§2

復(fù)合函數(shù)微分法

凡是學(xué)過一些微積分的人,沒有一個(gè)會對復(fù)合函數(shù)微分法的重要性產(chǎn)生懷疑.可以毫不夸張地說,誰不懂得復(fù)合微分法,誰就會在計(jì)算導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)時(shí)寸步難行.二、復(fù)合函數(shù)的全微分返回一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)函數(shù)(1)定義在平面的區(qū)域D上,函數(shù)(2)定義在xy

平面的區(qū)域上.若則可構(gòu)成復(fù)合函數(shù):

(3)其中

(1)

為內(nèi)函數(shù),

(2)

為外函數(shù),(x,y)

為中間變量,

(s,t)

為自變量.下面將討論復(fù)合函數(shù)F的可微性,并導(dǎo)出F的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的復(fù)合運(yùn)算法則.定理17.5若在點(diǎn)可微，在點(diǎn)可微,則

關(guān)于s與t的偏導(dǎo)數(shù)分別為復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可微，且

(4)是(6)證由假設(shè)在點(diǎn)可微,于(5)

(7)現(xiàn)把(5),(6)兩式代入(7)式，得到其中時(shí)又由在點(diǎn)可微,故有其中時(shí)，并可補(bǔ)充定義:當(dāng)時(shí),整理后又得其中(8)并求得z關(guān)于s和t的偏導(dǎo)數(shù)公式(4)．

從而也有以及于是在(9),(10)兩式中,當(dāng)時(shí),有公式

(4)

也稱為鏈?zhǔn)椒▌t．能輕易省略的,否則上述復(fù)合求導(dǎo)公式就不一定成立．例如注如果只是求復(fù)合函數(shù)關(guān)于s或t的偏導(dǎo)數(shù),則上述定理中只須具有關(guān)于s或t的偏導(dǎo)數(shù)就夠了.因?yàn)橐曰虺?/p>

(7)

式兩邊,然后讓或也能得到相應(yīng)的結(jié)果.但是對外函數(shù)的可微性假設(shè)是不為內(nèi)函數(shù)，則得到以t為自變量的復(fù)合函數(shù)由

§1習(xí)題6已知但在點(diǎn)

(0,0)

不可微.若以為外函數(shù),這說明：在使用鏈?zhǔn)椒▌t時(shí)，必須注意外函數(shù)可微

這個(gè)條件.解

所討論的復(fù)合函數(shù)以(u,v)為中間變量,(x,y)為

自變量,并滿足定理17.5的條件.故由關(guān)于自變量的偏導(dǎo)數(shù)為根據(jù)公式(4)得到例2因此有于是解復(fù)合后僅是自變量t的一元函數(shù)．于是例3的復(fù)合函數(shù)對t求導(dǎo)數(shù)(這種導(dǎo)數(shù)又稱為“全導(dǎo)數(shù)”);求偏導(dǎo)數(shù)．二者所用的符號必須有所區(qū)別．例4

用多元復(fù)合微分法計(jì)算下列一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù):注上面第一個(gè)等式中，左邊的是作為一元函數(shù)右邊的是外函數(shù)(作為u,v,t的三元函數(shù))對t則有由此可見，以前用“對數(shù)求導(dǎo)法”求一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的問題,如今可用多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t來計(jì)算.解令由于而實(shí)用的寫法(省去了引入中間變量):說明上面的解法是通過引進(jìn)中間變量后,借

助鏈?zhǔn)椒▌t而求得的;上述過程還有一種比較簡潔證明:在極坐標(biāo)系里只是的函數(shù)．為此設(shè)證本題即是要證明:經(jīng)極坐標(biāo)變換后，滿足例6

設(shè)在上的可微函數(shù)滿足方程是的函數(shù)．從而在上的極坐標(biāo)系里與無關(guān),于是只二、復(fù)合函數(shù)的全微分分為(11)如果作為中間變量,又是自變量的可微函數(shù)則由定理17.5知道,復(fù)合函數(shù)是可微的,其全微分為將(13)式代入(12)式,得到與(11)式完全相同的結(jié)果,這就是多元函數(shù)的一階(全)微分形式不變性.利用微分形式不變性,能更有條理地計(jì)算復(fù)合函數(shù)的全微分．因此并由此得到復(fù)習(xí)思考題1.在一元函數(shù)章節(jié)里，利用對數(shù)求導(dǎo)法曾得到過一個(gè)結(jié)果:數(shù)與指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)而得到的.有人認(rèn)為這是偶然的巧合，也有人認(rèn)為這是必然的結(jié)果．試問哪一種