試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【初中數(shù)學競賽】專題03方程與恒等變換競賽綜合-50題真題專項訓練（全國競賽專用）一、單選題1．（2021·全國·九年級競賽）把三個連續(xù)的正整數(shù)a，b，c按任意次序（次序不同視為不同組）填入的三個方框中，作為一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．使所得方程至少有一個整數(shù)根的a，b，c（

）．A．不存在 B．有一組 C．有兩組 D．多于兩組2．（2021·全國·九年級競賽）在方程組中，x，y，z是互不相等的整數(shù)，那么此方程組的解的組數(shù)為（）A．6 B．3 C．多于6 D．少于3二、填空題3．（2021·全國·九年級競賽）已知，則________．4．（2021·全國·九年級競賽）若，且方程的兩根均為奇數(shù)，則此方程的根為_________．5．（2021·全國·九年級競賽）以下算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字．已知“神舟”，“號”，那么六位數(shù)“飛天神舟六號”=_______．6．（2021·全國·九年級競賽）已知一個矩形的長、寬分別為正整數(shù)a，b，其面積的數(shù)值等于它的周長的數(shù)值的2倍，則______或________．7．（2021·全國·九年級競賽）一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小相同的木球，紅球上標有數(shù)字1，黃球上標有數(shù)字2，藍球上標有數(shù)字3，小明從布袋中摸出10個球，它們上面所標數(shù)字的和等于21，則小明摸出的球中紅球的個數(shù)最多不超過___________．8．（2021·全國·九年級競賽）籃、排、足球放在一堆共25個，其中籃球個數(shù)是足球個數(shù)的7倍，那么其中排球的個數(shù)是__________．9．（2021·全國·九年級競賽）某一次考試共需做20個小題，做對一個得8分，做錯一個扣5分，不做的得0分．某學生共得13分，那么這個學生沒做的題有_______個．10．（2021·全國·九年級競賽）兩個正整數(shù)的和比積小1997，并且其中一個是完全平方數(shù)，則較大數(shù)與較小數(shù)的差是___________．11．（2021·全國·九年級競賽）某自然數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字和的11倍，則這個自然數(shù)是__________．12．（2021·全國·九年級競賽）邊長為整數(shù)，周長為12的三角形的面積的最大值是_________．13．（2021·全國·九年級競賽）一個兩位數(shù)除以它的反序數(shù)所得的商數(shù)恰等于余數(shù)，則這個兩位數(shù)是__________．14．（2021·全國·九年級競賽）某個兩位自然數(shù)，它能被其各位數(shù)字之和整除，且除得的商恰好是7的倍數(shù)，寫出符合條件的所有兩位數(shù)是_________．15．（2021·全國·九年級競賽）小孩將玻璃彈子裝進兩種盒子，每個大盒子裝12顆，每個小盒子裝5顆，若彈子共有99顆，所用大、小盒子多于10個，則大盒子數(shù)為________，盒子數(shù)為__________．16．（2021·全國·九年級競賽）設平方數(shù)是11個相繼整數(shù)的平方和，則y的最小值是__________．17．（2021·全國·九年級競賽）一個三位數(shù)，它等于它的各位數(shù)碼之和的12倍．試寫出所有這樣的三位數(shù)_________．18．（2021·全國·九年級競賽）一個四位數(shù)與它的四個數(shù)字之和等于1991，這個四位數(shù)是___________．19．（2021·全國·九年級競賽）n是一個非立方的四位數(shù)，且它僅有4個正約數(shù)，除了它本身之外其他三個約數(shù)的和等于1000，那么這個四位數(shù)n是___________．20．（2021·全國·九年級競賽）方程在正整數(shù)范圍內(nèi)的解是_________．21．（2021·全國·九年級競賽）方程有_________組正整數(shù)解．22．（2021·全國·九年級競賽）已知三角形的三個角的度數(shù)都是小于120的質數(shù)，則這個三角形三個角的度數(shù)分別是__________．23．（2021·全國·九年級競賽）若質數(shù)m，n滿足，則的值為_________．三、解答題24．（2021·全國·九年級競賽）（1）設x是實數(shù)，證明：，（2）求之值25．（2021·全國·九年級競賽）3設a，b，c是正數(shù)，且，證明：．26．（2021·全國·九年級競賽）若，證明：．等號成立當且僅當．27．（2021·全國·九年級競賽）若，則，等號成立當．28．（2021·全國·九年級競賽）已知為實數(shù)且，證明：．29．（2021·全國·九年級競賽）設且，證明：．30．（2021·全國·九年級競賽）是否存在質數(shù)p，q，使得關于x的一元二次方程有有理數(shù)根？31．（2021·全國·九年級競賽）已知b，c為整數(shù)，方程的兩根都大于且小于0．求b和c的值．32．（2021·全國·九年級競賽）試求兩個不同的自然數(shù)，它們的算術平均數(shù)A和幾何平均數(shù)G都是兩位數(shù)，其中A，G中一個可由另一個交換個位和十位數(shù)字得到．33．（2021·全國·九年級競賽）已知方程的根都是整數(shù)，求整數(shù)n的值．34．（2021·全國·九年級競賽）已知，且，求的最小值．35．（2021·全國·九年級競賽）已知p為質數(shù)，使二次方程的兩根都是整數(shù)，求出p的所有可能值．36．（2021·全國·九年級競賽）已知n為正整數(shù)，且能被整除，試求n的值．37．（2021·全國·九年級競賽）試求出這樣的四位數(shù)，它的前四位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別組成的二位數(shù)之和的平方，恰好等于這個四位數(shù)．38．（2021·全國·九年級競賽）已知m，n為整數(shù)，n為整數(shù)，且滿足，求m，n的值．39．（2021·全國·九年級競賽）a為整數(shù)，若存在整數(shù)b和c使，求整數(shù)a的值．40．（2021·全國·九年級競賽）b都是大于1的整數(shù)，a，b為何值，方程有兩個整數(shù)根．41．（2021·全國·九年級競賽）m，n為正整數(shù)，關于x的方程有正整數(shù)解．求m，n的值．42．（2021·全國·九年級競賽）所有的整數(shù)a，使得關于x的一元二次方程的兩根皆為整數(shù)．43．（2021·全國·九年級競賽）a，b都是正整數(shù)．試問：關于x的方程是否有兩個整數(shù)解？如果有，請把它們求出來；如果沒有，請給出證明．44．（2021·全國·九年級競賽）有三個都不為0且互不相同的數(shù)碼，用它們組成各個可能的三位數(shù)（不重復使用數(shù)碼），其和為2886，如果把這三個數(shù)碼從小到大排成一個三位數(shù)，又從大到小排列成一個三位數(shù)，這兩個數(shù)的差是495，這三個數(shù)碼是什么？45．（2021·全國·九年級競賽）設a，b，c都是奇數(shù)，證明方程沒有有理根．46．（2021·全國·九年級競賽）一個四位數(shù)，這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和是1999，求這個四位數(shù)，并說明理由．47．（2021·全國·九年級競賽）有一個四位數(shù)，它的個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少3，并且它的數(shù)字倒排所成的新四位數(shù)與原四位數(shù)之和為8987．求這個四位數(shù)，并寫出推理過程．48．（2021·全國·九年級競賽）兩位數(shù)能整除十位數(shù)字為零的三位數(shù)，求．49．（2021·全國·九年級競賽）如果一個自然數(shù)正好等于其各個數(shù)位上的數(shù)字之和的13倍，試求出這樣的自然數(shù)