學(xué)年度上學(xué)期安徽數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課大賽課件用二分法求方程的近似解(1)目錄contents二分法簡介二分法的基本步驟二分法的Python實(shí)現(xiàn)實(shí)例分析總結(jié)與思考01二分法簡介0102二分法的定義它通過不斷將區(qū)間一分為二，判斷中間值是否為解，從而逐步縮小解的區(qū)間范圍，最終得到滿足精度要求的近似解。二分法（BisectionMethod）是一種求解實(shí)數(shù)方程近似解的數(shù)值方法。010204二分法的基本思想選取初始區(qū)間，確定方程的根所在的區(qū)間；不斷將區(qū)間一分為二，計(jì)算中間值；根據(jù)中間值與區(qū)間端點(diǎn)值的符號判斷根所在的子區(qū)間；重復(fù)上述步驟，逐步縮小根所在的區(qū)間范圍。03求實(shí)數(shù)方程的近似解；求解函數(shù)的零點(diǎn)；用于求解優(yōu)化問題中的約束條件。二分法的應(yīng)用場景02二分法的基本步驟確定初始區(qū)間確定初始區(qū)間是求解方程近似解的第一步，需要找到滿足函數(shù)值異號的兩個點(diǎn)，確定初始的區(qū)間范圍。在選擇初始區(qū)間時(shí)，應(yīng)盡量選擇區(qū)間長度適中且易于計(jì)算中點(diǎn)的區(qū)間，以減少計(jì)算量和提高求解效率。中點(diǎn)是區(qū)間中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可以通過簡單的算術(shù)運(yùn)算求得。在計(jì)算中點(diǎn)的過程中，應(yīng)注意確保中點(diǎn)在初始區(qū)間內(nèi)，否則會導(dǎo)致求解失敗。計(jì)算中點(diǎn)判斷中點(diǎn)處的函數(shù)值是二分法的重要步驟，需要根據(jù)函數(shù)在指定點(diǎn)的值來判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性。如果函數(shù)值在指定區(qū)間內(nèi)從負(fù)變正或從正變負(fù)，則說明函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，可以繼續(xù)進(jìn)行下一步計(jì)算。判斷中點(diǎn)處的函數(shù)值在判斷中點(diǎn)處的函數(shù)值后，需要決定新的區(qū)間，即根據(jù)函數(shù)值和單調(diào)性來縮小原來的區(qū)間范圍。在決定新的區(qū)間時(shí)，應(yīng)盡量保證新的區(qū)間長度適中且滿足精度要求，以提高求解的準(zhǔn)確性和效率。決定新的區(qū)間重復(fù)步驟直至滿足精度要求重復(fù)以上步驟是二分法的核心思想，需要不斷縮小區(qū)間范圍并提高求解精度，直到滿足預(yù)設(shè)的精度要求或達(dá)到預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)。在重復(fù)步驟時(shí)，應(yīng)注意檢查是否出現(xiàn)收斂或發(fā)散的情況，以確保求解過程的正確性和穩(wěn)定性。03二分法的Python實(shí)現(xiàn)NumPy：用于數(shù)學(xué)計(jì)算和數(shù)組操作。matplotlib：用于繪制函數(shù)圖像。導(dǎo)入需要的庫需要求解的方程，例如`f(x)=x^3-x-1`。f(x)方程的導(dǎo)數(shù)，例如`b(x)=3*x^2-1`。b(x)定義函數(shù)初始化變量循環(huán)判斷更新區(qū)間輸出結(jié)果編寫主程序01020304設(shè)置初始區(qū)間`[a,b]`，初始猜測值`x`，精度要求`epsilon`。如果區(qū)間長度小于精度要求，則返回區(qū)間的中點(diǎn)作為近似解；否則繼續(xù)循環(huán)。將區(qū)間縮小到包含零點(diǎn)的那一側(cè)，并更新猜測值`x`。打印近似解和誤差。04實(shí)例分析二分法求解過程將方程的根所在的區(qū)間[1,3]進(jìn)行二分，得到新的區(qū)間[1,2]和[2,3]，再對其中一個區(qū)間進(jìn)行二分，直到滿足精度要求。求解結(jié)果$xapprox1.41421$簡單一元方程$x^2-2=0$求解簡單的一元方程$x^3-x-1=0$復(fù)雜一元方程將方程的根所在的區(qū)間[-2,0]進(jìn)行二分，得到新的區(qū)間[-2,-1]和[-1,0]，再對其中一個區(qū)間進(jìn)行二分，直到滿足精度要求。二分法求解過程$xapprox-0.57735$求解結(jié)果求解復(fù)雜的一元方程$begin{cases}x+y=1y+z=0z+x=2end{cases}$多元方程組將方程組的解所在的區(qū)域進(jìn)行二分，得到新的區(qū)域，再對其中一個區(qū)域進(jìn)行二分，直到滿足精度要求。二分法求解過程$xapprox-0.87178,yapprox0.57178,zapprox-0.57178$求解結(jié)果求解多元方程組05總結(jié)與思考在此添加您的文本17字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字在此添加您的文本16字優(yōu)點(diǎn)簡單易行：二分法是一種基本的數(shù)值計(jì)算方法，原理簡單易懂，易于實(shí)現(xiàn)。適用范圍廣：二分法適用于求解實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的方程，對于一些難以解析求解的方程，二分法可以給出近似解。缺點(diǎn)精度有限：二分法只能給出方程近似解，無法得到精確解。對初始值敏感：二分法對于初始值的選擇比較敏感，初始值選擇不當(dāng)可能導(dǎo)致算法收斂到錯誤的解或者不收斂。二分法的優(yōu)缺點(diǎn)通過改進(jìn)初始值的選擇方法，提高算法的收斂性和解的精度。改進(jìn)初始值選擇引入迭代優(yōu)化擴(kuò)展應(yīng)用范圍在迭代過程中引入優(yōu)化算法，如牛頓法、共軛梯度法等，以提高算法的收斂速度和解的精度。將二分法與其他數(shù)值計(jì)算方法結(jié)合，擴(kuò)展其應(yīng)用范圍，使其能夠求解更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。030201二分法的改進(jìn)方向二分法可以用于求解金融衍生品定價(jià)問題，如期權(quán)、期貨等。金融領(lǐng)域在工程領(lǐng)域中，二分法