專題08立體幾何

1.【2021年?全國(guó)乙卷（理）】在正方體A8CZ）-A4CQ中，P為BQ的中點(diǎn)，則直線

與4,所成的角為（）

A-1B?"年

2.【2021年?全國(guó)甲卷（理）】在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為

E,F,G該正方體截去三棱錐A—MG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所

小，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）

正視圖

3.【2021年?全國(guó)甲卷（理）】已知A,B,C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)

點(diǎn)，且AC_L3C,AC=3C=1,則三棱錐O-ABC的體積為（）

A.克B.3C巫D.B

121244

4.[2021年?新高考I卷】已知圓錐的底面半徑為近，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓,

則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.2B.2桓C.4D.4及

5.【2020年?全國(guó)HI卷（文）】如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積

是（)

A.6+4V2B.4+4及C.6+2V3D.4+2G

6.【2019年?全國(guó)H卷（理）】設(shè)a,"為兩個(gè)平面，則a/R的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與￡平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與￡平行

C.a*平行于同一條直線D.%力垂直于同一平面

7.【2020年?全國(guó)H卷（理）】已知是面積為強(qiáng)的等邊三角形，且其頂點(diǎn)

4

都在球。的球面上.若球。的表面積為16兀，則。到平面ABC的距離為（）

A.GB.3C.lD.近

22

8.【2020年?全國(guó)I卷（理）】已知A,民C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，e。為VMC的

外接圓，若e01的面積為47u,AB=BC=AC=Oq,則球。的表面積為（）

A.64無(wú)B.487rC.367rD.327c

9.【2021年?新高考I卷】（多選）在正三棱柱ABC-ABC中，回="=1,點(diǎn)尸滿

,UUUl?lUUU,,?,

足BP=2BC+〃BBl,其中幾€[0川，Zze[O,l],則（）

A.當(dāng)"1時(shí)，VAAP的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)人;時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得

D.當(dāng)”;時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得外，平面的尸

10.【2021年?全國(guó)乙卷（理）】以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作

為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依

次為（寫出符合要求的一組答案即可）.

圖④圖⑤

11.【2020年?全國(guó)I卷(文)】已知ZACB=90。，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)

P到ZAC3兩邊AC,8C的距離均為石，那么P到平面ABC的距離為.

12.【2020年?新高考I卷】已知直四棱柱A88-ABCQ的棱長(zhǎng)均為2,44)=60。，

以R為球心，石為半徑的球面與側(cè)面8CC內(nèi)的交線長(zhǎng)為.

13.[2021年?全國(guó)甲卷(文)】已知直三棱柱ABC-a8c中，側(cè)面AA48為正方形,

AB=BC=2,E,/分別為AC和CG的中點(diǎn)，BFLAB-

(1)求三棱錐尸-E3C的體積；

(2)已知。為棱4與上的點(diǎn)，證明：BFYDE.

14.【2020年?新高考I卷】如圖，四棱錐p-"CD的底面為正方形，叨，底面

設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為/.

p

/zt)"-\-7G

(1)證明：?平面"C;

(2)已知PD=AD=1,。為/上的點(diǎn)，求PB與平面OCQ所成角的正弦值的最大值.

15.【2021年?全國(guó)乙卷(理)】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面

ABCD,PD=DC=1，M為3c的中點(diǎn)，且

(1)求8C；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

答案以及解析

1.答案：D

解析：本題考查立體幾何中的線面關(guān)系及解三角形的應(yīng)用.如圖，記正方體的棱長(zhǎng)

為貝=缶，所以線尸=蛇=。“，吁小尸+即丁爭(zhēng).在最GP

中，由余弦定理得cos/Pg尸：尸建,所以NP8￡=上又因?yàn)锳R/BG，所以

Z.PCB",C,B26

NPBC、即為直線PB與A2所成的角，所以直線PB與AR所成的角為匕

6

2.答案：A

解析：本題考查三視圖.由正視圖虛線可知所截為正方體的里面左下角，故側(cè)視圖

為實(shí)線左下角.

3.答案：A

解析：本題考查三棱錐和球.設(shè)43的中點(diǎn)是。，可知OA=OB=OC=立，又

2

OA=OB=OC=\,則三棱錐O-/WC的高是OO=受，故體積是迫.

232212

4.答案：B

解析：本題考查圓錐的側(cè)面展開圖.設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為/.由題意可得

2nr=nl>所以/=2r=2\(2.

5.答案：C

解析：由三視圖可知該幾何體為三棱錐，記為三棱錐P-MC,將其放入正方體中,

如圖，易知叢=A8=AC=2,PB=PC=BC=2s[i,故其表面積為

SvABC+$vPAB+S\PAC+^VPBC=—x2x2+—x2x2+—x2x2+-x2V2xx=6+2A/3,C.

解析：由面面平行的判定定理知:a內(nèi)兩條相交直線都與夕平行是a//￡的充分條件,

由面面平行性質(zhì)定理知，若a/6，則a內(nèi)任意一條直線都與夕平行，所以a內(nèi)兩

條相交直線都與￡平行是a/0的必要條件，故選B.

7.答案：C

解析：由等邊三角形A8C的面積為速，得且述，得AB=3,則VABC的外接圓

444

半徑「=入且.=3"=6設(shè)球的半徑為R,則由球的表面積為16兀，得4成』6兀，

323

得R=2,則球心0到平面48c的距離"=，斤_產(chǎn)=1,故選C.

8.答案：A

解析：如圖所示，設(shè)球。的半徑為R,eO1的半徑為「，因?yàn)閑O|的面積為4兀，所

以47t=兀/，解得廠=2,又A8=BC=AC=OQ,所以=2r,解得AB=26，故0?=25

sin60°

所以/?2=00：+/=（26）2+22=16,所以球O的表面積5=4成2=647t.故選A.

9答案:BD

解析：本題考查平面向量與投影、正三棱柱的性質(zhì)、三棱錐的體積及平面的性質(zhì).

當(dāng)行1時(shí)，泓=浣+〃崩，所以方=〃鴻，此時(shí)點(diǎn)P在線段CG上運(yùn)動(dòng)，所以△明尸的

周長(zhǎng)不為定值，A項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)〃=1時(shí)、胡=2品+或，所以沛，泥，此時(shí)點(diǎn)。在線

段4G上運(yùn)動(dòng)，所以為定值，B項(xiàng)正確；當(dāng)彳=；時(shí)，第=；昵+〃跋，分

別取8C,4G的中點(diǎn)M,N,如圖1,此時(shí)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，要使APJ.BP,

應(yīng)使得8P與AP在平面BBCC上的投影尸N垂直，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，且由正

三棱柱的性質(zhì)可知ANL平面BBCC，則點(diǎn)尸與點(diǎn)N重合時(shí)，也有A/LBP,C項(xiàng)錯(cuò)

誤；當(dāng)”;時(shí)，肌薄+g戰(zhàn)，分別取明，CG的中點(diǎn)G,H,如圖2,此時(shí)點(diǎn)尸

在線段GH上運(yùn)動(dòng)，由正三棱柱的性質(zhì)和AB=心可知AAq8為正方形，所以

要使AS，平面陰p,只要滿足用尸與AB在平面網(wǎng)”的投影垂直即可，此時(shí)只有點(diǎn)

尸與點(diǎn)〃重合符合，D項(xiàng)正確.

圖1圖2

10.答案：②⑤或③④

解析：本題考查幾何題的三視圖.由高度可知，側(cè)視圖只能為②或③.

當(dāng)側(cè)視圖為②時(shí)，則該三棱錐的直觀圖如圖1,平面PACL平面ABC,PA=PC=6,

BA=BC=下，AC=2,此時(shí)俯視圖為⑤；當(dāng)側(cè)視圖為③時(shí)，則該三棱錐的直觀圖如

圖2,PA_L平面ABC,PA=l,AC=AB=0，BC=2,此時(shí)俯視圖為④.

11.答案：近

解析：作PRPE分別垂直于AC,8C,POJ.平面ABC，連CO,

知CDA.PD,CD1PO,PDCOAP,

.?C平面尸”＞，ODu平面P”＞，

:.CDVOD,

?:PD=PE=6PC=2,sinZPCE=sinAPCD=—>

2

NPCB=NPCA=60°，

PO上CO,CO為ZACB平分線，

ZOCD=45°OD=CD=1,OC=y[2,又PC=2,

,?,/>(?=V4-2=>/2?

12.答案:今

解析：如圖，連接4A,易知V4CQ為正三角形，所以8Q=CQ=2.分別取明,

CC的中點(diǎn)M，G”,連接RM,RG,DM,則易得D、G=D、H=布,工Bg,且

〃幽=百.由題意知G，”分別是明，CC與球面的交點(diǎn).在側(cè)面8CC內(nèi)內(nèi)任取一點(diǎn)P,

使MP=0,連接RP,則D、P=小口小+MP2=J（揚(yáng)2+（收了=M,連接MG,MH,易得

MG=MH=^2,故可知以M為圓心，短為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面8CG4的交線.

由/8附6=/6加”=45。知4；他/=90。，所以場(chǎng)的長(zhǎng)為、2兀、0=叵.

42

13.答案：（1）如圖，取3c的中點(diǎn)為M,連接由已知易得EM/MB,AB=BC=2,

CF=1,EM=；AB=1,ABgB、,

由8尸_LA4得fiW_LBF,

又易得EM,CF,BFcCF=F,

所以EM，平面BCF,

故咚梭般一￡8c=Z枝做J8c=gxgBCxCFxEM=；x；x2xlxl=g.

（2）連接AE,gM,由（1）知EM/小片，

所以在平面EMMA內(nèi).

在正方形CC68中，由于RM分別是CC1,的中點(diǎn)，所以tanNC8F=M=!，

BC2

/n…BM1

tanZ.BB,M==—，

1BB、2

且這兩個(gè)角都是銳角，所以NCBF=NBBiM,

所以NBHB]=NBMB]+ZCBF=ZBMBt+ZBBtM=90°,

所以,

又8FJ.A用，所以班'_L平面EA阻A，

又￡>Eu平面EMB|A，所以斯_L￡>E.

14.答案：(1)因?yàn)镻D_L底面ABCD,所以PD_LAD.又底面ABC￡>為正方形，所以AD_LDC,

因此A￡>_L平面PDC,因?yàn)锳￡>〃BC,4O<z平面PBC,所以4)〃平面PBC,由已知得〃/A。.

因此U平面如C.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，方的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系。一孫Z.貝I]0(0,0,0),C(0,l,0),8(11,0),P(0,0,1),DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).

由(1)可設(shè)Q(a,0,l),則￡>@=3,0,1)

設(shè)〃=(x,y,z)是平面QS的法向量，則卜.歐=°,即卜x+；=°.

n￡>C=0[y=Q

可取〃=(-l,0,a)

所以COS(〃,兩=一空~=二一".

設(shè)M與平面QC。所成角為6,則sin”與年山=之「二

33Va2+l

因?yàn)閇J言■”],當(dāng)且僅當(dāng)a=l時(shí)等號(hào)成立，所以依與平面Q8所成角的正弦

值的最大值為漁.

3

15.答案：(1)連接8D.

因?yàn)镻D_L底面ASCD,且平面4BC。，

所以AW_LP￡>.

又因?yàn)锳W_LP3,PBcPD=P,P3u平面尸3D,PDu平面P8D,

所以4M,平面PBD.

又8￡>u平面P8D,所以所以ZAQB+ZD4M=90。.

又ZDAM+ZMAB=9O°，

所以Z4OB=ZM4B,所以RtAZMB~RtA4aW,

則絲=絲，所以"1火2