習(xí)題課平行與垂直的綜合問題題|型|探|究題型一平行和垂直關(guān)系的證明典例1如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC，BD相交于點O，點E為PC的中點，OP＝OC，PA⊥PD.求證：(1)直線PA∥平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD.[證明](1)如圖，連接OE，因為O為平行四邊形ABCD對角線的交點，所以O(shè)為AC的中點．又E為PC的中點，所以O(shè)E∥PA.因為OE?平面BDE，PA?平面BDE，所以直線PA∥平面BDE.(2)因為OE∥PA，PA⊥PD，所以O(shè)E⊥PD.因為OP＝OC，E為PC的中點，所以O(shè)E⊥PC.又PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD＝P，所以O(shè)E⊥平面PCD.因為OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.[歸納提升](1)在應(yīng)用線面平行的判定定理進行平行轉(zhuǎn)化時，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行．(2)對于有關(guān)兩個平面垂直的證明，一般利用兩個平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直，在應(yīng)用定理解決問題時，經(jīng)常采取“線線垂直”?“線面垂直”?“面面垂直”的轉(zhuǎn)化思想進行推理．對點練習(xí)?如圖，△ACD為等腰三角形，且AC＝AD，DE⊥平面ACD，DE∥AB，AB＝eq\f(1,2)DE，點G為CE的中點．求證：(1)BG∥平面ACD；(2)平面BCG⊥平面GDE.[證明](1)取CD的中點F，連接GF，AF又因為點G為CE的中點，所以GF為△ECD的中位線，所以FG∥DE，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)DE，因為AB∥DE，所以FG∥AB,因為AB＝eq\f(1,2)DE，所以FG＝AB，所以四邊形GFAB為平行四邊形，所以AF∥BG,因為BG?平面ACD，AF?平面ACD，所以BG∥平面ACD.(2)因為△ACD為等腰三角形，且AC＝AD，又點F為CD的中點，所以AF⊥CD,因為DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，所以DE⊥AF,因為CD∩DE＝D，CD，DE?平面CDE，所以AF⊥平面CDE,由(1)知AF∥BG，所以BG⊥平面CDE，因為BG?平面BCG，所以平面BCG⊥平面CDE，又平面CDE即是平面GDE，所以平面BCG⊥平面GDE.題型二立體幾何中的折疊問題典例2如圖1所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E為AC的中點，將△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直，得到如圖2所示的幾何體D－ABC.(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)點F在棱CD上，且滿足AD∥平面BEF，求幾何體F－BCE的體積．[解析](1)證明：∵AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝2eq\r(2)，∠BAC＝∠ACD＝45°，AB＝4，∴在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC×AB×cos45°＝8，∴AB2＝AC2＋BC2＝16，∴AC⊥BC.∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∴BC⊥平面ACD.(2)∵AD∥平面BEF，AD?平面ACD，平面ACD∩平面BEF＝EF，∴AD∥EF，∵E為AC的中點，∴EF為△ACD的中位線．由(1)知，幾何體F－BCE的體積VF－BCE＝VB－CEF＝eq\f(1,3)×S△CEF×BC，∵S△CEF＝eq\f(1,4)S△ACD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×2×2＝eq\f(1,2)，∴VF－BCE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\f(\r(2),3).[歸納提升]平面圖形翻折為空間圖形問題的解題關(guān)鍵是看翻折前后線面位置關(guān)系的變化，根據(jù)翻折的過程找到翻折前后線線位置關(guān)系中沒有變化的量和發(fā)生變化的量，這些不變的和變化的量反映了翻折后的空間圖形的結(jié)構(gòu)特征．解決此類問題的步驟為：對點練習(xí)?(2023·安徽阜陽期末)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△CDF折起，使點C到達點P的位置，且平面PEF⊥平面ABFD.(1)證明：PF⊥PE；(2)若AB＝2，求三棱錐B－PEF的體積．[解析](1)證明：因為四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，所以BF⊥EF，又平面PEF⊥平面ABFD，且平面PEF∩平面ABFD＝EF，BF?平面ABFD，所以BF⊥平面PEF，所以BF⊥PF.又因為BF∥AD，所以PF⊥AD.又PF⊥PD，AD∩PD＝D，所以PF⊥平面ADP，又PE?平面ADP，所以PF⊥PE.(2)過點P作PQ⊥EF，垂足為Q，易證PQ⊥平面ABFD.因為AB＝2，所以EF＝2，PF＝1，PE＝eq\r(3)，所以PQ＝eq\f(\r(3),2)，故VB－PEF＝VP－BEF＝eq\f(1,3)·S△BEF·PQ＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6).題型三立體幾何中的探索性問題典例3如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，M是eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點．(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由．[解析](1)證明：由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD.因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，又DM?平面CMD，所以BC⊥DM.因為M為eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.因為DM?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.(2)當P為AM的中點時，MC∥平面PBD.理由如下：如圖，連接AC交BD于O.因為四邊形ABCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點．連接OP，因為P為AM的中點，所以MC∥OP.又MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.[歸納提升]探索性問題的一般解題方法先假設(shè)其存在，然后把這個假設(shè)作為已知條件，和題目的其他已知條件一起進行推理論證和計算．在推理論證和計算無誤的前提下，如果得到了一個合理的結(jié)論，則說明存在；如果得到了一個不合理的結(jié)論，則說明不存在．對點練習(xí)?(2023·福建莆田一中期中)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝2AD，E為線段BC的中點．(1)求證：平面PDE⊥平面PAD；(2)在線段PB上找一點F，使得EF∥平面PCD，則滿足題意的點F是否存在？若存在，求出點F的位置；若不存在，請說明理由；(3)若Q是PC的中點，AB＝1，PA＝2，BC＝2，求三棱錐P－ABQ的體積．[解析](1)證明：∵AD∥BC，BC＝2AD，E是BC的中點，∴AD∥BE，AD＝BE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABED為矩形，∴DE⊥AD.∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，∴PA⊥DE，又AD∩PA＝A，∴DE⊥平面PAD，又DE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.(2)取PB的中點F，連接EF.在△BCP中，E，F(xiàn)分別為BC，BP的中點，∴EF∥CP，又CP?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD，∴當F為PB的中點時，EF∥平面PCD.(3)連接QF，∵Q是PC的中點，∴FQ∥BC，F(xiàn)Q＝eq\f(1,2)BC＝1.∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∴FQ⊥平面PAB，故VP－ABQ＝VQ－PAB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AB×PA×FQ＝eq\f(1,6)×1×2×1＝eq\f(1,3).1．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點，PA＝AD＝a.(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥平面PCD.[證明](1)如圖，取CD的中點E，連接NE，ME.∵E，M，N分別是CD，AB，PC的中點，∴NE∥PD，EM∥DA，NE∩EM＝E且NE，EM?平面NEM.∴平面NEM∥平面PDA，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.∵底面ABCD是矩形，CD⊥AD，又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵EN∥PD，∴EN⊥CD，又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E，∴CD⊥平面ENM，∴MN⊥CD.∵PM＝eq\r(PA2＋AM2)＝eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\r(BC2＋MB2)＝MC，N是PC的中點，∴MN⊥PC.又CD∩PC＝C，∴MN⊥平面PCD.2．(2021·全國Ⅰ卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點．(1)證明：OA⊥CD；(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小為45°，求三棱錐A－BCD的體積．[解析](1)證明：在△ABD中，∵AB＝AD，O為BD的中點，∴AO⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，∴AO⊥平面CBD，CD?平面CBD，∴AO⊥CD.(2)過點E作EN∥AO交BD于N，過點N作NM∥CD交BC于M，∴AO⊥平面CBD，EN∥AO，∴EN⊥平面CBD，在△BCD中，∵OB＝OD＝OC＝1，∴∠BCD＝90°，即DC⊥BC，∴NM∥CD，∴NM⊥BC，∴二面角E－BC－D的平面角是∠EMN＝45°，即△EMN是等腰直角三角形，∴DE＝2AE，∴ND＝2ON，∴MN＝eq\f(2,3)CD＝eq\f(2,3)＝EN，∴EN＝ND＝eq\f(2,3)，∴AO＝OD＝1，∴VA－BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·AO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),6).3．矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E、F分別為CD，AB邊上的點，且DE＝3，BF＝4，將△BCE沿BE折起至△PBE位置(如圖所示)，連接AP、PF，其中PF＝2eq\r(5).(1)求證：平面PAB⊥平面ABED；(2)在線段PA上是否存在點Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出點Q的位置，若不存在，請說明理由．[解析](1)證明：連接EF，由翻折不變性可知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，又PF＝2eq\r(5)，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF，在圖1中，利用