第二章極限本章學習要求：了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運用“ε－δ”ε－X”

語言描述函數(shù)的極限。理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運算法則以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應(yīng)的函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。理解極限存在準則。能較好運用極限存在準則和兩個重要極限求相應(yīng)的函數(shù)極限。高等數(shù)學函數(shù)極限概念歡迎觀看高等數(shù)學函數(shù)極限概念第二章極限第二節(jié)函數(shù)的極限與性質(zhì)三.極限定義及定理小結(jié)四.函數(shù)極限的基本性質(zhì)高等數(shù)學函數(shù)極限概念

由于數(shù)列實際上可以看成是定義域為正整數(shù)域的函數(shù),所以,可望將數(shù)列的極限理論推廣到函數(shù)中,并用極限理論研究函數(shù)的變化情形.的圖形可以看出:

如何描述它？高等數(shù)學函數(shù)極限概念高等數(shù)學函數(shù)極限概念定義想想：如何從幾何的角度來表示該定義？高等數(shù)學函數(shù)極限概念高等數(shù)學函數(shù)極限概念

將圖形對稱過去后,你有什么想法?

將圖形對稱高等數(shù)學函數(shù)極限概念定義高等數(shù)學函數(shù)極限概念

現(xiàn)在從整體上來看這個圖形,你有什么想法?高等數(shù)學函數(shù)極限概念你能否由此得出一個極限的定義和一個重要的定理.

現(xiàn)在從整體上來看這個圖形,你有什么想法?高等數(shù)學函數(shù)極限概念定義高等數(shù)學函數(shù)極限概念由于|x|>X>0

x>X

或x<X,所以,x

按絕對值無限增大時,又包含了x

的情形.既包含了x+,高等數(shù)學函數(shù)極限概念定理及極限的三個定義即可證明該定理.由絕對值關(guān)系式:高等數(shù)學函數(shù)極限概念證成立.由極限的定義可知:例1高等數(shù)學函數(shù)極限概念解無限縮小,可以小于任意小的正數(shù).因而應(yīng)該有下面證明我們的猜想:證明過程怎么寫？例2高等數(shù)學函數(shù)極限概念

這里想得通嗎？高等數(shù)學函數(shù)極限概念由圖容易看出：分析例3高等數(shù)學函數(shù)極限概念例4證高等數(shù)學函數(shù)極限概念

x

x0

時函數(shù)的極限,是描述當x無限接近

x0

時,

函數(shù)f(x)的變化趨勢.高等數(shù)學函數(shù)極限概念f(x)在點x0=0處有定義.

函數(shù)f(x)在點x0=1處沒有定義.例5高等數(shù)學函數(shù)極限概念高等數(shù)學函數(shù)極限概念定義高等數(shù)學函數(shù)極限概念((高等數(shù)學函數(shù)極限概念證

這是證明嗎？非常非常嚴格！例6高等數(shù)學函數(shù)極限概念證例7高等數(shù)學函數(shù)極限概念證？如何處理它例8高等數(shù)學函數(shù)極限概念

這里|x+2|

沒有直接的有界性可利用,但又必須設(shè)法去掉它.因為x1,所以,從某時候開始x

應(yīng)充分地接近1.(

)0x211

11+1??????????分析結(jié)論高等數(shù)學函數(shù)極限概念證證畢例8高等數(shù)學函數(shù)極限概念在極限定義中：1)

與

和x0有關(guān),即

=

(

,x0).

一般說來,

值越小,相應(yīng)的

值也越小.

2)不等式|f(x)－a|<

既要對任意的

>0,同時也要對x

x0以任何方式進行都成立.3)函數(shù)f(x)以a為極限,但函數(shù)f(x)本身可以不取其極限值a.高等數(shù)學函數(shù)極限概念y=a

y=a

y=axOyx0x0

x0+

曲線只能從該矩形的左右兩邊穿過高等數(shù)學函數(shù)極限概念3.函數(shù)的左、右極限定義高等數(shù)學函數(shù)極限概念定義高等數(shù)學函數(shù)極限概念(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個不存在.找找例題！

函數(shù)在點x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：高等數(shù)學函數(shù)極限概念y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解例9高等數(shù)學函數(shù)極限概念定理

利用|x

x0|<

<x

x0<

和極限的定義,即可證得.高等數(shù)學函數(shù)極限概念解例10高等數(shù)學函數(shù)極限概念解例11高等數(shù)學函數(shù)極限概念例12證高等數(shù)學函數(shù)極限概念三、極限定義及定理小結(jié)高等數(shù)學函數(shù)極限概念

極限定義一覽表目標不等式過程描述度量

極限形式高等數(shù)學函數(shù)極限概念

極限定義一覽表目標不等式過程描述度量

極限形式高等數(shù)學函數(shù)極限概念重要定理高等數(shù)學函數(shù)極限概念在以后的敘述中,如果函數(shù)f(x)極限的某種性質(zhì)與運算對任何一種極限過程均成立,則將使表示對任意一種極限過程的函數(shù)用符號四、函數(shù)極限的基本性質(zhì)極限.

函數(shù)極限的性質(zhì)與數(shù)列極限的性質(zhì)類似,我們只列舉出來,其證明過程請同學們自己看書.高等數(shù)學函數(shù)極限概念1.有界性定理

若limf(x)存在,則函數(shù)f(x)在該極限過程中必有界.2.唯一性定理

若limf(x)存在,則極限值必唯一.3.保號性定理

極限值的正負與函數(shù)值正負的關(guān)系

函數(shù)值的正負與極限值正負的關(guān)系高等數(shù)學函數(shù)極限概念

極限值的正負與函數(shù)值正負的關(guān)系

該定理也稱為第一保號性定理高等數(shù)學函數(shù)極限概念極限值正負與函數(shù)值正負關(guān)系的推論

作輔助函數(shù)F(x)=f(x)

c

再利用定理的結(jié)論即可得證.高等數(shù)學函數(shù)極限概念

函數(shù)值的正負與極限值正負的關(guān)系

該定理也稱為第二保號性定理高等數(shù)學函數(shù)極限概念第二保號性定理成立.運用反證法,設(shè)f(x)

0

(f(x)

0)時,有a<0(a>0),則由第一保號性定理將推出

f(x)<0

(f(x)>0)的矛盾,該矛盾就證明了高等數(shù)學函數(shù)極限概念注意:當f(x)>0

(f(x)<0)時,按照第二保號性定理也只能得到a0(a0)結(jié)論.高等數(shù)學函數(shù)極限概念例13高等數(shù)學函數(shù)極限概念函數(shù)值正負與極限值正負關(guān)系的推論若極限limf(x)=a,

limg(x)=b

存在,即limf(x)limg(x).且在該極限過程中f(x)>g(x),則有a

b,