2023年高考數(shù)學(xué)第三次模擬考試卷

數(shù)學(xué).全解全析

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回

一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的。

1.已知集合M={x|x>l},N={x|log2x>l},則()

A.McN={x|x>l}B.MDN={X|X>1}

C.^(N={x|l<x<2}D.M=N

【答案】B

【解析】由log2X>l=log2X>log22=x>2,所以N={x|x>2},因知={中>1},對(duì)于

選項(xiàng)A：McN={x|x>2},A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：MuN={x|x>l},B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：

gN={x[l<x<2},C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：NM,D不正確，故選B

2

2.復(fù)數(shù)z滿足二-=z(2—i),i為虛數(shù)單位，則|z|=()

1+z

A.1B.1或3&C.275D.0或26

【答案】D

【分析】

設(shè)2=o+初，得到三產(chǎn)=2a+8+(28—a)i,列出方程組，求得的值，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算

公式，即可求解.

【詳解】

2

Z

設(shè)2=々+初，則,z(2-i)=2a+b+(2b-d)i,

2

2,2

所以°+"=2a+Z?+(2b—a)i,

a2+b2

=2Q+Z?a=0Q=4

即|2,解得《或＜

b=0b=2

2b-a=0

即z=0或z=4+2i,所以|z|=0或|z|=2j，

故選：D.

3.已知向量。=(4,2),向量力二(x,T),若a1/b，則|匕|二()

A.J5B.5C.亞D.-

24

【答案】A

【分析】

根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，求出x的值，從而得到b的坐標(biāo)，然后由向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)公式求出|加.

【詳解】

向量”=(4,2),向量b=(x,-l),且a"b，

所以4X(-1)-2X=0,解得X=-2,

所以8=(—2,-1),所以S|=J(_2)2+(-l)2=君.

故選：A.

4.已知數(shù)列｛斯｝滿足…;)(：；/("；)=。5GN*),則()

A.32021>aiB.32021<ai

C.數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列D.數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，可得。e-q=0,逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.

【詳解】

因?yàn)楸綡r°，

所以可“-%=0,即4+1

所以。2021=。1'故A、B借誤；

因?yàn)?。??！?°，所以數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，且公差為0,故C正確；

若?！?0,則數(shù)列｛an｝不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

故選：C

5.拋物線丁=2川(0>0)的焦點(diǎn)至IJ直線y=x+l的總巨離為④，則。=()

A.1B.2C.272D.4

【答案】B

【分析】

首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得P的值.

【詳解】

拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5，0)，

K-0+1

其到直線x-y+l=0的距離：d=2______=近,

VF+T'

解得：P=2(p=-6舍去).

故選：B.

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是

g3

0=1i5=2|

A.56B.54C.36D.64

【答案】B

【解析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程，如下:

a=l,b=l,S=2,c=l+l=2,S=2+2=4；

c<20,a=l,b=2,c=1+2=3,S=4+3=7；

c<20,a=2,b=3,c=2+3=5,S=7+5=12；

c<20,a=3,b=5,c=3+5=8,S=12+8=20;

c<20,a=5,b=8,c=5+8=13,S=20+13=33;

c<20,a=8,b=13,c=8+13=2l,S=33+21=54.

c>20,此時(shí)結(jié)束循環(huán)，S=54.

故答案為B.

7.四面體ABC。中，AB=CD=3,其余棱長(zhǎng)均為4,E，尸分別為A3，8上的點(diǎn)（不含端

點(diǎn)），則（）

A.不存在E，使得

B.存在E，使得DELCD

C.存在E，使得DEL平面ABC

D.存在E,F,使得平面CDEL平面ABE

【答案】D

【解析】

作出示意圖如下圖所示：E,戶分別是AB,CD的中點(diǎn)，面ABD于H,￡>G_L面ABC于

G,

對(duì)于A選項(xiàng)，取E,F分別在AB,CD的中點(diǎn)爐,尸時(shí)，因?yàn)锳3=CD=3,其余棱長(zhǎng)均為4,所

以VABCMVAB。，

所以CE'=OE'，所以ER」。，即EF1CD,故A錯(cuò)誤：

對(duì)于D選項(xiàng)，取E,F分別在AB,CD的中點(diǎn)E,尸時(shí)，由A選項(xiàng)的解析得EF±CD，AF±CD，

EFAF=F,

所以CD_L面ABF'，又COu面ECD，所以平面COE'_L平面即平面CQE_L平面

ABF,故D正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，作CH_L面ABDTH,因?yàn)椤鰽BD中，AT>=BD=4，所以H定在AB的中線DE

上,

所以NCOE'就是CD與面A3D所成的角，

當(dāng)E在AB上移動(dòng)時(shí)，ZCDE的最小值為直線8與平面所成的角，即ZCDE.而ZCDE

是銳角，

7T

NCDE的最大值為ZCDB=ZCDA<-,

2

故當(dāng)E在AB上移動(dòng)時(shí)，不存在E,使得DELCD.故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，作。G_L面ABC于G,因?yàn)槿薃BC中，AC=BC=4,

所以G定在AB的中線上，且不重合于點(diǎn)左，即點(diǎn)G不落在AB上，

又因?yàn)檫^空間中一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，故不存在E,使得DE_L平面ABC,

故C選項(xiàng)不正確，

故選：D.

I

8.設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若4=方_廣，則S99=（）

Vrt+1

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【解析】

采用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和

【詳解】

因?yàn)椋?I—7==?Jri+l-yfn,

VH+1+7n

所以S99=（四―1）+（6―0）++（炳_演）+（阿-■炳）

=Two-1

=10-1

=9

故選C.

9.已知圓柱的上、下底面的中心分別為。,。'，過直線。。'的平面截該圓柱所得的面是面積為8的

正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.\2屈兀B.12萬C.8?rD.10萬

【答案】B

【解析】

根據(jù)圓柱的軸截面面積求出圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)，利用圓柱的表面積公式，即可求解.

【詳解】

設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為X,

因?yàn)檫^直線0(7的平面截該圓柱所得的面是面積為8的正方形，所以d=8,解得x=2應(yīng)，

即圓柱的底面半件為「=應(yīng)，母線長(zhǎng)/=2上，

所以圓柱的表面積為S=2S底+5阿=2萬/+2萬”=2萬*(夜)2+2萬乂五*20=127.

故選：B.

10.某公司為了促進(jìn)技術(shù)部門之間良好的競(jìng)爭(zhēng)風(fēng)氣，公司決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，三個(gè)技術(shù)

部門分別為麒麟部，龍吟部，鷹隼部，比賽規(guī)則如下：①每場(chǎng)比賽有兩個(gè)部門參加，并決出勝負(fù)；

②每場(chǎng)比賽獲勝的部門與未參加此場(chǎng)比賽的部門進(jìn)行下一場(chǎng)的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)部門首

先獲勝兩場(chǎng)，則本次比賽結(jié)束，該部門就獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝部門己知在每場(chǎng)比賽中，

麒麟部勝龍吟部的概率為g,麒麟部勝鷹隼部的概率為|,龍吟部勝鷹隼部的概率為當(dāng)麒麟部

與龍吟部進(jìn)行首場(chǎng)比賽時(shí)，麒麟部獲得“優(yōu)勝部門''的概率是()

42413

A.—B.—C.—D.—

4591545

【答案】D

【分析】

由題設(shè)，麒麟部與龍吟部進(jìn)行首場(chǎng)比賽且麒麟部獲得“優(yōu)勝部門”的情況有：

1、首場(chǎng)麒麟部勝，第二場(chǎng)麒麟部勝；

2、首場(chǎng)麒麟部勝，第二場(chǎng)鷹隼部勝，第三場(chǎng)龍吟部勝，第四場(chǎng)翻麟部勝；

3、首場(chǎng)龍吟部勝，第二場(chǎng)鷹隼部勝，第三場(chǎng)麒麟部勝，第四場(chǎng)麒麟部勝；

再由獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的加法公式求概率即可.

【詳解】

設(shè)事件A：翻麟部與龍吟部先比賽鹿兒麟部獲勝；

由于在每場(chǎng)比賽中，麒麟部勝龍吟部的概率為：，麒麟部勝鷹隼部的概率為：，龍吟部勝鷹隼部的

概率為g，

131311113113

???顫麟部獲勝的概率分別是：P(A)=^x^+-x(l-^)x-x-+(l---)x(l--)x-x-=-^,

故選：D.

11.已知耳是雙曲線二—二=1（。>0,6>0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在雙曲線上，直線尸片與x軸垂直,

a~b~

且|P"|=a,那么雙曲線的離心率是（）

A.y/2B.>/3C.2D.3

【答案】A

【分析】

易得匕的坐標(biāo)為（一,C0）,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-C,%）,求得為=幺，由歸用="可得°=小

a

然后由a,b,c的關(guān)系求得C2=2Y,最后求得離心率即可.

【詳解】

￡的坐標(biāo)為（-。,0）,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（一%）,

易得上T-4=1，解得y=Q,

aba

因?yàn)橹本€";與x軸垂直，且|尸用=。，

所以可得9=。，則/=〃，即。=力，

所以=J+廬=2cJ，離心率為e=0\

故選:A.

x%>0

12.已知函數(shù)/（x）=J3*<0*（幻=一/+2%（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程

g（/（x））-加=。恰有三個(gè)不等實(shí)根玉，龍2，工3,且玉<%，則々-2%-2七的最小值為（）

3

A.ln3-3B.一一In2C.ln2-3D.-1

2

【答案】A

【分析】

設(shè)/（、）=，，則根據(jù)題意得8?）=-『+2/—機(jī)=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根小t2,不妨設(shè)％<與，

故乙+灰=2,弓=2一%再結(jié)合/"）的圖象可得％=e2為=々，芻=2-4，0<r,<1,進(jìn)而

%—2%—2/=3。-In4-4,再構(gòu)造函數(shù)/?（/）=3r—Inf—4,（0<rV1）,研究函數(shù)的最值即可得

答案.

【詳解】

由題意設(shè)f(x)=f,根據(jù)方程g(/(x))=0恰有三個(gè)不等實(shí)根，

即g(t)=—產(chǎn)+2/—加=0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根4,t2,不妨設(shè)t}<t2

=2,則t2=2T],

作出了。)的圖象，函數(shù)y與/(%)三個(gè)不等實(shí)根%,々，工3，且西<工2〈43,

那么馬=02為=4，可得當(dāng)=2-4，0<rt<1,

所以々一2^1—2%3=3Z1—InZ|-4,

構(gòu)造新函數(shù)恤)=3t—ln，—4(0<?<1),〃'⑺=3」

t

當(dāng)"⑺<0時(shí)，re(0,在(0,；)單調(diào)遞減；

當(dāng)"⑺>0時(shí)，在單調(diào)遞增;

.?.當(dāng)時(shí)，/?(t)取得最小值為山3—3,即%-2%—2七的最小值為ln3-3；

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及最值問題，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思

想及轉(zhuǎn)化構(gòu)造的方法，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于設(shè)f(》)=/,進(jìn)而4+/2=2,/2=2-：，再結(jié)

合/(X)的圖像可得無2=/*=*/=2-4，o<?)<1,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

h(t)=3/-In1-4,(0<fW1)的最值問題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率分別為0.5和0.8,且甲、乙兩人投籃的結(jié)果互不影

響.若甲、乙兩人各投籃一次，則至少有一人投中的概率為.

【答案】0.9

【分析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可求出.

【詳解】

設(shè)人=”甲、乙兩人各投籃一次，則至少有一人投中“，

則P（A）=1-P⑸=l-0.5x0.2=0.9.

故答案為：0.9.

14.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)與圓丁+根）尸-6"tr-7=0的圓心重合,長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的直

徑，那么短軸長(zhǎng)等于.

【答案】2a

【分析】

由于r+機(jī)產(chǎn)-6妙_7=0是圓，可得旭=1,通過圓心和半徑計(jì)算"c,即得解

【詳解】

由于/+研/—6mr—7=0是圓，m=1

即：圓x2+/-6x-7=0

其中圓心為（3,0）,半徑為4

那么橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8,即c=3,a=4,b=J7T7=J7，

那么短軸長(zhǎng)為2"

故答案為：2幣

15.已知函數(shù)/（x）=sin］（yx+?）（xeR,。>0）的最小正周期為萬，將y=/（力的圖象向左平

移9（9>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)y=g（x）為偶函數(shù)時(shí)，則夕的最小值是.

【答案】V

O

【分析】

由題意利用正弦函數(shù)的周期性求得再利用函數(shù)y=Asin(s+s)的圖象變換規(guī)律求得g(x)的解

析式，再利用三角函數(shù)的奇偶性，求得8的最小值.

【詳解】

:函數(shù)/(x)=sin(s+?)(xeR,。＞0)的最小正周期為§=%，

；.(y=2,/(x)=sin^2jc+-J.

將y=f(x)的圖象向左平移8(夕＞。)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)y=g(x)=sin(2x+20+?)的圖象,

由于得到的函數(shù)為偶函數(shù)，

,2*+2=女乃+】，keZ,則9的最小值是￡,

428

TT

故答案為：—.

O

zyv*J

16.函數(shù)/(x)=/一51nx—5(aeR)在—,1內(nèi)不存在極值點(diǎn)，則a的取值范圍是

【答案】I-00,-^T1[3,+00).

I16」

【分析】

將函數(shù)在上」內(nèi)不存在極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)r(x)..o或r(x),,o恒成

16

立即可求解.

【詳解】

解：?.?函數(shù)/(幻=/-31nx-2(aeR)在上,1內(nèi)不存在極值點(diǎn),

22口6_

.??函數(shù)/(X)在3，1內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，

.../'（x）..O或/'。）,,0在內(nèi)恒成立,

16

4x*I2-x-a

r（x）=2x--—

22x

1

令g（工）=4?0一工一。，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x二—

8

gdx=4xl2-^-l=3-4Z,

當(dāng)時(shí)，需滿足-----a.O,即④----,

1616

當(dāng)/'（戲,0時(shí),需滿足3—④0,即63,

綜上所述，a的取值范圍為（—8,」3,+8）.

I16.

-00-

故答案為：|577[3,4-OO）.

k16」

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)

試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

sinBcosC

17.（12分）已知ZSABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,"c,

2b

、sinC+2cosc

(1)求t-------------的值;

2sinC-cosC

（2）若。=2正，AA5C的面積為5,求/XABC的周長(zhǎng).

【答案】（1）y；（2）5+3番.

psin8cosC

【解析】（I）由正弦定理——=---及--——=-----

sinBsinC2h

sin5cosC口口「八

得------=------，即tanC=2,

2sinBsinC

.sinC+2cosC_tanC+2_4

2sinC-cosC2tanC-l3

cjn「jr

(2)由(1)知^——=2,故CE(0,—),

cosC2

又因?yàn)閟in?。+cos?。=1，解得sinC=2叵，cosC=-

55

111S&ABC———sinC——ab?—————5'cih=5^5,

由余弦定理c?=a1+b2-2aZ?cosC&c=2A/5，得/=30，

A(a+h)2=a2+b2+2ab=30+\0j5,a+b=5+6，

，AABC的周長(zhǎng)為a+〃+c=5+36.

18.(12分)如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，8的點(diǎn)，平面B4C_L平面ABC,△B4C

中，QA=PC=AC=2,BC=4,E，/分別是PC,PB的中點(diǎn).

(1)求證：平面PAC；

(2)記平面A￡尸與平面ABC的交線為直線/,點(diǎn)。為直線/上動(dòng)點(diǎn).求直線PQ與平面A所所

成的角的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析；(2)(0,看,

【解析】(1)證明：因?yàn)镃是以48為直徑的圓。上異于A，8的點(diǎn)，

所以8C_LAC,

因?yàn)槠矫媸?c〕平面ABC=AC，平面P4C_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以平面PAC.

(2)由己知，BCHEF)又E/u平面￡E4，BCa平面￡￡4,二BC〃平面￡E4,

又BCu平面ABC,平面EE4'平面ABC=/,二BC〃/,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB所在直線分別為8軸，了軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（2,0,0）,8（0,4,0）,尸（1,0,⑹，二電,。岑J,Fg,2,4

（3

.,.AE=-"-,0,--,EF-（0,2,0）,

?.?8C〃/,???可設(shè)Q（2,y,0）,平面他廠的一個(gè)法向量為m=（%y,z）,

3x\[3z_

則產(chǎn)''"=一三+h=°,取z=G得，〃=（i,o,@,

EFm=2y=0

19.（12分）在2020年的新冠肺炎疫情影響下，國內(nèi)國際經(jīng)濟(jì)形勢(shì)呈現(xiàn)出前所未有的格局.某企

業(yè)統(tǒng)計(jì)了2020年前5個(gè)月份企業(yè)的利潤(rùn)，如下表所示：

月份12345

企業(yè)的利潤(rùn)（萬元）9095105100110

（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)建立該企業(yè)所獲得的利潤(rùn)y（萬元）關(guān)于月份X的回歸直線方程￡=+

并預(yù)測(cè)2020年12月份該企業(yè)所獲得的利潤(rùn)；

（2）企業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量是企業(yè)的生命，該企業(yè)為了生產(chǎn)優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品投放市場(chǎng)，對(duì)于生產(chǎn)的每一件產(chǎn)品

必須要經(jīng)過四個(gè)環(huán)節(jié)的質(zhì)量檢查，若每個(gè)環(huán)節(jié)中出現(xiàn)不合格產(chǎn)品立即進(jìn)行修復(fù)，且每個(gè)環(huán)節(jié)是相互

獨(dú)立的，前三個(gè)環(huán)節(jié)中生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的概率為工，每個(gè)環(huán)節(jié)中不合格產(chǎn)品所需要的修復(fù)費(fèi)用均為

2

100元，第四個(gè)環(huán)節(jié)中產(chǎn)品合格的概率為巳3，不合格產(chǎn)品需要的修復(fù)費(fèi)用為50元，設(shè)每件產(chǎn)品修復(fù)

4

的費(fèi)用為J元，寫出J的分布列，并求出每件產(chǎn)品需要修復(fù)的平均費(fèi)用.

^x^-rixy

參考公式:回歸直線方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為族=21_______________

豆X；一戒2

i=l

a=y-bx,x,y為樣本數(shù)據(jù)的平均值.

【答案】（1）y=-9x+—173,140.5萬元；（2）分布列見解析，修復(fù)的平均費(fèi)用為32二5元.

222

_9095105.00110

【解析】（1）由表格數(shù)據(jù)知x=------:-------=3,=++++=100?

2斗丫T孫_0x90+2x95+3x105+4x100+5x110)-5x3x100

222222

A5=(1+2+3+4+5)-5X3

/=!

竺9

--

2-

10

a173

由回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心（無,方可知：100=1x3+4,

則回歸直線方程為$=：9x+1;7-3，

9173

預(yù)測(cè)2020年12月份該企業(yè)所獲得的利潤(rùn)為一xl2+」=140.5（萬元）.

22

（2）根據(jù)題意知J所有可能取值為0,50,100，150,200,250，300,350,

^=50)=gJxl=±

2

139產(chǎn)(>150)=4井衿」

p(g=100)=C；X—X—

-

2432

-139P(―50)=C；(品汨*

P(J=200)=C；X—X—

24~32

P(100)=出石4P《=350)=1J11

x-=——

\人)432

.?4的分布列為:

050100150200250300350

31939331

rD

3232323232323232

3193933

,-.E(^)=Ox—+50x—+100x—+150x—+200x—+250x—+300x—+350

v732323232323232

325

T

325

即每件產(chǎn)品需要修復(fù)的平均費(fèi)用為——元

2

20.（12分）己知等軸雙曲線的頂點(diǎn)耳（一2,0）,6（2,0）分別是橢圓。的左、右焦點(diǎn)，且％=半

是橢圓與雙曲線某個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（1）求橢圓。的方程；

（2）設(shè)直線/與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓過橢圓的上頂點(diǎn)M，求證：直

線/恒過定點(diǎn).

22

【答案】（D二+2-=1：（2）證明見解析.

84

【解析】（1）由己知可得雙曲線方程為三-二=1.

44

22（A/TnA、

設(shè)橢圓C的方程為+與=1,代入T-,土，得加=4,

Z?2+4b2I33）

22

...橢圓C的方程為工+二=1.

84

(2)證明：顯然直線/與x軸不垂直.

22

設(shè)直線=(機(jī)關(guān)2)與橢圓C：土+匕=1相交于A(%,yJ,8(毛,必)，

84

y=kx+m

由爐V得(2公+1卜2+4幼比+2/2-8=(),

---1--=1

184

.-4km2m2-8

..玉+*2=—~-，x,x.=——；——.

一2公+11-2V+1

ZAMB=90°,；.(x,,y,-2)?(x2,-2)=0.

即不毛+(%—2)(%一2)=0,玉^+乂、2一2(%+%)+4=0,

玉￡+(g+tn)^kx2+加)-2(依+m+kx2+/?)+4=0,

2

整理得(％+1)X|X2+Z(m-2)(X]+/)+(加一2)一=0,

即儼+德『(—)瑞+(2)』.

???加02,2(22+1)(m+2)—4Z2m+(222+1)(加一2)=0,

2

整理得3相+2=0,?,?加二一一

3

???直線/恒過定點(diǎn)(0,一：

21.(12分)已知函數(shù)/C(冗)=21/7一依.

(1)若g(x)=/(x)-x+Qlnx,討論g(x)的單調(diào)性；

(2)已知〃(x)=2/(x)-xlnx—4。+2,若方程力。)=0在；,+oo)有且只有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)。

的取值范圍.

【答案】⑴答案見解析；⑵惇卷+牛?

【解析】(1)依題可得g(x)=]x2-(a+l)x+alnx,

函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0,+8),

所以g'(x)=x—(a+l)+q=.""Dx+g=(匕1)(二)

XXX

當(dāng)aWO時(shí),由g'(x)<0,得X<1,則g(x)的減區(qū)間為(()」)；

由g'(x)〉O,得X>1,則g(x)的增區(qū)間為(L+oo).

當(dāng)0<a<l時(shí),由g'(x)<0,得a<x<l,則g(x)的減區(qū)間為(。,1)；

由g'(x)>0,得x<a或%>1,則g(x)的增區(qū)間為(0,a)和(1,+oo).

當(dāng)a=1時(shí)，g'(x)>0,則g(x)的增區(qū)間為(0,+8).

當(dāng)a>l時(shí)，由g'(x)<0,得則g(x)的減區(qū)間為(La)；

由g'(x)>0,得》<1或%>。，則8(%)的增區(qū)間為(0,1)和(。,+00).

(2)/?(x)=2/(x)-xlnx—4a+2=x2—2ax—xlnx—4a+2.

]Ar2_ylnr-i-?1

力(x)在-,+oo上有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于X方程2a=已_在-,+<?上有兩個(gè)不相等的

L27X+2!_2；

實(shí)數(shù)根.

人,、x1-x\nx+21x2+3x-21nx-4

令f(x)=--------——xe—,+oo,則“X)

x+2(x+2)?

令p(x)=x?+3x-21nx-4,xe—|,則p'(x)=^^~1)("+2)

_2)x

1A1A

顯然p'(無)20在-,+oo上恒成立，故p(x)在-,+oo上單調(diào)遞增.

_27|_2/

因?yàn)閜(l)=O,所以當(dāng)xe時(shí)，有p(x)<o,即/'(x)<0,所以，(無)單