，根據(jù)△=()求出勺，同理可求得直線pg的斜率網(wǎng)，求出直線46的方程，然后可求

出直線66與兩條漸近線的交點坐標(biāo)，計算整理即可得出結(jié)論.

(1)

解：由題意得q=也三，《2=必壬

aa

所以k華L限

又。＞0,解得/=4,

(i)故雙曲線G的漸近線方程為丫=土;x，

(ii)設(shè)直線A8的方程為x=)+4,

x="+4,

2

2消元得，(產(chǎn)-4)

則x2y+8<y+12=0,A>0,

匕一曠=1,

—St

…E故；+小黨二*

且，。±2,所以,

12

%％=-7,

r-4

又直線M的方程為y=率(1+2),

所以為=3，同理％=言^

所以:\(x,+2x,+2)1

-------+-----=-

%以3I乂%)3

2)|%+6(%+為)=2.?2(%+丫2)=2242

—十—-t一一t-一一

3yly23ya3333

My2J

X=1

⑵

解：設(shè)兩個切點6（毛,％）,6（%，%），由題意知pq,P鳥斜率存在,

直線修的方程為4：＞=4（3一天）+為，

2

X2

聯(lián)立，a2+"'由△=（）得匕=--孕~，所以4：岑+為y=l,

,/X,ay,a-

y=ki[x-xi）+yi,

同理直線PP2方程為。：學(xué)+"），=1，

a~

斗+）5=1，

山4,4過尸點可得“可得直線66的方程為￥+%y=i，

入6入0.1CI'

、a

不妨設(shè)，直線片《與雙曲線兩漸近線y=±1x交于兩點"!‘一,」一〕,

a1%+犯0M+ayJ

（2\

p；a,一〃

2

1%一砂0‘%一欲J’

.223

則圍成三角形的面積5=彳」----------------------匚=，“一,

2x0+ay0x0-ay0x0+ay0x0-ay0x0-ay0

因「在雙曲線Cz上，

則S=g_=a為定值.

a

【點睛】

本題考查了橢圓與雙曲線的綜合問題，考查了橢圓和雙曲線的性質(zhì)，考查了橢圓和雙曲線中

的定值問題，及橢圓中三角形的面積問題，計算量很大，對數(shù)據(jù)分析處理能力要求很高，屬

于難題.

52.（2022?山東泰安?三模）已知橢圓￡:二+馬=1（QQ0）的離心率6=也，四個頂點

a2b22

組成的菱形面積為8&,。為坐標(biāo)原點.

⑴求橢圓E的方程；

Q

⑵過。。：/+產(chǎn)=]上任意點「做。。的切線/與橢圓￡交于點〃，N,求證麗.麗為定

值.

22

【答案】（1）—+—=1

84

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）由條件列方程求出。力，由此可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先計算當(dāng)直線/的斜率不存在時

麗■?麗的值，再利用設(shè)而不求法求出當(dāng)直線/的斜率存在時麗.麗，結(jié)合直線與圓相切

的條件證明兩?兩為定值.

（1）

山題意得2必=8人，e七吟，a2^b2+c2

可得〃=2應(yīng)，b=2,

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+二=1.

84

（2）

當(dāng)切線/的斜率不存在時，其方程為》=±2四,

3

當(dāng)X=2近時，將x=4叵代入橢圓方程=1得y=±亞,

：.PMPN=--

3

當(dāng)》=一亞0寸，同理可得西?麗=-],

33

當(dāng)切線/的斜率存在時，設(shè)/的方程為產(chǎn)人+5，M（%?>>,）,陽々,力），

因為/與。。相切，所以=半，所以3/=8r+8

y=kx+m

x2/，得（l+2M）f+45x+2加_8=0,

----F—=1

（8---4

.4km2m2—8

??…"TTiF'

△=（4W）2—4（l+2/）（2*—8）>0,8〃一>+4>0,

m>>/2或相<-近

：.麗?麗=（西-麗）（麗-碉=（而『-麗?麗-麗?西+兩西

8-----------

=（麗）2-（而）2-（而y+西.麗=——+OMON

3

OMON=%毛+乂％=x\x2+（^1+"2）（心+根）

=（1+女）玉電+奶+W）+m2

川-弘

,（4km232-8

+km\----------------r+m

=2）株I1+2公\+2k2

________Q

.,.PMPN=——

3

0

綜上，麗.而為定值-釬

【點睛】

求定值問題常見的方法有兩種：

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

53.(2022?山東臨沂?模擬預(yù)測)如圖，已知橢圓工+卷=1(。＞式＞0)的離心率為正，以該

橢圓上的點和橢圓的左、右焦點與心為頂點的三角形的周長為4(人+1).一等軸雙曲線的頂

點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線尸耳和「尸2與橢圓的交點分

別為A、B和C、D.

(I)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)直線尸耳、P網(wǎng)的斜率分別為勺、k2,證明勺匕=1；

(III)是否存在常數(shù)2,使得|明+|8|=H43，。力恒成立？若存在，求4的值；若不存在,

請說明理由.

22

【答案】([)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+==1;雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

84

y-^=l(II)&「心=皆7=1.(Hl)存在常數(shù)幾=還使得|知十|8|=川明?|內(nèi)恒

成立，

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)設(shè)橢圓的半焦距為C,由題意知：￡=史，

a2

2a+2c=4(0+1),所以a=20,c=2.

又a2=b?+c2,因此b=2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+片=1.

84

由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為三一E=l(m>0),因為等軸雙曲線的頂點是橢圓的焦

mm

22

點，所以m=2,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二一匕=1.

44

(2)設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2)>P(xo>yo).則ki="°八，卜2=、

-?

x0+2x02

因為點P在雙曲線x2—y2=4上，所以X—y=4.

2

因此ki-k2=)。cc=——=1，即k「k2=1.

5+2麗-2兩2-4

2

(3)由于PF1的方程為y=ki(x+2),將其代入橢圓方程得(2k；+l)x-8k^x+8k；-8=0,

Ot-2Ol-2_o

顯然2k；+l/0,顯然△>().由韋達(dá)定理得X|+X2=-^，一，X|X2=g.

12婷+12^2+l

同理可得|CD|=472與+1.

2婷+1

111,2兄+12占2+1

貝！J:---\:---:=--產(chǎn)（--5---+---5----

\AB\\CD\4&互+1=+i

又krk2=l,

故|AB|+|CD|=ZWZ|AB||CD|.

8

因此存在X=逑，使|AB|+|CD|=A|ABHCD|恒成立.

8

考點：本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

點評：對于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯(lián)立方程，同時結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)

的關(guān)系進(jìn)行求解；而對于最值問題，則可將該表達(dá)式用直線斜率k表示，然后根據(jù)題意將其

進(jìn)行化簡結(jié)合表達(dá)式的形式選取最值的計算方式

54.(2022.山東濱州?二模)已知拋物線C:/=2py(p>0)在點M(1,%)處的切線斜率為\.

(1)求拋物線。的方程；

(2)若拋物線C上存在不同的兩點關(guān)于直線/：y=2x+m對稱，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴x?=4y；

9

(2);n>-.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)給定條件，求出切線方程，再與拋物線C的方程聯(lián)立，借助判別式計算作答.

(2)設(shè)出拋物線C上關(guān)于/對稱的兩點A,B的坐標(biāo)，并設(shè)出直線AB的方程，再與拋物線

C的方程聯(lián)立，借助判別式及韋達(dá)定理計算作答.

(1)

點則切線方程為：y-；=：(x-D,由『廣二『"XT)消去y并整理得：

2P2p2[x=2py

x2-px+p-\=0,依題意，A=p2-4(p-l)=0,解得p=2,

所以拋物線C的方程是f=4y.

(2)

設(shè)拋物線C上關(guān)于/對稱的兩點為人(%芳),8(々,必)，則設(shè)直線AB方程為：y=~x+t,

1

y=——x"Vt|

由『2消去y并整理得：丁+2工_今=0,則有A'=4+⑹>0,解得”-了，

d=4y4

X,+X2=-2,yl+y2=-i(x,+x2)+2t=2f+l,顯然線段A3的中點(-lJ+g)在直線/上，

于是得,+(=-2+機(jī)，即有"機(jī)而"一!，因此，解得m>3，

224244

所以實數(shù)/〃的取值范圍是小>：9.

4

【點睛】

結(jié)論點睛：拋物線f=2py(pw0)在點(看,各處的切線斜率％=微；

2

拋物線V=2Px(p*0)在點(普,%)(為豐0)處的切線斜率k=B.

2P%

55.(2022.山東日照?二模)已知拋物線匕：》2=2"(〃>0)過點V(4,4),。為坐標(biāo)原點.

(1)求拋物線購的方程；

(2)直線/經(jīng)過拋物線C1的焦點，且與拋物線C1相交于A,B兩點，若弦A8的長等于6,求AOAB

的面積；

(3)拋物線C|上是否存在異于O,M的點N,使得經(jīng)過O,M,N三點的圓C和拋物線G在

點N處有相同的切線，若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴/=”

⑵G

(3)存在，坐標(biāo)為(一2,1)

【解析】

【分析】

(1)點〃坐標(biāo)代入拋物線方程可得答案；

(2)設(shè)直.線/的方程/:y="+l,與拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理代入=々|,

得到4優(yōu)2+1)=6解得兀，求出原點。到直線，距離/，可得的面積；

't2A

(3)假設(shè)拋物線C|上存在點Nt,-,設(shè)經(jīng)過O,M,N三點的圓的方程為

<4，

22

x+y+DX+Ey+F=(),代入三點坐標(biāo)可得尸+4(E+4)f—16(E+8)=0①，求出拋物線C1在

點處的切線的斜率，直線NC的斜率，根據(jù)乘積為T可得/+2(E+4)/—4(E+8)=0

②，由①②消去E可得答案.

(1)

拋物線￡:x2=2〃y(p>0)過點/(4,4),

P=2,拋物線G方程x?=4y.

(2)

設(shè)直線/的斜率為4,則/：丫=丘+1,

fy=kx+\

由。),=/，得f-46—4=0,

?.?直線/與拋物線G有兩個交點4,B,所以A=16左2+16>0①,

.,.設(shè)A（%，x）,35，％）則可得玉+受=4%,x,x2=-4,

于是|AB|=>/1+41再一司=’（1+&2）［（王+々）2-4X,X2J

=J/+1J16&?+16=4（&2+1）=6,

由4①+1）=6②，

由①②解得％=土也，直線/的方程為丫=士4》+1,

原點O到直線/距離d=「1==顯,

V4+23

△OA5的面積為S=-^^x6x—=布.

32

⑶

已知O,M的坐標(biāo)分別為（。，0）,（4,4）,拋物線G方程犬=4），，

假設(shè)拋物線C上存在點N（z,?J（rxo且y4）,

使得經(jīng)過O,M,N三點的圓C和拋物線G在點N處有相同的切線.

設(shè)經(jīng)過。，M,N三點的圓的方程為Y+V+Dx+Ey+F：。，

F=0

則<4D+4E+F=—32,

\6tD+4rE+\6F=-tA-16r

整理得戶+4（E+4）f-16（E+8）=0①，

???函數(shù)《=y的導(dǎo)數(shù)為y=［,.?.拋物線G在點處的切線的斜率為:，

42<4J2

,經(jīng)過O,M,N三點的圓C在點N［一1處的切線斜率為1，

I4J2

f_+E

.；”0,...直線NC的斜率存在二?圓心的坐標(biāo)為

14--

2

即戶+2（E+4）f-4（E+8）=0②，

Vr*0,由①②消去E,得一一6產(chǎn)+32=0,

即?-4）2（f+2）=0.：r4,：.t=-2,

故滿足題設(shè)的點N存在，其坐標(biāo)為（-2,1）.

56.（2022?山東臨沂?二模）己知拋物線”：丫2=2〃武2>0）的焦點為「，拋物線”上的一點

2

M的橫坐標(biāo)為5,。為坐標(biāo)原點，cosZOFM=--.

（1）求拋物線”的方程；

（2）若一直線經(jīng)過拋物線H的焦點F,與拋物線H交于A,B兩點，點C為直線x=-l上的動

點.

①求證：ZACB<-.

②是否存在這樣的點C,使得AABC為正三角形?若存在，求點C的坐標(biāo)；若不存在，說明

理由，

【答案】（1）拋物線，的方程為>2=4x；

（2）證明見解析；存在點C（-l,±8也），使得A4BC為正三角形，理由見解析.

【解析】

【分析】

（1）由條件列方程求參數(shù)。，由此可得拋物線4的方程；（2）設(shè)直線A8:x=/ny+l,

Aa，x）,8（w，%）,C（-l,〃），聯(lián)立方程得關(guān)于y的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理和向量瓦?麗的

表示方法，即可求證；可假設(shè)存在點C,設(shè)AB的中點為N,由立線和CN垂直關(guān)系求

出點N,由韋達(dá)定理和弦長公式求得弦IW,結(jié)合|CN|邛|A8|即可求解具體的加的值,

進(jìn)而求解點C；

（1）

因為拋物線”的方程為y2=2px,M拋物線”上且的橫坐標(biāo)為5,

所以M的縱坐標(biāo)為土JlOp,

當(dāng)點M的坐標(biāo)為（5,71而）時，過點M作MN_LOF,垂足為N,

因為cosNO尸M=-￡所以COSNM6V=],所以tanNMFN=@

+八八MN/Op/Op75

vtan4MFN=——=x---由------=—

乂FN5_P_，所以5—22，

所以p+4A-10=0,所以（而一忘）（4+5忘）=0,又。>0

所以P=2,

同理當(dāng)點M的坐標(biāo)為（5,—J昉）時:P=2

所以拋物線H的方程為V=4x；

①設(shè)直線A8:x=，*,y+1,4（%,y）,8（町%），°（一1，〃），

[x=my+\.

由〈24，得/一4帆>一4=（），

[y=4x

則y+%=4刈，y跖=T，x\+%2=4療+2,石%2=L

_〃）,

CA=（X+l,yCB=（x2+l,y2-n）

G4CB=X1X2+X+/+1+乂必一〃（凹+%）+〃？=（2〃?一〃）2>0,

______jr

所以cos55,國20,所以NAC8V5

②假設(shè)存在這樣的點C,設(shè)AB的中點為N,由①知N（2加+1,2機(jī)）：

■：CN1AB,:.=-m,則〃=2〉+4m,則C（-l,2m3+4m）,

貝U|CN|=J（2療+2y+（2加+2/n）2=2（/n2+l）府IT,而

IAB|=Jl+"Jy—%|=4（利-+1）,由|CN|=\AB|^,m=±\/2，所以存在點C（—1,±8^?）.

【點睛】

本題主要考查拋物線軌跡方程的求法，韋達(dá)定理，向量法在解析幾何中的具體應(yīng)用，由特殊

三角形的關(guān)系求解參數(shù)值，運算推理能力，綜合性強(qiáng)，屬于難題

57.（2022?山東荷澤?二模）已知拋物線E：y2=2px（p>0）的焦點為F,O為坐標(biāo)原點，拋

物線E上不同的兩點M,N只能同時滿足下列三個條件中的兩個：

①「M|+|RV|=|MV|；②|OM=|ON|=|〃N|=8。；③直線MN的方程為X=6p.

（1）問M,N兩點只能滿足哪兩個條件（只寫出序號，無需說明理由）？并求出拋物線E的

標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，過尸的直線與拋物線E交于A,B兩點，過A點的直線/與拋物線E的另一交點為

C,與x軸的交點為。，且|必|=|砌，求三角形ABC面積的最小值.

【答案】⑴②③，r=4%；

⑵16.

【解析】

【分析】

(1)分析3個條件，選擇②③，再由③求出點M,N的坐標(biāo)，結(jié)合②求出p值作答.

(2)設(shè)出直線AB的方程，與拋物線E的方程聯(lián)立，由點A的橫坐標(biāo)表示點。，求出直線

AC方程，進(jìn)而求得點C的坐標(biāo)，建立三角形面積的函數(shù)關(guān)系，求其最小值作答.

(I)

拋物線E：V=2px的焦點由①知，點尸在線段MN上，由②知，AOMN為正三角

形，由③知，直線過點(6p,0),

顯然①③矛盾，若是①②，令聞心/)，N&,.%)，則IMNi+^+P，由10Ml=|ON|得:

f；+s；=g+s；,

即片+2*=片+2M=儲-2)(4+4+2p)=0,有，i=，2，又IOMRMNI,

于是有f：+2*=(4+p)2,整理得3彳+2回+/?=0,此等式不成立，即①@矛盾，依題意,

同時滿足的條件為②③，

因直線MN的方程為x=6p,則不妨令"(6p,2>/Jp),則N(6p,-26p),即有|〃N|=46p，

而|MN|=86，則有P=2,此時10Ml=|0N|=86,即|。叫=|CW|=四7|=8。成立,

所以y2=4x.

(2)

[x=zny+1

顯然直線AB不垂宜于)，軸，設(shè)A5:x="y+1,山2:消去x并整理得：

=4x

y2-4my-4=0,

設(shè)A(x“yJ,BQ"?),由拋物線的對稱性，不妨令A(yù)點在x軸上方，即X>。，

7^2=-41=(??")=1，m=|/1B|=XI+X2+2=X1+—+2,

16%x\

由附=閥得：0(A,+2,0),則直線AO:y=-/(x-%-2),

由卜=一弓'(x-—2)整理;丁+工丫一”2=0,則有點c的縱坐標(biāo)為-?-%,

"以4%%

于是得點C(4+玉+<?，一%,又y/1+m2=J1+(土與=匕土，

點C到A8距離

14+^+—+w(—+^)-1|/8上、「文（2+x+口,

XX__X..4x.—1

|4+玉+—+——（丁+芳）一||1+x,1%

Jl+1??]+EXX

山…扣如=扣+；+2）.黑（2+舊戶黑（2+再+9

當(dāng)且僅當(dāng)6=：,即為=1時取"=”,

所以三角形A3C面積的最小值是16.

【點睛】

思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫（縱）截距、

圖形上動點的橫（縱）坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.

58.（2022.山東棗莊?三模）已知雙曲線C:：-3=l（a>08>0）的實軸長為2.點（4,-1）是

a~b

拋物線E:/=2py的準(zhǔn)線與C的一個交點.

（1）求雙曲線C和拋物線E的方程；

（2）過雙曲線C上一點P作拋物線E的切線，切點分別為A,B.求△PAB面積的取值范圍.

【答案】⑴C:Y_6y2=l,￡:x2=4y

可奈+8）

【解析】

【分析】

（1）代入點（6,-1）結(jié)合雙曲線。：捺-，=1（。>0/>0）的實軸長為2可得雙曲線方程，根據(jù)

拋物線的準(zhǔn)線方程可得拋物線方程；

（2）設(shè)直線AB方程為丫="+"，4（.乂）,3（電,%），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線ARBP

的方程，聯(lián)立可得戶的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程，結(jié)合面積表達(dá)式求解范圍即可

（1）

由題，“=1,又點訪-1）在雙曲線上，故