高三上冊(cè)數(shù)學(xué)期末模擬題（四）-新高考（全國(guó)通用）

一、單選題

1.設(shè)集合A={x|x21},B={x|-l<x<2},則AnB=（）

A.{x|x>-l}B.{x|x>l}C.{x|-l<x<l}D.{x|l<x<2j

2.已知aw/?,（l+ai）i=3+i,（i為虛數(shù)單位），貝心=（）

A.-1B.1C.-3D.3

3.已知非零向量￡,反入則“72=小才'是"￡=后”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

4.在中，已知3=120。，AC=曬,AB=2,貝ijBC=（）

A.1B.y[2C.y/5D.3

5.記5.為等比數(shù)列{4,}的前〃項(xiàng)和.若52=4,S4=6,則品=（）

A.7B.8C.9D.10

6.（x+L）（x+y）5的展開(kāi)式中》3y3的系數(shù)為（）

X

A.5B.10

C.15D.20

7.已知A,3,C為球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，。。I為“NC的外接圓，若。01的面積為4兀,

AB=BC=AC=OOlf則球O的表面積為（）

A.64兀B.48兀C.36兀D.32汽

8.若2"+log2a=4"+21og*,則（）

A.a>2bB.a<2bC.a>h2D.a<h2

二、多選題

9.已知曲線C:zm;2+〃y=].（）

A.若機(jī)>〃>0,則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上

B.若根=〃>0,則C是圓，其半徑為?

C.若加〃<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±、叵

D.若機(jī)=0,〃>0,則C是兩條直線

10.下圖是函數(shù)產(chǎn)sin(sx+s)的部分圖像，貝|Jsin(s+8)=()

A.sin(x+-^)B.sin(-^-2x)C.cos(2x+-)D.cos(--2x)

66

11.已知a>0,/?>0,且“+b=l,則()

A.a2+b2>-B.2"-h>-

22

C.log2?+log2Z?>-2D.yfa+y/b4近

12.信息烯是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,…,〃，且

P(X=i)=A，>0(z=l,2,...,n),=1,定義X的信息蠟"(X)=4>log2R.()

i=]i=]

A.若〃=1,則H(X)=0

B.若〃=2,則H(X)隨著小的增大而增大

C.若A=‘(i=l,2,則H(X)隨著"的增大而增大

D.若〃=2如隨機(jī)變量y所有可能的取值為1,2,…,相，且產(chǎn)(y=/)=pj+%+"/=12…,用)，

則H(X)<H(Y)

三、填空題

13.己知單位向量的夾角為45。，與：垂直，則仁.

14.4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至

少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法共有種.

15.設(shè)有下列四個(gè)命題：

pi：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

pi：過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.

P3:若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行.

P4：若直線/u平面a,直線m平面a,則機(jī)_L/.

則下述命題中所有真命題的序號(hào)是.

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

①PlA②P|AP2③fVP3④V->p4

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知釁,0),4,B是圓C：x2+(y-，=36上的兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，滿足上4=PB,則△布B面積的最大值是.

四、解答題

17.某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,。四

個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、2級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元,

50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠

可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決

定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)

品的等級(jí)，整理如下:

甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)28173421

(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率;

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠

家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？

18.在△ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知”=3,c=&,8=45。.

(1)求sinC的值；

4

(2)在邊BC上取一點(diǎn)。，使得cosZAOC=-g,求tan/D4C的值.

19.如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)瓦尸分別在棱力A，BB|上，且2DE=ER,

BF=2FB1.

(1)證明：點(diǎn)G在平面AM內(nèi)；

(2)若AB=2,AD=\,4A=3,求二面角A-EF-4的正弦值.

20.已知公比大于1的等比數(shù)列｛““｝滿足/+4=204=8.

(1)求｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記粼為｛%｝在區(qū)間(0,時(shí)(加一?)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列｛〃“｝的前100項(xiàng)和400.

21.已知函數(shù)/(X)=ae*-'-Inx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí);求曲線y習(xí)1(X)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形

的面積；

(2)若/(x)>1,求〃的取值范圍.

22.已知橢圓C：m+4.=1(a>8>0)的離心率為立，且過(guò)點(diǎn)4(2,1).

ab~2

(1)求C的方程：

(2)點(diǎn)M,N在C上，且ADLMN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)。，使

得|?？跒槎ㄖ?

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案

1.D

【分析】

由題意結(jié)合交集的定義可得結(jié)果.

【詳解】

由交集的定義結(jié)合題意可得：AnB={x|l<x<2}.

故選：D.

2.C

【分析】

首先計(jì)算左側(cè)的結(jié)果，然后結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)〃的值.

【詳解】

(\+at)i-i+ai2=i-a--a+i-2>+i,

利用復(fù)數(shù)相等的充分必要條件可得：-a=3,:.a=-3.

故選：C.

3.B

【分析】

考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】

如圖所示，QA=a,O8=B,OC=口54="-6，當(dāng)AB_LOC時(shí)，1-5與"垂直，(。一］卜。=0，

所以a.c=B.c成立，此時(shí)萬(wàn)片5,

???￡.￡=不是4=5的充分條件，

當(dāng)4=5時(shí)，三一5=6，.,.(a-b)y=0c=0,，￡9=\.［成立,

???】￡=/?工是萬(wàn)=方的必要條件，

綜上，lac=b-3'是"a=5”的必要不充分條件

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

故選：B.

4.D

【分析】

利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).

【詳解】

設(shè)AB=c,AC—b,BC=a,

結(jié)合余弦定理：b2=a2+c2-2accos5W：19=a2+4-2xaxcosl20s

即：/+24-15=0,解得：?=3(。=一5舍去)，

故3c=3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

利用余弦定理及其推論解三角形的類型：

(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；

(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；

(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形.

5.A

【分析】

根據(jù)題目條件可得S2,54-S2)S6-S,成等比數(shù)列，從而求出$6-54=1，進(jìn)一步求出答案.

【詳解】

V為等比數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，

S4-S2,$6一1成等比數(shù)列

S2=4,S4~S2=6-4=2

**?§6-=1,

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

?，.S6=l+S4=l+6=7.

故選：A.

6.C

【分析】

5

求得（X+y）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+l=G產(chǎn)y（reN且r45）,即可求得（x+千）與（x+4

展開(kāi)式的乘積為C16-J，或形式，對(duì)「分別賦值為3,1即可求得的系數(shù)，問(wèn)

題得解.

【詳解】

（x+才展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為J=（廠eN且rM5）

所以（x+千）的各項(xiàng)與（x+才展開(kāi)式的通項(xiàng)的乘積可表示為：

,”22

xj=xC"-y=C；/y和乙u產(chǎn)匕G/y=C"j尸2

XX

在x7^=C）"*y中，令廠=3,可得：xT,=Clx3yJ,該項(xiàng)中x"的系數(shù)為10,

22

在匕KT=C04-y+2中，令r=i,可得：=該項(xiàng)中的系數(shù)為5

XX

所以無(wú)、3的系數(shù)為10+5=15

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力,

屬于中檔題.

7.A

【分析】

由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出。?的值，根據(jù)球的截面性質(zhì),

求出球的半徑，即可得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)圓。1半徑為「，球的半徑為R,依題意，

得Trr2=4乃,r=2*.*^.ABC為等邊三角形,

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

由正弦定理可得AB=2rsin60°=，

：.OO,=AB=20根據(jù)球的截面性質(zhì)oq1平面ABC,

OO}±O,A,R=OA="O；+O河=Joo：+y=4,

???球0的表面積S=4兀W=64萬(wàn).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.B

【分析】

設(shè)/(幻=2，+1。8)，利用作差法結(jié)合Ax)的單調(diào)性即可得到答案.

【詳解】

2Z,

設(shè)f(x)=2、+log?x,則f(x)為增函數(shù)，因?yàn)?"+log?a=4"+2log4h=2+log2h

2/,2fr2A

所以/(?)-fQb)=2"+log2a-(2+log"")=2+log2fe-(2+log22b)=log2|=-l<0,

所以f(a)<f(2b),所以“<2b.

22h2b

f(a)-f(b)=2"+log,a—(2"+log?/)=2+log2b-(2〃+log?從)=2-吩-log2b,

當(dāng)匕=1時(shí),/(a)-/02)=2>O,此時(shí)f(a)>f(從),有a>〃

當(dāng)b=2時(shí)，/(a)-M)=-l<0,此時(shí)/3)</(從)，有a<〃，所以C、D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)晴】

本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一

道中檔題.

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

9.ACD

【分析】

結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)分析求解，時(shí)表示橢圓，〃2=〃>0時(shí)表示圓，時(shí)表示雙

曲線，相=0,/7>。時(shí)表示兩條直線.

【詳解】

蘭￡=]

對(duì)于A,若機(jī)>〃>0,則如2+町2=1可化為1+2一,

mn

因?yàn)樾?gt;〃>0,所以

tnn

即曲線c表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；

對(duì)于B,若加=〃>0,貝!]〃吠2+〃,2=]可化為/2+),2=—,

n

此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為近的圓，故B不正確；

n

片2+二2=1

對(duì)于C,若癡<0,則如2+〃>2=1可化為11,

mn

此時(shí)曲線C表示雙曲線，

由tnx1+=o可得丫=±x,故C正確；

對(duì)于D,若加=0,〃>0,貝Ijmx2+〃y2=1可化為)尸=’,

n

y=±近，此時(shí)曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確；

n

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見(jiàn)曲線方程之間的區(qū)別是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)

運(yùn)算的核心素養(yǎng).

10.BC

【分析】

首先利用周期確定。的值，然后確定夕的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導(dǎo)公式可得

正確結(jié)果.

【詳解】

由函數(shù)圖像可知：T21-J9i=T2C,則0=279r=2=7r=2,所以不選A,

2362T71

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

當(dāng)二3.+%=5萬(wàn)時(shí),y=-l.-.2x—+(p=—+2k7r(kGZ),

“=-2-=12122

2

解得：(P=2k兀+1兀(kGZ),

即函數(shù)的解析式為：

y=sin(2x+g4+2左乃)=sin(2x+看+=cos(2x+=sin((—2xJ.

一(c萬(wàn)、,5萬(wàn)c、

而cos12x+—I——cos(-—2x)

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

已知yU)=A”〃&x十°)(A>0,<o>0)的部分圖象求其解析式時(shí)，4比較容易看圖得出，困難

的是求待定系數(shù)。和夕，常用如下兩種方法：

⑴由。=學(xué)即可求出3確定9時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”

橫坐標(biāo)X0，則令ft>Xo+9=O(或60Xo+9=7T),即可求出p.

(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或"零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形

解出。和外若對(duì)4,。的符號(hào)或?qū)?的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

II.ABD

【分析】

根據(jù)。+6=1,結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.

【詳解】

對(duì)于A,a1+b2=a2+(l-?)2=2a2-2a+i+^>^,

當(dāng)且僅當(dāng)“=》=!時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；

2

對(duì)于B,a-b=2a-\>-\,所以2"-%>=」，故B正確；

2

對(duì)于C,log,a+log2b=log2ab<log,=log?；=-2,

當(dāng)且僅當(dāng)“=b=g時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確：

對(duì)于D,因?yàn)?而+時(shí)=1+2疝41+“+6=2,

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

所以G+揚(yáng)4近，當(dāng)且僅當(dāng)a==g時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查

數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

12.AC

【分析】

對(duì)于A選項(xiàng)，求得"(X),由此判斷出A選項(xiàng)；對(duì)于B選項(xiàng)，利用特殊值法進(jìn)行排除；對(duì)

于C選項(xiàng)，計(jì)算出“(X),利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，計(jì)算出

“(X),，”)，利用基本不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，若〃=1,則i=l,R=l,所以"(X)=一(lxk)g21)=°，所以A選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，若〃=2,則i=l,2,

所以"(X)=-[p「lOg2P1+(l—p)lOg2(l-pj],

i,(1133、

當(dāng)Pi=]時(shí),w(x)=-^4,log24+Z,10824/

當(dāng)Pi=[時(shí)，=

兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，若p,=」(i=l,2,…,〃)，貝IJ

n

H(X)=一(，?k>g,，]x"=-log,，=log,〃，

\nnJn

則”(X)隨著〃的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若〃=2m,隨機(jī)變量Y的所有可能的取值為1,2,…，機(jī)，且P(r=j)=Pj+P2?,+I_y

(j=1,2,…,m).

"(X)=Pi?log?Pi=EA-1°g2—

i=l<=1Pi

[111[1]1

=P\-10g2—+/7210g2一+…+P2m7.Sg2----+P2m°l°g2一.

P'PlP2gP2m

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

"(y)=(Pl+P2m).lOg2-------------------+(P2+P2m-J.l°g2--------------+…+(Pm+P,“+1).1°g2-----------------------

Pl+Pin,Pi+%”TPm+Pm+l

,I,1,1,1

=Pi-log?----------+Pi-log,-------------+???+p2?,,rlog2-------------+p2m-log2-----------由于

Pl+Pin,Pl+Plm-XPi+Pz“IP|+Pi,n

.、11,1,1

化>0(i=l,2,…,2機(jī))，所以一>---------,所以log,—>log,---------------)

PiP,+P2m+~PiPi+

,1,1

所以log?—>P；-log--------------,

Pi2P,+P2?m-i

所以“(x)>”(y),所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查對(duì)新定義“信息焙”的理解和運(yùn)用，考查分析、思考和解決問(wèn)題的能力，涉及

對(duì)數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，屬于難題.

13.也

2

【分析】

首先求得向量的數(shù)量積，然后結(jié)合向量垂直的充分必要條件即可求得實(shí)數(shù)k的值.

【詳解】

由題意可得：ab=lxlxcos45=>

2

由向量垂直的充分必要條件可得：=

即：kxa-a，b=k-^~=Q,解得：k-.

22

故答案為：也.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積定義與運(yùn)算法則，向量垂直的充分必要條件等知識(shí)，意在考

查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

14.36

【分析】

根據(jù)題意，有且只有.2名同學(xué)在同一個(gè)小區(qū)，利用先選后排的思想，結(jié)合排列組合和乘法計(jì)

數(shù)原理得解.

【詳解】

??,4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

1名同學(xué)

???先取2名同學(xué)看作一組，選法有：耨=6

現(xiàn)在可看成是3組同學(xué)分配到3個(gè)小區(qū)，分法有：國(guó)=6

根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36種

故答案為：36.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分步乘法原理和捆綁法的使用，考查

了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

15.①③④

【分析】

利用兩交線直線確定一個(gè)平面可判斷命題Pi的真假；利用三點(diǎn)共線可判斷命題P，的真假；

利用異面直線可判斷命題外的真假，利用線面垂直的定義可判斷命題P,的真假.再利用復(fù)合

命題的真假可得出結(jié)論.

【詳解】

對(duì)于命題B，可設(shè)4與4相交，這兩條直線確定的平面為a;

若4與4相交，則交點(diǎn)A在平面a內(nèi)，

同理，％與4的交點(diǎn)8也在平面a內(nèi)，

所以，ABcza,即gua,命題p1為真命題；

對(duì)于命題P2,若三點(diǎn)共線，則過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè),

命題為假命題；

對(duì)于命題外，空間中兩條直線相交、平行或異面，

命題為假命題；

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

對(duì)于命題P4，若直線加，平面a,

則加垂直于平面a內(nèi)所有直線，

,?,直線/u平面二直線"7」直線/,

命題P4為真命題.

綜上可知，p$為真命題，[%,/A為假命題，

POP4為真命題，POP2為假命題，

VP)為真命題，-必V以為真命題.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合命題的真假，同時(shí)也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能

力，屬于中等題.

16.10有

【分析】

根據(jù)條件得PC，A3,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積，最后利用導(dǎo)數(shù)求最大值.

【詳解】

QPA=PB:.PCLAB

設(shè)圓心C到直線A3距離為d,則|A用=2>36-d2,|PC\=J-+-=1

V44

所以SVPAB<g-2^36—屋3+])=J(36--)(d+l)2

令y=(36-d2)(d+1)2(0<J<6)/=2(d+1)(一2/-d+36)=0..d=4(負(fù)值舍去)

當(dāng)(Kd<4時(shí)，/>0；當(dāng)4Wd<6時(shí)，y<0,因此當(dāng)d=4時(shí)，>取最大值，即S/AB取最大

值為10下,

故答案為：104

【點(diǎn)睛】

本題考查垂徑定理、利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

17.(1)甲分廠加工出來(lái)的A級(jí)品的概率為0.4,乙分廠加工出來(lái)的A級(jí)品的概率為0.28；

(2)選甲分廠，理由見(jiàn)解析.

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

【分析】

(1)根據(jù)兩個(gè)頻數(shù)分布表即可求出；

(2)根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)，即可求出平均利潤(rùn)，由此作出

選擇.

【詳解】

,40

(1)由表可知，甲廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率為而=0.4,乙廠加工出來(lái)的一

件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率為需=0.28；

(2)甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利澗為

40x(90-25)+20x(50-25)+20x(20-25)-20x(50+25)=1500ye,

所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為15元每件；

乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤(rùn)為

28x(90-20)+17x(50-20)+34x(20-20)-21x(50+20)=1000%,

所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為10元每件.

故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬

于基礎(chǔ)題.

18.(1)sinC=；(2)tanZ.DAC=—.

511

【分析】

(1)利用余弦定理求得6,利用正弦定理求得sinC.

(2)根據(jù)cosZADC的值，求得sinNADC的值，由(1)求得cosC的值，從而求得

sinND4C,cosZDAC的值，進(jìn)而求得tan/D4c的值.

【詳解】

(1)由余弦定理得。2=/+c2-2accosB=9+2-2x3x0x立=5,所以匕=有.

2

由正弦定理得，=/一=sinC=/*=且.

sinCsinBb5

(2)由于cosZAOC=-g,■，)J,所以sinNADC=-cos?NADC=|.

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

由于NAOCc怎7，所以Ce[。,5],所以cosC=J1-sin?C

5

所以sinZDAC=sin()一ZDAC)=sin(ZADC+ZC)

32\[^

=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=」x-----+

555525

由于“4?￡(0段,所以cosNZMC=Jl-sin：NZMC=

/?廠sinZDAC2

所以tanZ.DAC=-------------=一

cos"AC11

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等變換，屬于中檔題.

19.(1)證明見(jiàn)解析；(2)叵.

7

【分析】

(1)連接CE、GF,證明出四邊形4EC/為平行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)G在平面AEF內(nèi);

(2)以點(diǎn)q為坐標(biāo)原點(diǎn)，GR、C,B,.C。所在直線分別為X、y、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系G-孫z,利用空間向量法可計(jì)算出二面角4-E尸-4的余弦值，進(jìn)而可求得二面角

A-EF-A的正弦值.

【詳解】

(1)在棱CG上取點(diǎn)G,使得GG=(CG,連接OG、FG、QE、G尸，

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

cB

在長(zhǎng)方體48CC-ABCR中，AO〃3c且4)=BC,BB^CC、旦BB、=CC,,

1?2

-：C.G=-CG,BF=2FB、,:.CG=-CC.=-BB.=BFS.CG=BF,

233

所以，四邊形3CGF為平行四邊形，則A尸〃DG且A尸=ZX7,

同理可證四邊形DECfi為平行四邊形，；.GE//DG且C,￡=DG,

0E//4尸且C￡=4F,則四邊形AEQF為平行四邊形，

因此，點(diǎn)G在平面AE5內(nèi)；

(2)以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，4口、通GC所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示

的空間直角坐標(biāo)系Q-xyz,

則A(2,l,3)、A(2,1,0)、￡(2,0,2),尸(0,1,1),

AE=(O,-l,-l),AF=(-2,0,-2),A^E=(0,-1,2),=(-2,0,1),

設(shè)平面AEF的法向量為m=&,y,4),

m-AE=0f-y,-z.=0.

由｛-----，得｛、c八取Z|=T,得X|=%=1,則a=

m-AF=0[-2xl-2z,=0

設(shè)平面\EF的法向量為[(々，必用)，

/??AE=0\-y2+2z2=0一..

由，得，'八，取z?=2,得々=1,%=4,則”=(1,4,2,

n-AtF=0[-2X2+Z2=0

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

---mn3J7

cos<m,n>=pq-pr=-f=~,

MH"V3XN217

2

設(shè)二面角A-EF-A］的平面角為6,則|cose|=^^,sin0=Vl-cos0

因此，二面角A-EF-A的正弦值為畫.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查點(diǎn)在平面的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角角，考查推理能力與計(jì)

算能力，屬于中等題.

20.(1)q,=2"；(2)兀0=480.

【分析】

Q)利用基本元的思想，將已知條件轉(zhuǎn)化為4M的形式，求解出4M,由此求得數(shù)列｛%｝的

通項(xiàng)公式.

(2)通過(guò)分析數(shù)列｛〃“｝的規(guī)律,由此求得數(shù)列他“｝的前100項(xiàng)和5必.

【詳解】

(1)由于數(shù)列｛凡｝是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為勾，公比為4,依題意有

一“：”20,解得解得％=2應(yīng)=2,或％=32,q=?(舍)，

axq~=82

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

所以%=2"，所以數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式為q=2”.

(2)由于7=2,2?=4,2'=8,2"=16,25=32,2$=64,2’=128,所以

々對(duì)應(yīng)的區(qū)間為：(05，貝1」偽=0;

打也對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,2],(0,3],則4=4=1,即有2個(gè)1；

么也也,仿對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,4],(0,5],(0,6],(0,7],則仇="="=&=2,即有2?個(gè)2；

4也，…也對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為:(0,8],(0,9],-,(0,15],則4……=1=3,即有23個(gè)3；

>，配，…4對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,16],(0,17],…,(0,31],則猿=%=…=%=4,即有2,個(gè)

4；

a2也3,…也3對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,32],(0,33],…,(0,63],則為=%=L=%=5,即有2$

個(gè)5；

%,%,L8儂對(duì)應(yīng)的區(qū)間分別為：(0,64],(0,65]廣.,(0,100],則氏=%=1=3)o=6,即有37

個(gè)6.

所以S“x)=1x2+2x22+3x23+4x2++5x2,+6x37=480.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，考查分析思考與解決問(wèn)的能力，屬于中檔題.

2

21.(1)—(2)[1,+co)

e-1

【分析】

(1)先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，求出與坐標(biāo)軸

交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果；

(2)解法一:利用導(dǎo)數(shù)研究，得到函數(shù)/(x)得導(dǎo)函數(shù)/'(X)的單調(diào)遞增，當(dāng)a=l時(shí)由廣⑴=0

得/(力“而=/(1)=1,符合題意；當(dāng)a>l時(shí)，可證/'(：)/'⑴<0,從而尸(x)存在零點(diǎn)%>0,

使得尸(%)=四"一’=0,得到/(NM,利用零點(diǎn)的條件，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)后，

玉)

利用基本不等式可以證得(x)Nl恒成立；當(dāng)0<a<l時(shí)，研究f⑴.即可得到不符合題意.綜合

可得。的取值范圍.

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

解法二：利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可將/(x)Zl轉(zhuǎn)化為e”“+i+/w+x-12*+/nr,

令g(x)=/+x,上述不等式等價(jià)于g(癡+x-l)2g(/nr),注意到g(x)的單調(diào)性，進(jìn)一步等價(jià)

轉(zhuǎn)化為松之法7+1,令人(力=濃-x+1,利用導(dǎo)數(shù)求得秋冷…，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的

意義得到關(guān)于。的對(duì)數(shù)不等式，解得。的取值范圍.

【詳解】

(1)Q/(x)=e*-lnx+1,f\x)=ex--,:.k=f'(y)=e-\.

X

Q.f(l)=e+1,.?.切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),

???函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1網(wǎng))處的切線方程為y—e—l=(e—1)(x-l),即y=(e-l)x+2,

???切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,2),(二J,0),

e-\

1-?2

???所求三角形面積為5X2刈了1|二』；

(2)解法一：Q/(x)=aex~'-Inx+In,

??/'(x)=a，-—,且a>0.

x

設(shè)g(x)=r(x),則g'(x)=3+!>o,

X

???g(x)在(o,+oo)上單調(diào)遞增，即/?)在(o,+oo)上單調(diào)遞增，

當(dāng)。=1時(shí)，八1)=0,???/(%)-=/⑴=1,?：〃力N1成立.

1I11.1

當(dāng)。>1時(shí),-<1,?111，.?/(一)/'⑴=a(e〃-l)(a-l)<0,

ae1a

.?.存在唯一%>0,使得/'5。)=。/7--5~=0,且當(dāng)xe(0,x0)時(shí)/'(x)<0,當(dāng)xe(x°,+8)時(shí)

X()

_.1

f\x)>0,ciex=—,lna+x()-l=-lnxo，

xo

因此f(x)min=/Uo)=ae&T-In/+Ina

=----Flna+x。-1+lnaN21ntz-1+2I—,=2Ina+1>1,

%Vxo

.：/(x)>l,恒成立；

當(dāng)0<a<l時(shí)，/(l)=a+lna<a<l,.,.f(l)<l,/(x)Wl不是恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［1,+◎.

答案第16頁(yè)，共19頁(yè)

解法二：