PAGE1第01講：一元二次方程【考點梳理】考點一：一元二次方程的概念問題考點二：解一元二次方程（直接開平方、配方法）考點三：解一元二次方程（因式分解）考點四：解一元二次方程（公式法）考點五：判別式的應用考點六：根與系數(shù)的關系考點七：實際問題考點八：一元二次方程的綜合【知識梳理】考點一、一元二次方程的定義：(1)定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項，a、b、c分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．考點二、一元二次方程的一般形式：一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項?？键c三、一元二次方程的根：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定義是解方程過程中的依據(jù)．將此數(shù)代入這個一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，就是這個方程的根；若不相等，就不是這個方程的根．考點四:降次——解一元二次方程一元二次方程的解法（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.(2)因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式為x=（b2-4ac≥0）.配方法：當一元二次方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，也可以考慮用配方法．先根的判別式(1)當Δ＝>0時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)當Δ＝=0時，原方程有兩個相等的實數(shù)根．(3)當Δ＝<0時，原方程沒有實數(shù)根．PAGE3考點五：根與系數(shù)的關系（1）韋達定理：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分別為x1、x2,則x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運用根與系數(shù)關系的前提條件是△≥0.（2）解題策略：已知一元二次方程，求關于方程兩根的代數(shù)式的值時，先把所求代數(shù)式變形為含有x1+x2、x1x2的式子，再運用根與系數(shù)的關系求解.例如：，注意△=b2-4ac≥0.考點六：列一元二次方程解應用題解題步驟：①審題；②設未知數(shù)；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答．應用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；（期末必考一道大題）③傳播、比賽問題：【題型歸納】題型一：一元二次方程的概念問題1．（2023上·天津東麗·）關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（）A．1 B． C．1或 D．2．（2023下·吉林長春·八年級?？计谀┤绻P于的一元二次方程的一個解是，則代數(shù)式的值為（

）A． B．2021 C． D．20253．（2023上·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程的一個解是，則的值是（

）A．2025 B．2014 C．2023 D．2022題型二：解一元二次方程（直接開平方、配方法）4．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）方程的解為（

）A．， B．， C．， D．，5．（2023上·山東聊城·九年級統(tǒng)考期末）小明在學習一元二次方程時，解方程的過程如下：①；②；③；④；⑤；⑥．小明的解答從第______步開始出錯．A．① B．③ C．④ D．⑤6．（2023下·浙江紹興·八年級?？计谥校┯门浞椒ń庖辉畏匠蘹2+4x+1=0，則方程可變形為（

）A． B． C． D．題型三：解一元二次方程（因式分解）7．（2023上·山西太原·九年級期末）將轉化為兩個一元一次方程，這兩個方程是（

）A． B．C． D．8．（2023上·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）方程的解是（

）A．， B．， C． D．9．（2023上·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）若關于m的方程的解為，則關于x的方程的解是（

）A． B． C．， D．，題型四：解一元二次方程（公式法）10．（2022上·天津紅橋·九年級校考期末）方程必有一個解滿足（

）A． B． C． D．11．（2022上·河北滄州·九年級?？茧A段練習）下列方程中，以為根的是（）A． B．C． D．12．（2022上·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）小明在解方程x2﹣4x＝2時出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下：∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24（第二步）∴（第三步）∴（第四步）小明解答過程開始出錯的步驟是（

）A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步題型五：判別式的應用13．（2023上·河南洛陽·九年級校考期末）關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍為（）A． B． C． D．14．（2023上·云南紅河·九年級統(tǒng)考期末）一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m等于（

）A．或1 B．1 C． D．4或115．（2023下·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實驗學校?？计谀┮阎P于x的方程有實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A．且 B．且 C． D．題型六：根與系數(shù)的關系16．（2023下·安徽六安·八年級?？计谀┮阎?，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（

）A．2021 B．2023 C．2024 D．202517．（2023上·江西九江·九年級?？计谀┮阎欠匠痰膬蓚€根，則的值為（

）A．3 B． C． D．18．（2023下·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）已知、是關于x的方程的兩個實數(shù)根，且，，則的值是（

）A． B． C．8 D．題型七：實際問題19．（2023上·陜西漢中·九年級統(tǒng)考期末）某商店經(jīng)銷一種吉祥物玩具，銷售成本為每件40元，據(jù)市場分析，若按每件50元銷售，一個月能售出500件；銷售單價每漲2元，月銷售量就減少20件，針對這種玩具的銷售情況，請解答以下問題：(1)當銷售單價漲多少元時，月銷售利潤能夠達到8000元．(2)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，則銷售定價應為多少元？20．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，1月份銷售400個，2月份和3月份這種臺燈銷售量持續(xù)增加，在售價不變的基礎上，3月份的銷售量達到576個，設2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率不變．(1)求2月份和3月份兩個月的銷售量月平均增長率；(2)從4月份起，在3月份銷售量的基礎上，商場決定降價促銷．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價在35元至40元范圍內(nèi)，這種臺燈的售價每降價元，其銷售量增加6個．若商場要想使4月份銷售這種臺燈獲利4800元，則這種臺燈應降價多少元？21．（2023上·湖南益陽·九年級校考期末）某扶貧單位為了提高貧困戶的經(jīng)濟收入，購買了的鐵柵欄，準備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻（墻長）圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場（如圖所示）．

(1)若要建的矩形養(yǎng)雞場面積為，求雞場的長和寬；(2)該扶貧單位想要建一個的矩形養(yǎng)雞場，這一想法能實現(xiàn)嗎？請說明理由.題型八：一元二次方程的綜合22．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）已知關于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求的值．23．（2023上·江蘇南通·九年級?？计谀╆P于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)設方程的兩個實數(shù)根分別為，存不存在這樣的實數(shù)k，使得？若存在，求出這樣的k值；若不存在，說明理由．24．（2023上·江蘇揚州·九年級校聯(lián)考期中）閱讀材料，解答問題：我們在探究一元二次方程根與系數(shù)的關系中發(fā)現(xiàn)，如果關于的一元二次方程的兩個根是，，那么由求根公式可以推出，；已知實數(shù)，滿足，，且，則，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問題：(1)直接應用：已知實數(shù)滿足：，，且，則______，______；(2)間接應用：在（1）條件下，求的值；(3)拓展應用：已知實數(shù)m，n滿足：，且，求的值．【強化精練】一、單選題25．（2023上·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）已知關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（

）A． B．1 C．3 D．26．（2023上·河南商丘·九年級商丘市第六中學校考期末）下列一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的是（

）A． B．C． D．27．（2023上·四川達州·九年級四川省渠縣中學?？计谀┤絷P于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，則的值是（

）A． B． C． D．28．（2023上·江蘇無錫·九年級?？计谥校?023年連花清瘟膠囊粒經(jīng)過兩次降價，從每盒元下調(diào)至元，設平均每次降價百分率為，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．29．（2023上·重慶潼南·九年級校聯(lián)考期中）已知是一元二次方程的一個根，則的值是（

）A． B． C． D．30．（2023上·陜西西安·九年級西安市西光中學?？计谥校?0月8日，杭州亞運會乒乓球比賽全部結束，國乒攬獲除女雙項目外的6塊金牌，展現(xiàn)了在乒乓球領域強大的統(tǒng)治力．乒乓球比賽采用雙循環(huán)制（每兩隊之間都進行兩場比賽），比賽總場數(shù)為380場，若設參賽隊伍有x支，則可列方程為（）A． B．C． D．31．（2023下·安徽宣城·八年級?？计谥校┮阎猘、b為實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為（

）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．532．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）若關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且二、填空題33．（2023上·河南商丘·九年級商丘市第六中學?？计谀┮阎?、是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．34．（2023上·北京大興·九年級統(tǒng)考期中）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．35．（2023上·四川瀘州·九年級校考期末）若，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為．36．（2023下·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實驗學校?？计谀┮阎猵、q為一元二次方程的兩根，則的值為．37．（2023上·甘肅蘭州·九年級?？计谀╇娨暪?jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體．若舞臺長為，那么主持人站立的位置離A點較近的距離為．（結果保留根號）三、解答題38．（2023上·四川達州·九年級校考期末）用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)；(2)；(3)．39．（2023上·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）某商店銷售一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量y是銷售單價x的函數(shù)，其銷售單價x，周銷售量y，周銷售利潤w的三組對應值如下表：銷售單價x（元）60657075周銷售量y（件）80706050周銷售利潤w（元）2400245024002250(1)請你用所學過的函數(shù)知識確定一個滿足這些數(shù)據(jù)的y與x之間的函數(shù)表達式；(2)①請求出該商品的進價；②若該公司想每周獲利2000元，并盡可能讓利給顧客，請求出此時該商品銷售單價；(3)為了幫助貧困山區(qū)的小朋友，公司決定每賣出一件商品向希望小學捐款10元，要使該公司在捐款后該商品每周獲利最大，請求出周利潤最大時，該商品的銷售單價及此時每周的最大利潤．（注：物價部門最新規(guī)定該商品每件的售價不得超過65元）40．（2023上·河南洛陽·九年級?？计谀┮阎P于的方程，其中，，是的三邊長．(1)若是方程的一個根，則是；(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根，則是；(3)若是等邊三角形，試求方程的根．41．（2023上·重慶南川·九年級校聯(lián)考期中）杭州亞運會吉樣物組合名為“江南憶”，三個吉祥物以機器人作為整體造型，融合了杭州的歷史人文、自然生態(tài)和創(chuàng)新基因，既有深厚的文化底蘊又充滿了時代活力，某商家購進了兩種類型的吉祥物紀念品，已知每套A型紀念品比每套型紀念品的多20元，1套A型紀念品與2套型紀念品共200元．(1)求兩種類型紀念品的進價；(2)該商家準備購進A型紀念品套，均以每套元的價格全部售完，且與之間的關系滿足一次函數(shù)，銷售A型紀念品的利潤為1200元，同時盡量讓利于顧客，求的值．42．（2023上·山東棗莊·九年級統(tǒng)考期末）設，是一元二次方程的兩個根．利用根與系數(shù)的關系求下列各式的值：(1)；(2)43．（2023上·北京門頭溝·九年級大峪中學?？计谥校┮阎P于x的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個實數(shù)根；(2)若該方程恰有一個實數(shù)根為非負數(shù)，求m的取值范圍．44．（2023上·河南濮陽·九年級統(tǒng)