方法技巧專(zhuān)題6直線(xiàn)與圓問(wèn)題

一、直線(xiàn)與圓知識(shí)框架

「表示形式

二、直線(xiàn)與圓的方程問(wèn)題

1、直線(xiàn)方程的5種形式

(1)點(diǎn)斜式：y一切二攵0—入］)

(2)斜截式：y-kx+h

(3)兩點(diǎn)式：———=―—三-(玉工工2，必工當(dāng))

%一%當(dāng)一冬

(4)截距式：二+2=1(。工0,匕工0)

ab

(5)一般式：Ax+By+C=O(A,B不同時(shí)為0)

2、三種距離公式

(D4%,%),6(%2，%)兩點(diǎn)間的距離：.同="(尤2_劣尸+(%_弘)2.

(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離："=嶼士絲四(其中點(diǎn)ax。,%),直線(xiàn)方程：Ax+3)，+C=O).

y/A2+B2

(3)兩平行直線(xiàn)間的距離：d='-"

U2+B2

(其中兩平行線(xiàn)方程分別為：/j,Ax+By+C}=O,/2-AX+B^+C2=0).

3、兩條直線(xiàn)平行與垂直的判定

若兩條不重合的直線(xiàn)/］，的斜率冗段存在，則4〃4=匕=攵2,4_L4o秘？=—1;若給出的直線(xiàn)

方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在.

1.例題

【例1】設(shè)/leR,則“X=—3是直線(xiàn)2疝+(%—l)y=l與直線(xiàn)6x+(l—4)y=4平行”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【例2】過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線(xiàn)/與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△OA6的面積最小時(shí)，直線(xiàn)

/的方程為()

A.2x+y-4=0B.x+2y-5=0C.x+y-3=0D.2x+3y-8=0

鞏固提升綜合練習(xí)

【練習(xí)1】若兩平行直線(xiàn)4:x-2y+〃z=0(〃z>0)與，2：2x+町—6=0之間的距離是否，則m+n=()

A.OB.lC.-2D.-1

【練習(xí)2】直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)P(l,4),分別交x釉的正半軸和y釉的正半軸于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)+到

最小時(shí)，/的方程為.

【二】圓的方程及其應(yīng)用I

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)以(a,/?)為圓心，?尸>0)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a>+(y—勿2=，

(2)特別地，/+丁=/(7>0)的圓心為(0,0),半徑為廠(chǎng)

2、圓的一般方程

方程爐+y2+Dt：+￡y+E=0變形為(x+")2+(y+《)2=D+：———.

nF-JD2+F2-4F

(1)當(dāng)。2+爐一4歹>0時(shí)，方程表示以(一了,一,)為圓心，------------為半徑的圓;

np

(2)當(dāng)02+52—477=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(一一,——).

22

(3)當(dāng)。2+七2-4尸<0時(shí)，該方程不表示任何曲線(xiàn)。

3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

對(duì)于尸(丁,)0)和圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2,則

(1)P在圓C內(nèi)(X。一a)~+(>o—%)~<廠(chǎng)：

(2)P在圓C上o(玉)-a)，+(%-A))=/；

(3)P在圓C外(XQ—a)~+(-6)2>廠(chǎng).

1.例題

【例1】已知圓C的圓心在X軸的正半軸上，點(diǎn)V(0,J5)在圓C上，且圓心到直線(xiàn)2x—y=0的距離為三一,

則圓C的方程為.

【例2】圓心為點(diǎn)C(4,7),并且截直線(xiàn)3x—4y+l=0所得的弦長(zhǎng)為8的圓的方程(

A.(x-4)2+(y-7)2=5B.(X-4)2+(^-7)2=25

C.(x-7)2+(y-4)2=5D.(X-7)2+(JV-4)2=25

求圓的方程的方法

(1)幾何法：利用圓的性質(zhì)、直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合直接求出圓心坐標(biāo)、半徑，進(jìn)而求出圓

的方程.

(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出圓的方程，再由條件構(gòu)建系數(shù)滿(mǎn)足的方程(組)求得各系數(shù)，進(jìn)而求出圓的方程.

2.鞏固提升綜合練習(xí)

【練習(xí)1】已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)且被x軸分成兩段弧長(zhǎng)比為1：2,則圓C的方程為(

A.(X士爭(zhēng)2+y2=gB.(x士亭2+y2=；

C./+(y土爭(zhēng)2=?D./+(y±亭2=；

【練習(xí)2】以C(—1,0)為圓心，并且與圓V+y2—4x+3=0外切的圓的方程是()

A.(x+1)2+y2-2B.(x+1)2+y2=4

C.(X-1)2+/=2D.(x-l)2+/=4

［=］直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1＞直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判斷

直線(xiàn)］:Ax+3y+C=0(A,B不全為0)與圓(x-a)?+(y—。)？=/(尸＞0)的位置關(guān)系的判斷方法有:

(1)幾何法：圓心(a,Z?)到直線(xiàn)/:Ax+By+C=0的距離為d,

直線(xiàn)與圓相交；4=ro直線(xiàn)與圓相切；直線(xiàn)與圓相離.

Ax+By+C^0

(2)代數(shù)法：由＜消元，得到的一元二次方程的判別式為△,則

(x-a)2+(y-b)2=r2

A＞0o直線(xiàn)與圓相交；A=0o直線(xiàn)與圓相切；AvOo直線(xiàn)與圓相離.

2、圓與圓的位置關(guān)系的判斷(圓G，圓C2的半徑分別為4。弓，d=|CG|)

(1)d>rj+弓=兩圓外離，

(2)d=6<=>兩圓外切，

(3).一引vd〈/J+&O兩圓相交,

(4).=卜一引O兩圓內(nèi)切,

(5)OWd<k一目O兩圓內(nèi)含.

3、有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的兩種求法

(1)設(shè)直線(xiàn)/被圓C微得的弦長(zhǎng)為AB,圓的半徑為r,圓心到直線(xiàn)的距離為d,則弦長(zhǎng)公式：

|例=2"一『.

(2)若斜率為z的直線(xiàn)與圓交于4(否，%),8(%2，%)兩點(diǎn)，則|4q=川+公］($+*2)2_4%/2=

2

^+^J(y,+y2)-4y,y2(其中左。0),特別地，當(dāng)％=0時(shí)，|Aq=歸一百；

當(dāng)斜率不存在時(shí)，口目=|%—%|?

【知識(shí)拓展】

1.圓的切線(xiàn)方程常用結(jié)論

(1)過(guò)圓/+9二，上一點(diǎn)P(xo,泗)的圓的切線(xiàn)方程為x(\x+yoy=r2.

(2)過(guò)圓(x—a)2+(y—戶(hù)上一點(diǎn)尸(xo,yo)的圓的切線(xiàn)方程為(x()—a)(x—a)+(y()—b)(y—b)=產(chǎn).

(3)過(guò)圓/+)2=戶(hù)外一點(diǎn)M(xo,")作圓的兩條切線(xiàn)，則兩切點(diǎn)所在直線(xiàn)方程為x()x-1-yoy=i2.

2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論

(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線(xiàn)的條數(shù)：①內(nèi)含：0條：②內(nèi)切：1條；③相交：2條：④外切：3條；⑤外離：4

條.

(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程a2,y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線(xiàn)的方程.

1.例題

【例1】已知圓(x+l)2+(y—l)2=2-機(jī)截直線(xiàn)x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)加=()

A.—2B.■—4C.—6D.-8

【例2】若直線(xiàn)以+外=1與圓W+y2=l有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)P(a,b)與圓/+y2=l的位置關(guān)系是()

A.在圓上B.在圓外

C.在圓內(nèi)D.以上都有可能

［例3］若圓C：e+)2=5與圓E：(x-3)2+(y-4)2=16有三條公切線(xiàn)，則機(jī)的值為()

A.2B.V3C.4D.6

【例4】已知圓G：-+V—乙+2y=0與圓。2：V+V+竹一4=0的公共弦所在直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)P(a,b),且

點(diǎn)P在直線(xiàn)，/u-〃y-2=0上，則〃?”的取值范圍是()

A.(0,-)C.(-oo」)D.(-oo,i］

4444

【例5】已知點(diǎn)M(3,1)及圓。-1)2+(丁一2)2=4,則過(guò)點(diǎn)M的圓的切線(xiàn)方程為

.鞏固提升綜合練習(xí)

【練習(xí)1】已知直線(xiàn)x+同一〃?=0與圓C:/+y2=2相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，川原+畫(huà)=同，

則實(shí)數(shù)m的值為.

【練習(xí)2】已知兩條平行直線(xiàn)/2之間的距離為1,/1與圓C：，+/=4相切，/2與C相交于A,8兩點(diǎn)，則|AB|

=()

A.V2B.V3C.2y/2D.2yf3

【練習(xí)3】若直線(xiàn)/：ax+y+2a=0被圓C：7+(y-4)2-4所截得的弦長(zhǎng)為2在，則a的值為()

A.-7或-1B.7或IC.7或-1D.-7或1

【練習(xí)4】已知圓f+V=l的圓心為O,點(diǎn)P是直線(xiàn)hmx-3y+?>m-2=0上的動(dòng)點(diǎn)，若該圓上存在點(diǎn)Q使得/。尸。

=30。，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為

【練習(xí)5】過(guò)直線(xiàn)/：y=x-2上任意點(diǎn)P作圓C：/+尸=1的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)切線(xiàn)最小時(shí)，&PAB

的面積為

三、課后自我檢測(cè)

1.已知圓C：f+y2=4,直線(xiàn)/：y—1=-X+1）,則直線(xiàn)/與圓。的位置關(guān)系（）

A.相離B.相切C.相交D.以上皆有可能

2.過(guò)點(diǎn)p（（）,l）的直線(xiàn)/與圓（％-1）2+（丁-1）2=1相交于人，B兩點(diǎn)，若|AB|=0,則該直線(xiàn)的斜率為（）

A.±1B.+5/2C.士出D.±2

3.已知圓A:f+y2=i,圓.8：（%-2）2+了2=/&〉0）,圓4與圓B的公切線(xiàn)的條數(shù)的可能取值共有

（）

A.2種B.3種C.4種D.5種

4.設(shè)過(guò)點(diǎn)尸（一2,0）的直線(xiàn)/與圓。：/+）,2一4%一2"1=0的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,若8詡=5而，則|A@=

（）

.875R476r676n4>/5

5353

5.設(shè)直線(xiàn)x—y+a=0與圓爐+9+2%一43；+2=0相交于A，B兩點(diǎn),若|AB|=2,則。=（）

A.-1或1B.1或5C.-1或3D.3或5

1o

6.己知點(diǎn)PQ"—1）"6火，點(diǎn)E是圓/+/=—上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是圓（x—3）2+（y+l）2='上的動(dòng)點(diǎn)，貝ij

44

歸日一歸目的最大值為（）

5.

A.2B.-C.3D.4

2

7.直線(xiàn)x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在圓（X02+/2上，則△AB尸面積的取值范圍是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.[V2,3V2]D.[2V2,3V2|

8.在平面直角坐標(biāo)系.中，記d為點(diǎn)P（cosO,sin。）到直線(xiàn)x-my-2=G的距離，當(dāng)G,m變化時(shí),d的最大值為（）

A.lB.2C.3D.4

9.圓x2+y2-2x-Sy+13=0的圓心到直線(xiàn)ax+y-1=0的距離為I,則)

43i-

A.---B.---C.D.2

34

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線(xiàn)/:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),仇5,0),以AB為直徑的圓C與直線(xiàn)/交于另

一點(diǎn)D.若AB,&)=0,則點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為.

II.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓0:『+/50上，若PA-P月W20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范

圍是.

12.已知直線(xiàn)/:mx+y+35-6=0與圓爐+丫2=12交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B分別作/的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn),

若|AB|=2g,則|CD|=.

13.圓。1的方程為f+(y+l)2=4,圓。2的圓心Q(2,l).

(1)若圓。2與圓。的卜切，求圓。2的方程；

(2)若圓。2與圓。交于A、B兩點(diǎn)，且|A邳=2及.求圓。2的方程.

14.已知圓C:(x-2)2+(y—2)2=16,點(diǎn)A(10,0).

(1)設(shè)點(diǎn)尸是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP的中點(diǎn)。的軌跡方程;

(2)直線(xiàn)/：依一y一10%=0與圓。交于求與萬(wàn)麗的值.

15.己知圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+（）-2『=1