3.4基本不等式：學(xué)科網(wǎng).第24屆國際數(shù)學(xué)家大會

會標是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去像一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客．.中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。趙爽：弦圖2024/1/25.1.你能在這個圖案中找出面積間的一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？BACDEFGH探究點1探究基本不等式.BACDEFGH則正方形ABCD的面積是________，這4個直角三角形的面積之和是_________，設(shè)AE=a,BE=b,a2+b22ab>Z.x.x.K有可能相等嗎？？？又什么時候取等于號呢？.ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有當且僅當a=b時，等號成立。ABCDE(FGH)ab2024/1/25.一般地，對于任意實數(shù)a，b，我們有當且僅當a=b時，等號成立.2.你能給出它的證明嗎？特別地，我們用,分別代替可得.可以敘述為:兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù).

叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).基本不等式.DABCE如圖,AB是圓的直徑，C是AB上任一點，AC=a,CB=b,過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD,BD,則CD=＿＿,半徑為＿＿.CD小于或等于圓的半徑上述不等式當且僅當點C與圓心重合，即當a=b時，等號成立.幾何意義：半徑不小于半弦o3、幾何解釋ab.a=ba=b兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認識基本不等式2024/1/25.構(gòu)造條件二、應(yīng)用例1、若,求的最小值.變3:若,求的最小值.變1:若求的最小值變2:若,求的最小值.發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式問:在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上,條件“a>0,b>0”可以變化嗎？2024/1/25.三、應(yīng)用例2、已知,求函數(shù)的最大值.變式:已知,求函數(shù)的最大值.發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式2024/1/25.均值定理：已知x,y都是正數(shù)，（1）如果積xy是定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值；（2）如果和x+y是定值S，那么當x=y時，積xy有最大值條件說明：1、函數(shù)式中各項必須都是正數(shù).2、函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須都是常值（定值）.3、等號成立條件必須存在.“一正二定三等”，這三個條件缺一不可.2024/1/25.應(yīng)用基本不等式求最值的條件：

a與b為正實數(shù)若等號成立，a與b必須能夠相等一正二定三相等積定和最小和定積最大（a＞0，b＞0）2024/1/25.分析：設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，面積確定，則xy=100，籬笆的長為2（x+y）m.即求（x+y）的最小值.例1(1)用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短.最短的籬笆是多少？.解：設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，則xy=100，籬笆的長為2（x+y）m.等號當且僅當x=y時成立，此時x=y=10.因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用籬笆最短，最短籬笆是40m..分析：設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，周長確定，則2（x+y）=36，籬笆的面積為xym2.即求xy的最大值.例1(2)一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大.最大面積是多少？.解：設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為ym，則2(x+y)=36,x+y=18，矩形菜園的面積為xym2.當且僅當x=y,即x=y=9時，等號成立.因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園的面積最大，最大面積是81m2..練習(xí)2024/1/25.課堂鞏固.4.已知x>0,y>0,且2x+y=1,求的最小值？

.2、(04重慶）已知則xy的最大值是

。高考方向標：1、當x>0時，的最小值為

，此時x=

。21

3、若實數(shù)，且，則的最小值是（）A、10B、C、D、4、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）A、B、C、D、DC2024/1/25.【例4】某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。2024/1/25.解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，則水池的寬為,