第四章數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式人教A版選擇性必修第二冊教學(xué)目標

n

項和公式在幾何中的應(yīng)用.n項和公式解決實際問題.3.能夠利用遞推公式解決一些實際問題.01復(fù)習(xí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)導(dǎo)入lna1

等比數(shù)列的前n項和公式情景導(dǎo)入l侏羅紀蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)則的蜘蛛網(wǎng)，如圖，它是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上，設(shè)外圍第一個正方形的邊長是m，有人說，如此下去，蜘蛛網(wǎng)的長度也是無限的增大，那么侏羅紀蜘蛛網(wǎng)的長度真的是無限長的嗎？研究侏羅紀蜘蛛網(wǎng)的長度，需要用到數(shù)列的哪些知識呢？02等比數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)新知探究思考1：等比數(shù)列前n項和公式Sn＝

(q≠1)有什么樣的函數(shù)特征？①當q≠1時，即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).②當q＝1時，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函數(shù).qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).新知探究

BSn＝Aqn－A.qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).∴1﹣2λ=﹣λ∴λ=1（2）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其前n項和為Sn=3n+1-2k,則實數(shù)k等于

.

新知探究例2.記數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋λ.(1)當λ＝3時，求{an}的通項公式；(2)是否存在常數(shù)λ，使得{an}為等比數(shù)列？請說明理由．分析(1)把λ＝3代入數(shù)列的前n項和，求出首項，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2時的通項公式，驗證后得答案．(2)由數(shù)列的前n項和求得首項，再由an＝Sn－Sn－1求出n≥2時的通項公式，由首項適合該通項公式即可求得λ的值．新知探究新知探究

新知探究

新知探究思考2：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則S偶,S奇之間有什么關(guān)系？(1)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n項，則(2)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n＋1項，則S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n?S偶＝qS奇?新知探究

D

又S奇

+60=S偶，則S奇

+60=3S偶

∴S奇=

30，S偶=

90

新知探究練習(xí)：已知等比數(shù)列{an}共有2n項,其和為-240,且(a1+a3+…+a2n-1)﹣(a2+a4+…+a2n)=80,則公比q=

.

新知探究

新知探究新知探究練習(xí)：在等比數(shù)列{an}中,若S2=7,S6=91,則S4=

.

解：∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4﹣S2,S6﹣S4也構(gòu)成等比數(shù)列,即7,S4-7,91-S4構(gòu)成等比數(shù)列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.03等比數(shù)列的前n項和公式實際應(yīng)用新知探究例1.如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E,F,G,H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I,J,K,L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和;(2)如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少?分析：可以利用數(shù)列表示各正方形的面積，根據(jù)條件可知，這是一個等比數(shù)列.解:設(shè)各個正方形的面積組成數(shù)列{an}，正方形ABCD的面積為首項a1,

則a1=25新知探究(2)當n無限增大時，Sn無限趨近于所有正方形的面積和:a1+a2+a3+…+an+…,所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50.新知探究例2.去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理，預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加萬噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請寫出從今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到萬噸).分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列,而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列

.因此,可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進行計算.新知探究

新知探究新知探究數(shù)列求和方法：分組求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n項和公式，其中{an}與{bn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列；(2)

將等差數(shù)列和等比數(shù)列分開：Tn＝c1

+c2+…+cn

＝(a