2022-2023學年高一上數學期末模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1.“幸福感指數”是指某個人主觀地評價自己對目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標.常用區(qū)間［0,10］內的一個數來表示，

該數越接近1()表示滿意度越高.甲、乙兩位同學分別隨機抽取1()位本地市民，調查他們的幸福感指數，甲得到10位市

民的幸福感指數分別為6,7,7,7,8,8,8,9,10,10,乙得到10位市民的幸福感指數的平均數為8,方

差為0.4,則這20位市民幸福感指數的方差為()

A.0.4B.0.8

c.lD.2

2.要得到函數y=sin(2x—9的圖象，只需將函數y=sin(2x.］的圖象()

A.向左平移?個單位長度

6

B.向左平移春個單位長度

C.向右平移?個單位長度

D.向右平移3個單位長度

3.已知一個樣本容量為7的樣本的平均數為5,方差為2,現樣本加入新數據4,5,6,此時樣本容量為10,若此時

平均數為方差為52,則()

A.%=5>s2=2B.x=5,$2=1.6

C.x=4.9,/=1.6D.X=5.1>s1=2

4.下列函數中，是奇函數且在其定義域內單調遞增的是

A.y=sinxB.y=tanx

C.y=x3D.y=ex

5.定義：對于一個定義域為。的函數/(x),若存在兩條距離為d的直線，=丘+班和，=依+呵，使得xe。時,

恒有依+仍〈依+用，則稱“X)在。內有一個寬度為d的通道.下列函數:

①/(x)=x2(x'o)；②〃x)="-。;

③’("J：:f④/(x)=：(W").

1—c,X->UX

其中有一個寬度為2的通道的函數的序號為

A.①@B.②③

C.@@D.②③④

6.函數/(x)=lg(3+a〕是奇函數，則。的值為

A.0B.1

C.-1D,不存在

x<0

7.已知函數〃司=,的圖象上關于y軸對稱的點至少有3對，則實數”的取值范圍是

logax(4z>0,_Etz^1),x>0

A(?；?、

B.

3

lJ7

8.已知點尸(3,4)在角a的終邊上，則cos|^+a的值為()

3

A-

5

4

C.-

5

9,已知國表示不大于x的最大整數，若函數/.(x)=x2+a[x]x-a在(0,2)上僅有一個零點，則實數。的取值范圍為

()

A.(-CO,-4)B.(0,l)

4

C.(-8,-4)。(0,1)D.(-oo,一一)o(0,+oo)

3

——2xxW0

10.函數〃x)=''J,若y=/(x)+a恰有3個零點，則a的取值范圍是。

log2x,x>0

A.(-oo,-l]B.(-1,0]

C.D.[(),+8)

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.黑函數丫=/，當a取不同的正數時，在區(qū)間［0,1］上它們的圖像是一族美麗的曲線(如圖).設點A(l,0)、8(0,1),

連接AB,線段A3恰好被其中的兩個募函數y=y=x%的圖像三等分，即有BM=MN=NA.那么

ata2=_______

12.函數j=cos2x—sinx的值域是

13.己知“X)是偶函數，且方程/(X-3)=0有五個解，則這五個解之和為

14.集合A={1,2}的非空子集是

r2ex-',x<2

15.已知函數”x)==則/(/(3))的值為

ln^2-l),x>2

16.若關于x的方程&二3=x+b只有一個實根，則實數b的取值范圍是.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知/(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，/(x)=2x-x2

(1)求/(x)的解析式;

(2)求不等式/(5m》)>/(856的解集.

18.已知函數/(x)=log〃x(a>0且awl)的圖象過點(9,2).

(1)求。的值.

⑵若g(x)=/(2-x)+/(2+x).

(i)求g(x)的定義域并判斷其奇偶性;

(ii)求g(x)的單調遞增區(qū)間.

19.已知函數/(》)=108?X(。>0且。。1)的圖象恒過點4,且點A在函數丫=如+〃-1(/加>0)的圖象上.

(1)求工+’的最小值；

mn

(2)若a=2,當xe[2,4]時，求丁=[/(月了—2/(x)+3的值域.

20.已知某觀光海域AB段的長度為3百公里，一超級快艇在A8段航行，經過多次試驗得到其每小時航行費用。(單

位：萬元)與速度v(單位：百公里/小時)(0/vW3)的以下數據：

V0123

Q00.71.63.3

為描述該超級快艇每小時航行費用。與速度V的關系，現有以下三種函數模型供選擇：Q=av3+bv2+cv,Q=0.5"+a,

Q=klogav+b

(1)試從中確定最符合實際的函數模型，并求出相應的函數解析式；

(2)該超級快艇應以多大速度航行才能使A8段的航行費用最少？并求出最少航行費用

21.已知函數y=/(x)的定義域為K,其圖像關于原點對稱，且當x>0時，/(力二X2—4x+3

(1)請補全函數“X)的圖像，并由圖像寫出函數“X)在R上的單調遞減區(qū)間;

(2)^m=log25-log4100,〃=3嘀2,求/(加一〃)的值

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1、C

【解析】設乙得到10位市民的幸福感指數為王,々，…，王0,甲得到10位市民的幸福感指數為X”，再2,…，/()，求出

10201020

￡玉，由甲的方差可得Zx：的值，再求出2七2的值，由方差公式即可求解.

三】/=11i=l/=11

【詳解】設乙得到1()位市民的幸福感指數為玉,馬，…，玉0,貝！I%+…+%0=80,

甲得到1()位市民的幸福感指數為西1，再2,…,々()，可得，內|+玉2+…+々0=8。，

所以這20位市民的幸福感指數之和為玉+々+…+工20=160,平均數為翳=8,

11031(1010\

由方差的定義，乙所得數據的方差：￡>(%)=—XU-8)-=77+10x82-16Xx-=0.4,

io/=iio3=1/1=1?

由于％+工2+…+西0=80,解得：工：+只+…+瑞=644.

因為甲得到10位市民的幸福感指數為6,7,7,7,8,8,8,9,10,10,

所以+xf2H---卜舄1=656,

所以這20位市民的幸福感指數的方差為:

其120")1(20+20x8-620yJ\

=^x(656+644+1280-16x20x8)=1,

故選：C.

2、D

【解析】化簡得到片呵2%一看

根據平移公式得到答案.

.萬

【詳解】y=sin12x-?y=soin2x--=-sin2(

I3

故只需向右平移二個單位長度

12

故選：D

【點睛】本題考查了三角函數的平移，意在考查學生對于三角函數的變換的理解的掌握情況.

3,B

【解析】設這10個數據分別為：王,々「。了7，％8=4,/=5,玉0=6,進而根據題意求出%+/+…+七和

(%—5『+(電-5『+…+(天—5)2,進而再根據平均數和方差的定義求得答案.

【詳解】設這10個數據分別為：西,々，…,％7，/=4,%=5,%0=6,根據題意

*+%；——=5=>玉+W+???+毛=35,

—5)2…)2=2nQ-5『+(”5)2+…+5-5)2=14，

所以1=%+*2；+/=35+：；5+6=5,

一2(%-5『+(芍-5)?+…+(為0-5/14+(4-5/+(5-5/+…+(6-5)2

s———1.6?

1010

故選：B.

4、C

【解析】根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性與單調性，綜合即可得答案

【詳解】解：根據題意，依次分析選項：

對于A,y=sinx,是正弦函數，在定義域上不是增函數；不符合題意；

對于B,j=tanx,為正切函數，在定義域上不是增函數，不符合題意；

對于C,?=好，是奇函數且在其定義域內單調遞增，符合題意；

對于。，y=e，為指數函數，不是奇函數，不符合題意；

故選C

【點睛】本題考查函數的奇偶性與單調性的判定，關鍵是掌握常見函數的奇偶性與單調性

5、D

【解析】②③可由作圖所得，④作圖可知有一個寬度為1的通道，由定義可知比1大的通道都存在.

6、C

【解析】由題意得，函數/(無)=館(占是奇函數，則/(0)=0,即

/(())=lg［：+a)=lg(2+a)=0,解得。=一1,故選C.

考點：函數的奇偶性的應用.

7、D

【解析】本題首先可以求出函數/(x)=singx-l(x<0)關于y軸對稱的函數g(x)的解析式，然后根據題意得

I//

出函數g(X)與函數/,(X)=10g"X(X>0)的圖像至少有3個交點，最后根據圖像計算得出結果

【詳解】若x>0,則一x<0,

因為x<0時，/(x)=sinfyxj-l

所以〃—x)=

所以若/(%)=sin-1（%<0）關于）’軸對稱,

則有〃r)=T=/(x)，即y二一sin—x-l(x>0),

設g(x)=-sinCx]-l(x>0),畫出函數g(x)的圖像,

結合函數的單調性和函數圖像的凹凸性可知對數函數與三角函數在點尸（5,-2）處相交為臨界情況,

即要使8（%）=-S皿仁*卜1（彳>0）與/3=108“％（尤>0）的圖像至少有3個交點，

需要0<”1且滿足g（5）<〃5）,即-2<log“5,解得0<“<冬故選D

【點睛】本題考查的是函數的對稱性、對數函數以及三角函數的相關性質，主要考查如何根據函數對稱性來求出函數

解析式，考查學生對對數函數以及三角函數的圖像的理解，考查推理能力，考查數形結合思想，是難題

8、D

【解析】利用三角函數的定義即可求出答案.

【詳解】因為點P（3,4）在角催的終邊上，所以|OP|=J的+42=5,

7C4

cos（—+a）=-sin?,

故選:D

【點睛】本題考查了三角函數的定義，三角函數誘導公式，屬于基礎題.

9、C

【解析】根據題意寫出函數表達式為：/(')=<2。小，在(0,2)上僅有一個零點分兩種情況，情況一:

X+CIX—XG(1,2)

-Cl<0

在第一段上有零點，,C=0<。<1,此時檢驗第二段無零點，故滿足條件；情況二，第二段有零點，

l-a>0

-a>0

?/⑴=l〉0=a<_4

J⑵<0

以上兩種情況并到一起得到：(T4T)U(O,1).

故答案為C.

點睛：在研究函數零點時，有一種方法是把函數的零點轉化為方程的解，再把方程的解轉化為函數圖象的交點，特別

是利用分離參數法轉化為動直線與函數圖象交點問題，這樣就可利用導數研究新函數的單調性與極值，從而得出函數

的變化趨勢，得出結論.

10、B

一廠一2xxW0

【解析】畫出/(x)='一的圖像后，數形結合解決函數零點個數問題.

[log2x,x>0

-x2-2x,x<0

【詳解】做出函數/(x)=<,八圖像如下

log2x,x>0

由_f_2x=0得玉=-2,%2=°，由bg2X=0得％=1

故函數y=/(X)有3個零點-2,0,1

若y=/(x)+a恰有3個零點，即函數y=/(x)與直線k有三個交點,

則a的取值范圍一1<aW0,

故選：B

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、1

1221

【解析】求出M,N的坐標，不妨設y=x%y=x%,分別過加()，,分別代入點的坐標，變形可解

得結果.

【詳解】因為41，0),8(0,1),BM=MN=NA,

所以川《彳)，yv(|,|),

1?21

不妨設y=/,y=x%,分別過ZV(-,-),

所以=1

故答案為：1

12、

【解析】將原函數轉換成同名三角函數即可.

【詳解】y=cos2x-sinx=—sin2x-sinx+1=—sinx+—十二，

I2)4

-.--l<sinx<l?當sinx=—,時取最大值v|max=-?

24

當sinx=l時，取最小值ylmin=一1；

故答案為：-1,—.

_4_

13、15

【解析】根據函數的奇偶性和圖象變換，得到函數y=.f(x-3)的圖象關于x=3對稱，進而得出方程其中其中一個

解為x=3,另外四個解滿足玉+%=々+毛=6,即可求解.

【詳解】由題意，函數/(%)是偶函數，可函數f(x)的圖象關于x=0對稱，

根據函數圖象的變換，可得函數y=/(x—3)的圖象關于x=3對稱，

又由方程/(x—3)=()有五個解，則其中一個解為x=3,

不妨設另外四個解分別為X1,尤2，不，％且N<%2<*3<*4，

則滿足小；“4=/；*3=3,即玉+Z=々+芻=6,

所以這五個解之和為6+6+3=15.

故答案為：15.

14、{1},{2},{1,2}

【解析】結合子集的概念，寫出集合4的所有非空子集即可.

【詳解】集合A={1,2}的所有非空子集是{1},{2卜{1,2}.

故答案為："},{2卜{1,2}.

15、ln(91n22-l)

【解析】首先計算/(3)=ln8>2,再求/(/(3))的值.

【詳解】/(3)=ln(32-l)=ln8>2,

所以/(〃3))=/.(ln8)=ln[(ln8)2_l]=]n(91n22_l).

故答案為：In(9h?2—1)

16、TDU{碼

【解析】把關于x的方程4乒=犬+6只有一個實根，轉化為曲線y=■與直線y=x+〃的圖象有且只有一個

交點，在同一坐標系內作出曲線與直線的圖象，結合圖象，即可求解.

【詳解】由題意，關于％方程忘了=x+6只有一個實根，

轉化為曲線y=JiZ7與直線y=x+b的圖象有且只有一個交點，

在同一坐標系內作出曲線y=￡7與直線y=的圖象，如圖所示，

結合圖象可知，當直線y=x+6介于4和4之間的直線或與乙重合的直線符合題意，

又由直線y=x+6在y軸上的截距分別為一1,1,加,

所以實數匕的取值范圍是[-1』)U{夜}.

故答案為{夜}.

【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，其中解答中把方程的解轉化為直線與曲線的圖象的交點個數,

結合圖象求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及數形結合思想的應用，屬于基礎題.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)=—°{x\2k7r+—<x<2k7r+—,k&Z}.

[2x+x,x<044

【解析】(1)當x<0時，—x>0,利用〃x)=—/(—x),結合條件及"0)=0可得解;

(2)分析可得/(X)在上遞增，進而得sinx>cosx,從而得解.

【詳解】(1)當x<0時，一%>0,貝！J/(-%)=2(一%)一(一%)2=-2%—％2,

???/(%)為R上的奇函數，，/(%)=-/(一可=2x+￡且/⑼=0,

...“X)=[2XT：,XN0；

[2x+x2,x<0

(2)因為當x?0時，/(X)=2X-JC2=-U-1)2+1,所以在[()4]上遞增，

當x<0時，/(x)=2x+x2=(x+l)2-l,所以“X)在[-1,0)上遞增，

所以“X)在[-1,1]上遞增，

因為sinx,cosxe[—l,l],所以由/(sinx)>/(cosx)可得sinx>cosx,

JrSjr

所以不等式的解集為{x|2版"+2<x<2版■+",%eZ)

44

18、(1)a=3；(2)⑴定義域為(—2,2),g(x)是偶函數；(ii)(-2,0).

【解析】(1)由/(9)=2可求得實數。的值；

(2)(i)根據對數的真數大于零可得出關于實數x的不等式，由此可解得函數g(x)的定義域，然后利用函數奇偶性

的定義可證明函數g(x)為偶函數；

(ii)利用復合函數法可求得函數g(x)的增區(qū)間.

【詳解】(1)由條件知/(蜒=92=，即4=9,又。>0且awl,所以。=3；

⑵g(x)=/(2-x)+/(2+x)=log3(2-x)+log3(2+x).

2—x>0

⑴由得-2<x<2,故g(x)的定義域為(一2,2).

乙~I-/V，

因為g(-X)=log3(2+x)+log3(2-x)=g(x),故g(x)是偶函數；

2

(ii)g(%)=log2(2-x)+log2(2+x)=log2(4-x),

因為函數y=log3M單調遞增，函數w=4-d在(—2,0)上單調遞增，

故g(x)的單調遞增區(qū)間為(-2,0).

19、(1)4；(2)[2,3].

【解析】⑴根據對數函數恒過定點(1,0)求出，〃和〃的關系：加+“=1,則利用‘+,=('+!](加+〃)轉化為基

mnymnJ

本不等式求最小值；

(2)利用換元法令t=f(x),將問題轉化為二次函數求值域問題即可.

【小問1詳解】

log.1=0,.?.函數/(%)的圖象恒過點A(l,0).

■:24(1,())在函數了=如+〃-1(〃?〃>())圖象上，Am+n=l.

〃171

Vmil>0>Am>0,鹿>0,/.—>0,一>0,

mn

：.—+-=\—+^-}(m+n}=—+—+2>2,—-—+2=4,當且僅當機=〃=，時等號成立，

mn\mnJtnn]/mn2

.??工+工的最小值為4.

mn

【小問2詳解】

當a=2時，/(x)=log2x,

???〃x)=log?x在[2,4]上單調遞增，

二當尤?2,4]時，/(X)G[1,2],

令f=/(x),則丫=產一2/+3,/G[1,2],

了=產—2，+3=(7—1