第八講復雜直線型計算我們在之前的學習中已經詳細學習了直線形長度、角度以及面積的計算，并學習了直線形中的各種比例關系．下面我們就對這些知識作一下總結．本講知識點匯總：我們在之前的學習中已經詳細學習了直線形長度、角度以及面積的計算，并學習了直線形中的各種比例關系．下面我們就對這些知識作一下總結．角度問題邊形的內角和是；邊形的外角和是360°．基本直線形的面積計算：

三角形、平行四邊形、長方形、正方形、梯形面積公式（詳細公式略）．直線形中的比例關系等高三角形：面積比等于底的比．babaS2S1abS2S1abS2S1S1aS2b共角三角形：面積比等于共角夾邊比的乘積．如右圖所示，陰影三角形與大三角形共享一個角，它的左側邊占大三角形左側邊的，右側邊占大三角形右側邊的，那么它的面積就是大三角形的．沙漏三角中的比例關系：如下圖所示，上下兩個三角形底邊平行，另兩邊呈交叉關系，則有比例關系成立．aabcdefabcdefabcdefabab共邊長方形的面積比等于另一組邊的比．如右圖所示，．

ab如右圖所示，長方形被一對分別平行于長、寬的線段一分為四，則有面積比例：．將其寫成交叉相乘的形式可得．

abS1S1S2S3S4如右圖所示，當四邊形被對角線分為四個部分的時候，這四塊的面積有的比例關系成立．S3S4S1S2如右圖所示，連接四邊形的一條對角線CD，并在CD上取一點O，連接OA和OBS3S4S1S2a1a1b1c1a2b2c2金字塔模型右圖三角形中添加一條與底邊平行的平行線，就是金字塔模型．金字塔模型的比例關系如右圖：

和．燕尾三角形：上面的等高三角形中我們學過等高三角形的比例關系，如下左圖所示，△ABC被線段AD一分為二，且有比例關系．abS1S2abS1S2ABCD外比：BS1S2S3S4CADO內比：面積之間的比例關系如圖中所示．A、B是兩個大小完全一樣的長方形，已知這個長方形的長比寬長8厘米，圖中的字母表示相應部分的長度．則A、B中陰影部分的周長之差是多少厘米？

「分析」根據(jù)圖中標出的字母，你能用字母a、b分別表示出長方形的長和寬以及兩圖中陰影部分的周長之差嗎？

bbbbbbbbBaaabbbbA②①練習1、下圖中，大正六邊形內部有7個完全一樣的小正六邊形．如果陰影部分的周長是l20(陰影部分周長由內、外兩部分組成)，那么大正六邊形的周長是多少？

如圖，ABCDE是正五邊形，CDF是正三角形，那么∠BFE等于多少度？

「分析」正五邊形的每個內角是多少度？等邊三角形每個內角又是多少度？由此如何求出∠BFE的度數(shù)？

AACDEFB

練習2、如下圖，已知ABCDEF是正六邊形，ABIJK是正五邊形，ABGH是正方形，圖中∠AFK、∠AHK哪個大，它們的差是多少度？

ADCADCBFEGHKJI如圖，四邊形ABCD與四邊形CNMP都是平行四邊形，若三角形DFP與三角形AEF的面積分別是21和43，則三角形BNE的面積為多少？

AAPDBNCMEF「分析」兩個平行四邊形為我們提供了幾組平行線這個條件，那么如何使用平行線作為我們的解題突破口呢？

練習3、圖中的長方形被分成若干小塊，其中四塊的面積已經標出，那么陰影部分的面積是多少？

11231427

11231427已知四邊形ABCD是平行四邊形，三角形AEF的面積為4，三角形CDE的面積為9，那么平行四邊形的面積等于多少？

ABCDFE

「分析」這道題中有一個“沙漏形”是可以用在解題中的請你找出．

練習4ABCDFEABCDO416

如圖，大長方形被分為四個小長方形，面積分別為12、24、35、49．那么圖中陰影圖形的面積為多少？

1224493512244935EGFACBHDIJ如圖所示，ABCD是一個長方形，點E在CD延長線上．已知AB5，BC12，三角形AFE的面積等于15，那么三角形CFE的面積等于多少？

ABCDEFABCDEF幾何原本幾何原本《幾何原本》（希臘語：Στοιχε?α）是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學著作，共13卷．這本著作是現(xiàn)代數(shù)學的基礎，在西方是僅次于《圣經》而流傳最廣的書籍．這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學著作，也是歐幾里得最有價值的一部著作．在《原本》里，歐幾里得系統(tǒng)地總結了古代勞動人民和學者們在實踐和思考中獲得的幾何知識，把人們公認的一些事實列成定義和公理，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學．而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作．《幾何原本》集整個古希臘數(shù)學的成果和精神于一書．既是數(shù)學巨著，又是哲學巨著，并且第一次完成了人類對空間的認識．除《圣經》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相比．《幾何原本》大約成書與公元前300年，原書早已失傳，如今見到的《幾何原本》是經過后來的數(shù)學家們修改過的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，書中大部分內容有關圖形的知識（即幾何知識）．1582年，意大利人利瑪竇到我國傳教，帶來了15卷本的《原本》．1600年，明代數(shù)學家徐光啟（1562-1633）與利瑪竇相識后，便經常來往．1607年，他們把該書的前6卷平面幾何部分合譯成中文，并改名為《幾何原本》．后9卷是1857年由我國清代數(shù)學家李善蘭（1811-1882）和英國人偉烈亞歷譯完的．《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴格的幾何體系，在這個體系中有四方面主要內容，定義、公理、公設、命題（包括作圖和定理）．《幾何原本》第一卷列有23個定義，5條公理，5條公設．（其中最后一條公設就是著名的平行公設，這些定義、公理、公設就是《幾何原本》全書的基礎．全書以這些定義、公理、公設為依據(jù)邏輯地展開他的各個部分的．比如后面出現(xiàn)的每一個定理都寫明什么是已知、什么是求證．都要根據(jù)前面的定義、公理、定理進行邏輯推理給予仔細證明．歐幾里得的《幾何原本》是中學生學習數(shù)學基礎知識的好教材．它巳成為培養(yǎng)、提高青、少年邏輯思維能力的好教材．歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而做出了偉大的貢獻．兩千多年來，《幾何原本》一直是學習幾何的主要教材．哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學者都曾學習過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就．課堂內外作業(yè)如圖，它是由若干塊面積為12平方厘米的小長方形磚和3塊白色小正方形磚砌起來的一面墻，問這塊墻的面積是多少？

ABCDE1如圖，將一個正方形的左上角和左下角折起來，并且交于A點，求∠ABCDE1ABDCE1O如圖，ABCD是一個長方形，E為CD邊的一個三等分點，如果圖中陰影部分面積為ABDCE1ODCBAFEO如圖，面積為4的正方形ABCD中，E、FDCBAFEO如圖，三角形ABC的面積是1，D、E、F分別是相應邊的三等分點，三角形ADO的面積是多少？

ACBACBDEEFOE第八講復雜直線型計算例題：答案：16厘米

詳解：長方形的長為，寬為．再根據(jù)長比寬多8厘米，就能求出厘米．長方形A中，陰影部分的周長為．長方形B中，陰影部分有6條邊，它的周長其實就等于大長方形的周長，等于．兩者相差厘米．

答案：

詳解：因為△CDF是正三角形，所以．正五邊形的內角和是，每個內角是．因此．△BCF是等腰三角形，所以，同理也等于．因此看得到．

答案：22

詳解：如圖連接AM，因為PM∥AD，所以由蝴蝶模型可知三角形DFP與三角形AFM面積相等；同樣道理三角形BEN與三角形AEM面積相等，所以三角形BEN面積=43－21=22．

AAPDBNCMEF答案：30

詳解：三角形AFE與三角形DCE構成沙漏模型，而已知面積比為4:9，所以對應邊長比為EF:EC=2:3，因此FE:FC=2:5．三角形AFE又與三角形BFC構成金字塔模型，所以三角形AFE與三角形BFC的面積比為4:25，因此三角形BFC的面積為25，所以四邊形ABCE的面積為25－4=21，因此平行四邊形的面積為21+9=30．

答案：15

詳解：，所以．，所以．由此可得，．而，因此陰影部分的面積等于．

答案：30

詳解：三角形ABF與三角形DEF構成沙漏模型，所以，即，所以，又因為AD=12，所以AF=6，因此．所以三角形CFE的面積=．練習：答案：90

簡答：陰影部分的外周長與大正六邊形相同，而陰影部分的外周長等于內周長的3倍，因此陰影部分外周長等于總周長的，即．

答案：

簡答：四邊形內角等于90°，五邊形內角等于108°，六邊形內角等于120°，所以，．△AFK與△AHK都是等腰三角形，因此，，兩者相差．

答案：25

簡答：如圖作輔助線構造蝴蝶模型即可．

112311231427111212141313答案：36

簡答：三角形AOD與三角形BOC構成沙漏模型，而已知面積比為4:16=1:4，所以對應邊長比為OD:OB=1:2，因此三角形AOD與三角形BOA的面積比為1:2，所以三角形BOA的面積為8．由蝴蝶模型可知三角形COD的面積也是8，所以梯形的面積是4+16+8+8=36．作業(yè)：答案：270

簡答：設小長方形的長為x，寬為y．從水平方向的線段可以看出，因此．所以小長方形的長寬比為3:2，而相應小正方形的邊長就是份．由此可得小長方形的面積是白色小正方形的倍，即．接著把小長方形與小正方形的面積相加即可得到答案．

FABCDE1答案：75°

簡答：如右圖，添加一個點F．△ADE是正三角形，所以，因此，由于△AFE是由△BFE折疊而來的，因此兩個三角形完全相同，