6.4.3余弦定理和正弦定理余弦定理

千島湖位于我國浙江省淳安縣境內，因湖內有星羅棋布的一千多個島嶼而得名，現(xiàn)有三個島嶼A，B，C，島嶼A與B之間距離因A，B之間有另一小島而無法直接測量，但可測得AC，BC的距離分別為6km和4km，且AC，BC的夾角為120°，那么島嶼A，B間的距離如何計算呢？AB120°a=4kmc=?kmCb=6km

如圖6.4-8，在△ABC中，三個角A、B、C所對的邊分別是a、b、c怎樣用a、b和C表示c？分析：因為涉及的是三角形的兩邊長和它們的夾角，所以我們可以考慮用向量的數(shù)量積來研究.設

圖6.4-8那么

所以

同理可得

余弦定理——向量法余弦定理——向量法余弦定理的文字描述：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.即

你能用其他方法證明余弦定理嗎？

在△ABC中，三個角A、B、C所對的邊分別是a、b、c怎樣用a、b和C表示c？

余弦定理——建系法余弦定理思考：利用余弦定理可以解決什么問題？已知兩邊及其夾角求第三邊（SAS型）重點：解三角形

三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。

(1)(教材P43例5改編)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值；例1由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA(2)在△ABC中，已知b＝

，c＝

，B＝30°，求a的值.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，思考：利用余弦定理可以解決SSA型的問題嗎？跟蹤訓練1

(1)已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝

，則c＝

.23由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得5＝22＋b2－2×2bcosA，余弦定理——推論思考：利用余弦定理可以解決SSS型的問題嗎？例2

在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小.跟蹤訓練2∵a>c>b，∴A為最大角.由余弦定理的推論，得又∵0°<A<180°，∴A＝120°，∴最大角A為120°.大角對大邊，大邊對大角余弦定理——判斷三角形的形狀

在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，試判斷該三角形的形狀.例3由acosB＋acosC＝b＋c并結合余弦定理，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因為b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.先化邊為角，或者化角為邊

在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，則△ABC一定是A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形 D.等邊三角形跟蹤訓練3√在△ABC中，因為A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，結合A＝60°可得△ABC一定是等邊三角形.正弦定理思考：怎么解決AAS型的解三角形問題？ABCacb正弦定理思考：怎么解決AAS型的解三角形問題？正弦定理思考：怎么解決AAS型的解三角形問題？正弦定理：在三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即正弦定理思考：你能用向量的方法證明正弦定理嗎？證明：作外接圓O,過B作直徑BC,連AC`,OC`cbaCBA正弦定理

你能用其他方法證明正弦定理嗎？正弦定理

sinA∶sinB∶sinC2RsinB2RsinC

2RsinA正弦定理：在三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即正弦定理正弦定理：在三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即思考：利用正弦定理可以解決三角形的哪些問題？①已知兩角和一邊，解三角形②已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形

(教材P47例7改編)在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.例1因為B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.正弦定理——AAS解三角形跟蹤訓練1

在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，c的值.A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.正弦定理——ASA解三角形例2∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.正弦定理——SSA解三角形延伸探究

若把本例中的條件“A＝45°”改為“C＝45°”，則角A有幾個值？正弦定理——SSA解三角形

在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，則cosC等于跟蹤訓練2√正弦定理——SSA解三角形正弦定理——SSA解三角形在三角形ABC中，三個角A、B、C和三條邊a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。1.SSS型：利用余弦定理求角2.SAS型：方法一：利用余弦定理求出第三條邊，再用余弦定理的推論

求另外兩個角；

方法二：利用正弦定理求出已知兩邊的對角，再利用內角和

求出第三個角。3.AAS\ASA型：先利用三角形的內角和求出第三個角；再利用正弦定理計算其余的兩邊。SSA型解三角形解的個數(shù)A在?ABC中，已知a,b,A,解這個三角形AACCCbbbSSA型解三角形解的個數(shù)

a>ba＝ba<bA為鈍角一解無解無解A為直角一解無解無解A為銳角一解一解bsinA<a<b兩解a＝bsinA一解a<bsinA無解

不解三角形，判斷下列三角形解的個數(shù).(1)a＝5，b＝4，A＝120°；例3(3)b＝72，c＝50，C＝135°.所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形無解.反思感悟(2)在△ABC中，已知a，b和A，以點C為圓心，以邊長a為半徑畫弧，此弧與除去頂點A的射線AB的公共點的個數(shù)即為三角形解的個數(shù)，解的個數(shù)見下表：

A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a＝b無解無解一解a<b無解無解a>bsinA兩解a＝bsinA一解a<bsinA