第01講定義新運算

K風學習目標?*

?學會理解新定義的內(nèi)容；

?理解新定義內(nèi)容的基礎上能夠解決用新定義給出的題目;

?學會自己總結(jié)解題技巧。

K知識梳理

1'I知識概念

1、定義新運算是指運用某種特殊的符號表示的一種特定運算形式。

注意：(1)解決此類問題，關鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新定義的計算順

序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運算，然后進行計算。

(2)我們還要知道，這是一種人為的運算形式。它是使用特殊的運算符號，如：*、

▲、★、◎、8、△、?、■等來表示的一種運算。

(3)新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合

于各種運算定律的。

2、一般的解題步驟是：

?一是認真審題，深刻理解新定義的內(nèi)容；

?二是排除干擾，按新定義關系去掉新運算符號；

?三是化新為舊，轉(zhuǎn)化成已有知識做舊運算。

拿典例分析j

例T7、對于任意數(shù)a,b,定義運算“*“：a*b=axb-a-bo求12*4的值。

例2、假設a*b=(a+b)+b。求8*5。

例3、如果a?b=aXb-(a+b)。求6?(9?2)。

例4、如果1△3=1+11+111；2A5=2+22+222+2222+22222；8A2=8+88o求6A5。

例5、如果規(guī)定③2=1X2X3,03=2X3X4,04=3X4X5,

計算(裊焉/靜

例6、規(guī)定aAb=5a+』ab-3b。求(8A5)AX=264中的未知數(shù)。

2

實戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

1、A,B表示兩個數(shù)，定義AAB表示(A+B)+2,求⑴17)△29；(2)[(1A9)△9]△6。

2、A,B表示兩個數(shù)，定義A*B=2XA-B。試求:

(1)(85*69)*5(2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)

3、已知a,b是任意自然數(shù)，我們規(guī)定：2啰6=a+b-l,a?0=“6-2,那么4<8>[(6十8)十(3?5)]=?

4、表示("+%)+2,(2008*2010)*2009=

5、己知2*3=2+22+222=246,3*4=3+33+333+3333=3702.求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若l*x=123,

求X.

6、已知5a3=5X6X7,3A6=3X4X5X6X7X8,按此規(guī)定計算:

(1)(4A3)+(6A2)(2)(3A2)X(4A3)

7、設A十B=2X(A+B)-2X(A+B),

計算:(1)(12十4)十13；(2)70十(18十4)。

8、規(guī)定aOb=(a+b)+(a-b),按此規(guī)定計算:

(1)21015(2)(1809)02

9、小輝用電腦設計了A,B,C,D四種裝置，將一個數(shù)輸入一種裝置后，會輸出另一個數(shù).

裝置A:將輸入的數(shù)加上5；裝置B:將輸入的數(shù)除以2；裝置C:將輸入的數(shù)減去4；裝置D:將

輸入的數(shù)乘3.這些裝置可以連接，如果裝置A后面連接裝置B,就寫成A?B,輸入1后，經(jīng)

過A?B輸出了3.那么，輸入9,經(jīng)過A?B?C?D輸出幾？

＞課堂反擊

1、定義新運算為aab=(a+l)+b,求的值。6A(3A4)O

2、P、。表示數(shù)，P*Q表示"求3*(6*8)

3、如果“&。=4+。+10,那么2&5=O

4、如果aOb表示3〃一2乩例如405=3x4-2x5=2,那么，當x?5比5?x大5時,x=。

5、對于任意的兩個自然數(shù)。和匕，規(guī)定新運算*:a*6=a(a+l)(a+2)…(a+6-l),其中a、b表

示自然數(shù).如果("3)*2=3660,那么x等于幾?

6、對于非零自然數(shù)a和b,規(guī)定符號?的含義是：a(8b=叱土心(m是一個確定的整數(shù))。如

2xtzxZ?

果1區(qū)4=2回3,那么3?4等于o

7、對于數(shù)a、b、c、d,規(guī)定，<a、b、c、J>=2ab-c+d,已知<1、3、5、x>=7,求x的

值。

8、規(guī)定:6派2=6+66=72

2X3=2+22+222=246,

■4=1+11+111+1111=1234,7次5=?

9、規(guī)定?！鱞=?x(a+2)—(6i+1)—,計算：(2A1)H1-(11△10)=o

直擊賽場

1、規(guī)定運算。是b的倍數(shù)時，a?b=a^b+l；力是。的倍數(shù)時，a?b=b^a+\-,

a不是〃的倍數(shù)時，人也不是。的倍數(shù)時，a?b=13,根據(jù)上面的規(guī)定，計算

14?266?26?296?286=。

2、定義新運算：a?b=5a+mb,其中a,b是任意兩個不同的數(shù)，機為常數(shù)，如2◎7=5義2

+mx7,(1)已知2@3=19,則3◎5=,5?3=,(2)當時加=,該運算

滿足交換律。

3、定義新運算※，使它的運算規(guī)則是：=x+y,按此規(guī)則計算：4X2.5=,

2.5X4=o

4、對于數(shù)a和力，規(guī)定☆運算如下：a^b=Aa+3b,請比較：

5.1☆IS2.3☆5.1o(填“>”、"V”或“=”)

、名師點撥

警&

新定義運算注意的問題：

⑴新定義運算一般不滿足運算定律

如:azM>WbZ\aaA(bAc)W(aZSb)Ac

(a*b)Ac#:(aAc)*(bAc)

(2)“X”仍然是通常的運算符號，完全符合四則運算順序.

旗學霸經(jīng)驗

本節(jié)課我學到了

我需要努力的地方是

第01講定義新運算

教學目標

?學會理解新定義的內(nèi)容;

?理解新定義內(nèi)容的基礎上能夠解決用新定義給出的題目;

?學會自己總結(jié)解題技巧。

吸知識梳理

知識概念

1、定義新運算是指運用某種特殊的符號表示的一種特定運算形式。

注意：（1）解決此類問題，關鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新定義的計算

順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運算，然后進行計算。

⑵我們還要知道，這是一種人為的運算形式。它是使用特殊的運算符號，如：*、

▲、★、◎、《）、△、?、■等來表示的一種運算。

⑶新定義的算式中有括號的，要先算括號里面的。但它在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合

于各種運算定律的。

2、一般的解題步驟是:

?一是認真審題，深刻理解新定義的內(nèi)容;

?二是排除干擾，按新定義關系去掉新運算符號;

?三是化新為舊，轉(zhuǎn)化成已有知識做舊運算。

典例分析

例1、對于任意數(shù)a,b,定義運算“*”：a*b=axb-a-b。求12*4的值。

【解析】根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。

12*4=12X4-12-4=48-12-4=32

例2、假設a*b=（a+b）+b。求8*5。

【解析】該題的新運算被定義為：a★b等于兩數(shù)之和除以后一個數(shù)的商。這里要先算括號里

面的和，再算后面的商。這里a代表數(shù)字8,b代表數(shù)字5。

8★5=(8+5)4-5=2.6

例3、如果a?b=aXb-(a+b)。求6?(9?2)。

【解析】根據(jù)定義，要先算括號里面的。這里的符號就是一種新的運算符號。

6?(9?2)

=6O[9X2-(9+2)]

=607

=6X7-(6+7)

=42-13

=29

例4、如果1△3=1+11+111；2A5=2+22+222+2222+22222；8A2=8+88□求645。

【解析】仔細觀察發(fā)現(xiàn)“△”前面的數(shù)字是加數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字，而加數(shù)分別是一位數(shù)，二

位數(shù)，三位數(shù)，……“△”后面的數(shù)字是幾，就有幾個加數(shù)。因此可以按照這個規(guī)

律進行解答。

6A5=6+66+666+6666+66666=74070

例5、如果規(guī)定82=1義2*3,03=2X3X4,04=3X4X5,....

計算(二——L)X空。

020303

【解析】該題看上去比較復雜，但仔細觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)，該題被定義為區(qū)X=(X-l)xXx(X+l)。

由于把數(shù)代入算式中計算比較麻煩，我們可以先化簡算式后，再計算。

11、82

(z---------)x----

020303

—__1_x_0__2_____1_x_0__2_

?2030303

—__1____1_x_(_8_)2

030303

1八1x2x3、

x(1)

2x3x4----2x3x4

1x(l-f

2x3x4

13

--------------X—

2x3x44

32

例6、規(guī)定aAb=5a+'ab-3b。求(8A5)AX=264中的未知數(shù)。

2

【解析】根據(jù)新定義，應該先計算括號里面的，再計算括號外面的，然后解方程即可。

(8A5)AX=264

(5x8+1x8x5-3x5)AX=264

45AX=264

5X45+-X45XX-3X=264

2

225+竺X-%=264

22

225+—X=264

2

生X=39

2

X=2

實戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、A,B表示兩個數(shù),定乂AAB表示(A+B)+2,

求(l)(3a17)△29；

(2)[(1A9)△9]△6o

【解析】定義新運算符號“△”表示AAB=(A+B)+2,即兩個數(shù)做“△”運算就是求這兩個數(shù)的平

均值。如：3A17=(3+17)+2=10,再用10與29做運算,10A29=(10+29)+2=19.5

⑴原式=[(3+17)+2]△29(2)原式={[(1+9)+2]△9}A6

=[204-2]△29=[5A9]△6

=10A29=[(5+9)+2]△6

=(10+29)+2=7A6

=39+2=(7+6)+2

=19.5=6.5

2、A,B表示兩個數(shù)，定義A*B=2XA-B。試求：

(1)(8.5X6.9)*5(2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35)

【解析】定義新運算符號“*”表示A*B=2XA-B,即前面數(shù)的兩倍與后面數(shù)之差；所以

(1)原式=2X(8.5X6.9)-5(2)原式=90*26

=17X6.9-5=2X90-26

=180-26

=117.3-5

=154

=112.3

3、已知a,b是任意自然數(shù)，我們規(guī)定：a?b=a+b-l,a<8)〃="6-2,那么4到(6十8)十(385)]=?

【解析】原式=4位[(6+8-1)十(3x5-2)]=40[13十13]=40[13+13-1]=4025=4x25—2=98。

4、表示(M+N)+2,(2008*2010)*2009=

[解析】原式=[(2008+2010)+2]*2009=2009*2009=(2009+2009)4-2=2009。

5、已知2*3=2+22+222=246,3*4=3+33+333+3333=3702.

求:(1)3*3；(2)4*5；(3)若l*x=123,求x.

【解析】觀察兩個已知等式可以發(fā)現(xiàn)，“*”定義的是連加運算，第一個加數(shù)是“*”前邊的數(shù),

且后一個加數(shù)都比前一個加數(shù)多一位，但數(shù)字相同，而“*”后邊的數(shù)恰好是加

數(shù)的個數(shù)。

(1)3*3=3+33+333=369

⑵4*5=4+44+444+4444+44444=49380

(3)提示：因為1*x=l+U+lll+…=123

所以倒著算：123-1=122122-11=111111-111=0

即：1+11+111=1*3=123

從而可知x=3

6、已知5Z\3=5X6X7,3A6=3X4X5X6X7X8,按此規(guī)定計算：

(1)(4A3)+(6A2)(2)(3A2)X(4A3)

【解析】觀察兩個已知等式可以發(fā)現(xiàn)，定義為由前面的數(shù)開始稱后面數(shù)一次加1,相乘

個數(shù)為之后的數(shù)字。

(1)原式=4X5X6+6X7=120+42=162

(2)原式=(3X4)X(4X5X6)

=12X120

=1440

7、設A十B=2X(A+B)-2X(A+B),

計算:(1)(12十4)十13；(2)70?(18?4)o

【解析】觀察已知等式可知：“十”定義表示的是兩個數(shù)和的2倍與商的2倍的差。如：12

十4=2義(12+4)-2X(124-4)=26

(1)原式=[2>(12+4)-2>(12+4)]?13

=[2X16-2X3]?13

=26?13

=2X(26+13)-2X(264-13)

=2X39-2X2

=78-4

=74

(2)原式=70?[2X(18+4)-2X(184-4)]

=70?[2X22-2X4.5]

=70?35

=2X(70+35)-2X(704-35)

=206

8、規(guī)定a(Db=(a+b)+(a-b),按此規(guī)定計算:

(1)21015(2)(1809)02

【解析】觀察已知等式可以發(fā)現(xiàn)，定義為兩數(shù)之和與兩數(shù)只差的商，即aG)b=(a+b)+

(a-b)；所以有

⑴原式=(21+15).(21-15)⑵原式={(18+9)+(18-9)}。2

=36+6=302

=(3+2)4-(3-2)

=6=5

9、小輝用電腦設計了A,B,C,D四種裝置，將一個數(shù)輸入一種裝置后，會輸出另一個數(shù).

裝置A:將輸入的數(shù)加上5；裝置B:將輸入的數(shù)除以2；裝置C:將輸入的數(shù)減去4；裝置D:將

輸入的數(shù)乘3.這些裝置可以連

接，如果裝置A后面連接裝置B,就寫成A?B,輸入1后，經(jīng)過A?B輸出了3.那么，輸入

9,經(jīng)過A?B?C?D輸出幾？

【解析】A?B?C?D=[(9+5)4-2-4]X3=9

所以輸出的是9

＞課堂反擊

1、定義新運算為az\b=(a+l)+b,求的值。6A(3A4)o

【解析】所求算式是兩重運算，先計算括號，所得結(jié)果再計算。

由aAb=(a+l)+b得，3A4=(3+1)4-4=44-4=1；6A(3A4)=6A1=(6+1)^-1=7□

2、P、Q表示數(shù)，P*Q表示2辿，求3*(6*8)

2

【解析】3*(6*8)=3*(^^)=3*7=^^=5。

22

3、如果4&b=4+/?+10,那么2&5=□

【解析】2&5=2+5+10=2.5。

4、如果aOb表示3a-2Z?,例如405=3x4-2x5=2,那么，當xO5比5Ox大5時,x=。

【解析】根據(jù)題意xG)5—5G)x=(3x—2x5)—(3x5—2x)=5x—25,由5x—25=5,解得x=6.

5、對于任意的兩個自然數(shù)a和6,規(guī)定新運算*:a*b=a(a+l)(a+2)…(a+3-l),其中a、b表

示自然數(shù).如果(x*3)*2=3660,那么x等于幾?

【解析】方法一：由題中所給定義可知，b為多少，則就有多少個乘數(shù)。3660=60x61,即：

60*2=3660,則x*3=60;60=3x4x5,即3*3=60,所以x=3。

方法二：可以先將(x*3)看作一■個整體y,那么就是y*2=3660,y*2=+1)=3660=60x6h

所以y=60,那么也就有x*3=60,60=3x4x5,即3*3=60,所以x=3。

6、對于非零自然數(shù)a和b,規(guī)定符號?的含義是：a③b=4ii(m是一個確定的整數(shù))。如

2xaxb

果1?4=2(8)3,那么3(2)4等于o

【解?析】根據(jù)1保4=2保3,倚至--------------，角牛出m=6。所以，304=----------——°

2x1x42x2x32x3x412

7、對于數(shù)。、b、c、d,規(guī)定，＜a、b、c、d＞=2ab—c+d,已知＜1、3、5、x＞=7,求x的

值。

【解析】根據(jù)新定義的算式，列出關于x的等式，解出x即可。將1、3、5、x代入新定義的

運算得：2x1x3—5+x=l+x,又根據(jù)已知<1、3、5、x>=7,故l+x=7,x=6。

8、規(guī)定:6派2=6+66=72

2X3=2+22+222=246,

1X4=1+11+111+1111=1234,7派5=?

【解析】佟5=7+77+777+7777+77777=86415。

9、規(guī)定aAb=ax(a+2)—(a+1)—/?,計算：(2A1)H--1-(11△10)=。

【解析】這個題目直接套用定義給的公式非常麻煩，需要套用10次，然后再求和。但是我們

注意到要求的10項值有一個共同的特點就是在要我們求得這個式子中b=a-l,所以，我們

不妨把b=a-1代入原定義.

az\b=ax(a+2)-(a+l)-6就變成了a4b=ax(a+2)-(a+l)-(a-l)=/,所以241=2?,3A2

=32,……，3A2=112,則原式=22+32+42+...+1產(chǎn)=112今生_1=505。

6

直擊賽場

1、規(guī)定運算。是A的倍數(shù)時，a?b=a^h+1；力是。的倍數(shù)時，a?h=b^a+\-,

。不是。的倍數(shù)時，。也不是。的倍數(shù)時，a?b=