小學四年級下冊數(shù)學奧數(shù)知識點講解第5課《排列組合》試題附答案

例1由數(shù)字0、1、2、3可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)?

例2國家舉行足球賽，共15個隊參加.比賽時，先分成兩個組，第一組8個隊，

第二組7個隊.各組都進行單循環(huán)賽（即每個隊要同本組的其他各隊比賽一場）.

然后再由各組的前兩名共4個隊進行單循環(huán)賽，決出冠亞軍.問：①共需比賽多

少場？②如果實行主客場制（即A、B兩個隊比賽時，既要在曲所在的城市比賽

一場，也要在B隊所在的城市比賽一場），共需比賽多少場？

例3在一個半圓周上共有12個點，如右圖，以這些點為頂點，可以畫出多少個

①三角形?

②四邊形?

例4如下圖，問

①下左圖中，有多少個長方形（包括正方形）？

②下右圖中，有多少個長方體（包括正方體）？

例5甲、乙、丙、丁4人各有一個作業(yè)本混放在一起，4人每人隨便拿了一本,

問：

①甲拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

②恰有一人拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

③至少有一人沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

④誰也沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

答案

第五講排列組合

前面我們己討論了加法原理、乘法原理、排列、組合等問題.事實上，這些

問題是相互聯(lián)系、不可分割的.例如有時候，做某件事情有幾類方法，而每一類

方法又要分幾個步驟完成.在計算做這件事的方法時，既要用到乘法原理，又要

用到加法原理.又如，在照相時，如果對坐的位置有些規(guī)定，那么就不再是簡單

的排列問題了.類似的問題有很多，要正確地解決這些問題，就一定要熟練地掌

握兩個原理和排列、組合的內(nèi)容，并熟悉它們所解決問題的類型特點.

看下面的例子.

例1由數(shù)字0、1、2、3可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)？

分析注意到由四個數(shù)字0、1、2、3可組成的偶數(shù)有一位數(shù)、二位數(shù)、三位

數(shù)、四位數(shù)這四類，所以要一類一類地考慮，再由加法原理解決.

第一類：一位偶數(shù)只有0、2,共2個；

第二類：兩位偶數(shù)，它包含個位為0、2的兩類.若個位取0,則十位可有03

種取法；若個位取2,則十位有02種取法.故兩位偶數(shù)共有（03+02）種不同

的取法；

第三類：三位偶數(shù)，它包含個位為0、2的兩類.若個位取0,則十位和百位

共有平3種取法；若個位取2,則十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2種取

法，十位也有2種取法，由乘法原理，個位為2的三位偶數(shù)有2X2個，三位偶數(shù)

共有33+2X2）個;

第四類：四位偶數(shù).它包含個位為0、2的兩類.若個位取0,則共有P33個；

若個位取2,則其他3位只能在0、1、3中取.千位有2種取法，百位和十位

在剩下的兩個數(shù)中取，再排成一列，有產(chǎn)2種取法.由乘法原理，個位為2的四位

偶數(shù)有2XR2個.所以，四位偶數(shù)共有（P33+2XR2）種不同的取法.

解：由加法原理知，共可以組成

2+（03+02）+（P；3+2X2）+（P33+2Xp；2）

=2+5+10+10

=27

個不同的偶數(shù).

補充說明：本題也可以將所有偶數(shù)分為兩類，即個位為。和個位為2的兩類.

再考慮到每一類中分別有一位、兩位、三位、四位數(shù)，逐類討論便可求解.

例2國家舉行足球賽，共15個隊參加.比賽時，先分成兩個組，第一組8個隊，

第二組7個隊.各組都進行單循環(huán)賽（即每個隊要同本組的其他各隊比賽一場）.

然后再由各組的前兩名共4個隊進行單循環(huán)賽，決出冠亞軍.問：①共需比賽多

少場？②如果實行主客場制（即A、B兩個隊比賽時，既要在姒所在的城市比賽

一場，也要在B隊所在的城市比賽一場），共需比賽多少場？

分析比賽的所有場次包括三類：第一組中比賽的場次，第二組中比賽的場

次，決賽時比賽的場次.

①中，第一組中8個隊，每兩隊比賽一場，所以共比賽第8場；第二組中7個

隊，每兩隊比賽一場，所以共比賽歲7場；決賽中4個隊，每兩隊比賽一場，所

以共比賽CM場.

②中，由于是實行主客場制，每兩個隊之間要比賽兩場，比賽場次是①中

的2倍.

另外，還可以用排列的知識來解決.由于主客場制不僅與參賽的隊有關(guān)，而

且與比賽所在的城市（即與順序）有關(guān).所以，第一組共比賽平8場，第二組共

比賽P訐場，決賽時共比賽P/場.

解：由加法原理：

①實行單循環(huán)賽共比賽

p2p2p2

8x77x64x3

2x12x12xl

=28+21+6

=55（場）

②實行主客場制，共需比賽

2X（C28+5+C24）=110（場）.

或解為：

P28+P27+P24

=8X7+7X64-4X3

=56+42+12

=110（場）.

例3在一個半圓周上共有12個點，如右圖，以這些點為頂點，可以畫出多少個

①三角形？

②四邊形？

分析①我們知道，不在同一直線上的三個點確定一個三角形，由圖可見，半

圓弧上的每三個點均不共線（由于A、B既可看成半圓上的點，又可看成線段上

的點，為不重復(fù)計算，可把它們歸在線段上），所以，所有的三角形應(yīng)有三

類：第一類，三角形的三個頂點全在半圓弧上?。ú缓珹、B兩點）；第二類，

三角形的兩個頂點取在半圓弧上（不包含A、B）,另一個頂點在線段上?。ê?/p>

A、B）；第三類，三角形的一個頂點在半圓弧上取，另外兩點在線段上取.

注意到三角形的個數(shù)只與三個頂點的取法有關(guān)，而與選取三點的順序無

關(guān)，所以，這是組合問題.

解：三個頂點都在半圓弧上的三角形共有

常=壽=35（個）

兩個頂點在半圓弧上，一個頂點在線段上的三角形共有

9,P,Pj7x65/人、

C?xC|=^x-r_-xT=105（個）；

一個頂點在半圓弧上，兩個頂點在線段上的三角形共有

175x4/人、

9-=70（個）

由加法原理，這12個點共可以組成

C，7+（C-7XO5）+（O7XC：5）

=35+105+70=210（個）

不同的三角形.

也可列式為伊12一b5=220—10=210（個）.

分析②用解①的方法考慮.

將組成四邊形時取點的情況分為三類：

第一類：四個點全在圓弧上取.（不包括A、B）有CV種取法.

第二類：兩個點取自圓弧.兩個點取自直線AB.有取法CVX戰(zhàn)5種.

第三類：圓弧上取3個點，直線上取1個點，有CWXC巧種取法.

解：依加法原理，這12個點共可組成：

07+CVXC25+CWXC15

=35+210+175=420

個不同的四邊形.

還可直接計算，這12個點共可組成：

012。5?5?C17=495-5-70=420

個不同的四邊形.

例4如下圖，問

①下左圖中，有多少個長方形（包括正方形）？

②下右圖中，有多少個長方體（包括正方體）？

B

0

分析①由于長方形是由兩組分別平行的線段構(gòu)成的，因此只要看上左圖中水

平方向的所有平行線中，可以選出幾組兩條平行線，豎直方向上的所有平行線

中，可以選出幾組兩條平行線？

②由于長方體是由三組分別平行的平面組成的.因此，只要看上反右圖中,

平行于長方體上面的所有平面中，可以選出幾組兩個互相平行的平面，平行于

長方體右面的所有平面中，可以選出幾組兩個互相平行的兩個平面，平行于長

方體前面的所有平面中，可以選出幾組兩個互相平行的平面.

解：①C巧XC鐘=210（個）

因此，上頁左圖中共有210個長方形.

②05X06X04=900（個）

因此，上反右圖中共有900個長方體.

例5甲,乙、丙、丁4人各有一個作業(yè)本混放在一起，4人每人隨便拿了一本，

問：

①甲拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

②恰有一人拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

③至少有一人沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

④誰也沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？

分析①甲拿到自己的作業(yè)本，這時只要考慮剩下的三個人拿到其他三本作業(yè)

本的情況.由于其他三人可以拿到自己的作業(yè)本，也可以不拿到自己的作業(yè)本.

所以，共有P33種情況.

②恰有一人拿到自己的作業(yè)本.這時，一人拿到了自己的作業(yè)本，而其他三

人都沒能拿到自己的作業(yè)本.拿到自己作業(yè)本的可以是甲、乙、丙、丁中的一

人，共4種情況.另外三人全拿錯了作業(yè)本的拿法有2種.故恰有一人拿到自己作

業(yè)本的情況有4X2種情況.

③至少有一人沒有拿到己的作也本房捌”理斐眇旗拿法抻

到作

自己作業(yè)本的拿法即m任人拿業(yè)本的所有去而

一善鼠，

己作人方弟粕前兄所以F4少有隊

4

業(yè)謠至沒拿到自乍4田就

情況

J

斕

空吟步考慮I假設(shè)四個人個個地作業(yè)

棄一一<

初一

本p第個拿作本的人己作業(yè)本外有

除自3

p業(yè)的

種，去

拿r左這時剩下的人只能從剩下的兩本

中要，兩

拿P以由乘法原理共有邙仲不

“X同

的情況P，

X3

解：①甲拿到自己作業(yè)本的拿法有

32=

P33=XX16

種情況；

②作

恰有一人拿到自己業(yè)本的拿法有

428

X=

情

種況；

自

③至少有一人沒有拿到己作業(yè)本的拿法有

P4-=4X2X1

413X1-=23

種情況；

@誰也沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有

3XX=

319

況

種情.

關(guān)排

由刖面的各例題可以看到，有列組合的問題多種多樣，思考問題的方

多入結(jié)

拄再活變，