課件】高等數(shù)學(xué)下冊同濟大學(xué)出版社經(jīng)管類第2版第八章第一節(jié)二重積分概念目錄contents二重積分概念簡介二重積分的計算方法二重積分的應(yīng)用二重積分的物理應(yīng)用二重積分的數(shù)學(xué)應(yīng)用01二重積分概念簡介二重積分是定積分的一種，用于計算二維平面上的面積。它是由兩個方向的定積分（一重積分）相乘得到的。二重積分的定義公式為：∫∫Df(x,y)dσ，其中D是平面上的一個有界區(qū)域，f(x,y)是定義在D上的函數(shù)，dσ表示面積微元。二重積分的值等于函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的所有點處的函數(shù)值與該點處面積微元的乘積之和。010203二重積分的定義線性性質(zhì)∫∫D[a*f(x,y)+b*g(x,y)]dσ=a*∫∫Df(x,y)dσ+b*∫∫Dg(x,y)dσ?？杉有浴摇褼f(x,y)dσ+∫∫Dg(x,y)dσ=∫∫D(f(x,y)+g(x,y))dσ。對稱性∫∫Df(x,y)dσ=∫∫Df(y,x)dσ。奇偶性如果f(x,y)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么∫∫Df(x,y)dσ也具有相應(yīng)的奇偶性。二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義是計算平面區(qū)域D上函數(shù)f(x,y)的值與該點處面積微元dσ的乘積之和所對應(yīng)的體積。這個體積可以理解為由無數(shù)個小的矩形柱體組成，每個矩形的底面積為dσ，高為f(x,y)。當(dāng)f(x,y)大于0時，二重積分表示區(qū)域D上函數(shù)f(x,y)所對應(yīng)的曲面與xoy平面之間的體積。當(dāng)f(x,y)小于0時，二重積分表示區(qū)域D上函數(shù)f(x,y)所對應(yīng)的曲面與xoy平面之間的空腔體積的負(fù)值。二重積分的幾何意義02二重積分的計算方法直角坐標(biāo)系下的計算方法0102031.將二重積分化為累次積分；2.分別對兩個變量進行積分；直角坐標(biāo)系下二重積分的計算步驟03$$intint_{D}f(x,y)dxdy=int_{a}^left(int_{c}^zx1dtxtf(x,y)dyright)dx$$013.計算積分并得出結(jié)果。02直角坐標(biāo)系下二重積分的計算公式直角坐標(biāo)系下的計算方法直角坐標(biāo)系下的計算方法直角坐標(biāo)系下二重積分的計算注意事項判斷是否需要拆分區(qū)域D；確定積分區(qū)域D的邊界曲線方程；注意積分次序的選擇。極坐標(biāo)系下二重積分的計算步驟2.分別對兩個變量進行積分；1.將二重積分化為累次積分；極坐標(biāo)系下的計算方法1233.計算積分并得出結(jié)果。極坐標(biāo)系下二重積分的計算公式$$intint_{D}f(r,theta)rdrdtheta$$極坐標(biāo)系下的計算方法02030401極坐標(biāo)系下的計算方法極坐標(biāo)系下二重積分的計算注意事項確定積分區(qū)域D的邊界曲線方程；注意極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；注意積分次序的選擇。二重積分的變量替換法01二重積分的變量替換法步驟021.選擇適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q；2.將二重積分化為累次積分；030102033.分別對兩個變量進行積分；4.計算積分并得出結(jié)果。二重積分的變量替換法注意事項二重積分的變量替換法二重積分的變量替換法選擇合適的變量替換，使得積分區(qū)域更加規(guī)則化；注意變量替換的正確性和合法性；注意變量替換后積分上下限的變化。03二重積分的應(yīng)用平面薄片的質(zhì)量計算平面薄片的質(zhì)量在物理學(xué)和工程學(xué)中，常常需要計算平面薄片的質(zhì)量，二重積分可以用來計算分布在平面區(qū)域上的物質(zhì)的質(zhì)量。質(zhì)量分布的均勻性通過二重積分，可以分析質(zhì)量分布是否均勻，以及質(zhì)量中心的位置。轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量，二重積分可以用來計算平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量。通過二重積分，可以分析轉(zhuǎn)動慣量的性質(zhì)，例如是否與坐標(biāo)軸平行、是否為常數(shù)等。平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量的性質(zhì)轉(zhuǎn)動慣量的計算曲面面積的計算在幾何學(xué)和工程學(xué)中，常常需要計算曲面的面積，二重積分可以用來計算分布在曲面上的面積。面積分布的特點通過二重積分，可以分析曲面面積的分布特點，例如是否均勻、是否有突變等。曲面的面積04二重積分的物理應(yīng)用總結(jié)詞計算曲頂柱體的體積詳細描述二重積分在物理中常用于計算曲頂柱體的體積。曲頂柱體是一個三維物體，其頂部由一個曲面構(gòu)成。通過二重積分，可以將曲頂柱體的體積計算出來。曲頂柱體的體積總結(jié)詞計算平面薄片在力作用下的位移詳細描述在物理中，有時需要計算一個平面薄片在力作用下的位移。通過將力分布到薄片的每個小區(qū)域上，并使用二重積分來計算每個小區(qū)域的位移，可以得出整個薄片的位移。平面薄片在力下的位移確定曲頂柱體的重心位置總結(jié)詞重心是物體質(zhì)量的中心點。對于曲頂柱體，由于其形狀不規(guī)則，計算其重心位置需要使用二重積分。通過二重積分，可以將物體的質(zhì)量分布與空間位置關(guān)聯(lián)起來，從而確定重心位置。詳細描述曲頂柱體的重心位置05二重積分的數(shù)學(xué)應(yīng)用微分方程是描述數(shù)學(xué)模型中變量之間動態(tài)關(guān)系的重要工具，而二重積分在求解某些類型的微分方程中起到關(guān)鍵作用。例如，在求解某些偏微分方程時，可以通過二重積分將方程轉(zhuǎn)化為更容易處理的形式。二重積分在求解微分方程中的應(yīng)用主要涉及將偏微分方程轉(zhuǎn)化為全微分方程，然后通過求解全微分方程得到原微分方程的解。求解微分方程VS積分方程是描述數(shù)學(xué)模型中積分關(guān)系的方程，二重積分在求解某些類型的積分方程中起到重要作用。例如，在求解某些積分方程時，可以通過二重積分將方程轉(zhuǎn)化為更容易處理的形式。二重積分在求解積分方程中的應(yīng)用主要涉及將積分方程轉(zhuǎn)化為全微分方程，然后通過求解全微分方程得到原積分方程的解。求解積分方程變分問題是指尋找函數(shù)使其某個泛函取得極值的數(shù)學(xué)問題，二重積分在求解某些類型的