第一章緒論

習(xí)題一

1.設(shè)x>0,x*的相對(duì)誤差為8,求f(x)=lnx的誤差限。

解：求Inx的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限，由公式

(1.2.4)有

^*)=1也)-收*)|4印蒜I/'(X)IJ(x*)

|X-|

已知X*的相對(duì)誤差3滿足,而

穴x)=lnx,f(x)=—,|r-r*|<5(x*)=z.1x*1*

X9設(shè)

|Inx-Inx*鳳*崗1I.11*鳥匚一；］吟

XI11一。5)

文八八|x-x*|1.3

即地1X”胃匚7"百

2.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似值，試指出它們有

幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限與相對(duì)誤差限。

x；=1.1021/；=0.031/；=560.40

解：直接根據(jù)定義和式(L2.2)(1.2.3)則得

x；有5位有效數(shù)字，其誤差限次)冬幻°二相對(duì)誤差限

x；有2位有效數(shù)字,取)當(dāng)M⑶(女/尸

X；有5位有效數(shù)字，漢X；)41O”(X；?1L

3.下列公式如何才比較準(zhǔn)確？

由+1~^1dx,N±l

(1)%1+x2

(2)

解：要使計(jì)算較準(zhǔn)確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換

所給公式。

4.近似數(shù)x*=0.0310,是——位有數(shù)數(shù)字。

]

5.計(jì)算/=(逝-I)，取門口14,利用:(3+2舟式計(jì)算誤差最小。

—T-1(3-2揚(yáng)----,99-70應(yīng)

(72+1)6(3+2*②3

四個(gè)選項(xiàng):

第二、三章插值與函數(shù)逼近

習(xí)題二、三

1.給定Ax)=E的數(shù)值表

X0.40.50.60.7

Lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675

用線性插值與二次插值計(jì)算InO.54的近似值并估計(jì)誤差限.

解：仍可使用n=l及n=2的Lagrange插值或Newton插值,

并應(yīng)用誤差估計(jì)(5.8)0線性插值時(shí)，用0.5及0.6兩點(diǎn)，

用Newton插值

-0.510826+0.693147

In0.54?-0.693147+(0.54-0,5)=-0,620219

0.6-0.5

誤差限離(x)K；%|(”0.5)(x-0.6)|,因

f(x)=lnx,f'(x)=--j'，峪=腹底06-7=4

x*,故

|^(z)|<ix4x0.04x0.06=0.0048

二次插值時(shí)，用0.5,0.6,0.7三點(diǎn),作二次Newton插值

In0.54?-0.620219+/[0,5,0,6,0,7]

(0.54-0.5)(0.54-0,6)=-0,620219+(-1,40850)x0.04x(-0,06)=-0,616839

|/?2(x)|<1|(x-0.5)(x-0.6)(x-0.7)I，

22

仆)丁幅二鼠。，M16

故

|7?2(x)|<|xl6x0.04x0.06x0.16<0,001024

2.在-4<X<4上給出/(x)=eX的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次

插值法求產(chǎn)的近似值，要使誤差不超過10,函數(shù)表的步長(zhǎng)h

應(yīng)取多少？

解：用誤差估計(jì)式(5.8),%=2J(x)=eXj“3=]

%44|〃x)-%⑶|要小降斗建4騾X,”|(入一七_(dá)1)(工一石)(尤一號(hào)+1)|

令毛_1<x<xi+1,h=不一號(hào)口號(hào)_1=Xj-h,西+i=玉+%

21

中號(hào)<1°§

內(nèi)5

得戶<￡^1X10^,A<0,0066

3.若/(x)=x'+x4+3x+l,求[2。,2】,…,27]和"。,*…？].

解：由均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系加。,々，…，/]V?

/(X)=?+4+3x+1J⑺(X)=7!J⑻⑸=0

于是42。,21,…,27]=小7!=1/2。,21..,28]=0

4,若六X)=q+G)=(X-0)(X-X1)…熾-/),不(7=01,.../)互異，求

■f[^o，x1,—,xf]的值，這里pWn+1.

解：/(x)=4+G)J(&)=0(i=0,l,...M,由均差對(duì)稱性

/(X。)

"‘'?！?''/一勺4+1(可可知當(dāng)P—有力兩，Q…，小]=0

而當(dāng)P=n+1時(shí)

/[xO>Xl?'"?Z?+ll=>*,>/(%)/4*2?2*+，=1

i-o/(x*+D

[0,P<n

■r口加力x0'Xi'…'X.=Sip「

于是得LP=n+1

u+、了￡"匕=與「綠。

5.求證J-。.

解：解：只要按差分定義直接展開得

￡△%=自（Ay川-的）

*>0

=Ay?-+以-i-+…+A乃-Ay0

=-Axo

6.已知/(X)=shx的函數(shù)表

X，00.200.300.50

RXi)00.201340.304520.52110

求出三次Newton均差插值多項(xiàng)式,計(jì)算f(0.23)的近似值并

用均差的余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差.

解：根據(jù)給定函數(shù)表構(gòu)造均差表

Xif(xj一階均差二階均差三階均差

00

0.200.201341.0067

0.300.304521.03180.08367

0.500.521121.08300.170670.17400

由式(5.14)當(dāng)n=3時(shí)得Newton均差插值多項(xiàng)式

N3(x)=l.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)

由此可得

f(0.23)N3(0.23)=0.23203

由余項(xiàng)表達(dá)式(5.15)可得

R(0.23)|=/[xo.xpxj,弓。23陶(0.23)

由于川飛,馬,心,吃,。23股0.033133

(0.23)區(qū)0.033133x0.23x0.03x0.07x0.27<4.32xlQ-6

7.給定f(x)=cosx的函數(shù)表

Xi00.10.20.30.40.50.6

1.000000.995000.980070.955340.921060.877580.82534

用Newton等距插值公式計(jì)算cos0.048及cos0.566的近

似值并估計(jì)誤差

解：先構(gòu)造差分表

f(xj

MW)A5Z(V5/)

1.00000

-0.00500

0.99500-0.00993

-0.014930.00013

0.98007-0.009800.00002

-0.024730.00025-o.00002

0.95534-0.009550.00010

-0.034280.00035-0.00001

0.92106-0.009200.00009

-o.043480.00044

-0.00876

-0.05224

0.85234

計(jì)算COS0.048,X=0.048M=(W=T=°48,用.4得Newton前插

公式

N4(^O=^)=JO+A/H■―-1)+"￡一1)。-2)-I■--2)("3)

o

=1.。。。。。+。斗。.。。5。。-。.52](2^一1.52(等-2生芳)[

誤差估計(jì)由公式(5.17)得

瓦(0.048)歸等依-1)Q-2)?-3)?-4)曠工1.5845x10"

其中M*sin0.6|=0,565

計(jì)算cos0.566時(shí)用Newton后插公式

x=0.566,x=0.6,/==-0.34

(5.18)6h

v2/A3/A4/

cos0.566郃憶(方+紡)=/5+%￡+^^“￡+l)+^>"￡+l)Q+2)+^^“2+l))Q+2)Q+3)

二。~葉。四+?？筛?】?網(wǎng)竿+*竽)

=0.84405

誤差估計(jì)由公式(5.19)得

肉(0.566)|蘭冬依+DQ+2)?+3)(/+4)苗<1,7064xlO-7

這里她仍為0.565

8.求一個(gè)次數(shù)不高于四次的多項(xiàng)式p(x),使它滿足

p(0)=p>(0)=0,p(W，(l)=l,P(2)=l

解：這種題目可以有很多方法去做，但應(yīng)以簡(jiǎn)單為宜。此處

可先造鳥⑸使它滿足

^3(0)=0,p3(1)=^3(1)=1,顯然P3(X)=/(2-X),再令

p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2

由p(2)=l.求出A=,于是

p(x)=x[2-X+|(X-1)2]=^X2(X-3)2

9.令“⑺=六7'"2°'s”稱為第二類Chebyshev多項(xiàng)式，試

求外的表達(dá)式，并證明&｝是[-1,1]上帶權(quán)。&)=□的正交

多項(xiàng)式序列。

解：因Q1S)=cos(?+1)arccosx

』)=々以(乃=辿平/1

M+1VI-X2

令工=cos?

2

JsK(x)sM(x)Vl-xdfx=Isin(?4-1)5sin(m+X)QiQ

0,m^n

=4兀

一,m-n

12

10.用最小二乘法求一個(gè)形如，=a+總的經(jīng)驗(yàn)公式，使它擬合

下列數(shù)據(jù)，并計(jì)算均方誤差.

由1925313844

%19.032.349.073.397.8

即加x）=L仍（x）=

解：本題給出擬合曲線y=a+方，故法方

程系數(shù)

（W%）=>*,忒0=5

44

（W仍）=Z，2=5327,（仍，仍）=22程4=7277699

i-0i-0

44

（Wy）=2>i=2714,（仍j）=Z鬲必=369321.5

i-0i-0

法方程為

5?+5327i=271.4

5327a+727769泌=369321.5

解得a=0.9726045,Z>=0.0500351

最小二乘擬合曲線為丁=09726045+0.050035》

均方程為

rt=Mr（仙一）-//M=0.0150321

怫=0.1226

11.填空題

(1)滿足條件P(O)=W)=P。),或2)=2的插值多項(xiàng)式

p(x)=().

(2)財(cái)=2x3+5,則f[1,2,3,4]=(),f[1,2,3,4,5]

=().

(3)設(shè)Xi(HM23,4)為互異節(jié)點(diǎn)，《X)為對(duì)應(yīng)的四次插值基函

將t(小泓⑶

數(shù)，則白=(),1=().

(4)設(shè).。)｝：=0是區(qū)間[0,1]上權(quán)函數(shù)為P(x)=x的

最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式序列，其中例⑶=1,貝仙依㈤心

=(),。2(力=()

答：

1

、9⑶=(5X+1)(%一1"0

(2)川23,4]=2,川,2,3,4,5]=0

44

/八2>"(。)=。23+245)=/+2

(3)i2i-0

JPjWk(x)dx=<'2"，上=0

[O.k^O

,、263

wXx)=x一一x+—

(4)510

第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分

習(xí)題4

1.分別用復(fù)合梯形公式及復(fù)合Simpson公式計(jì)算下列積分.

[―riix.w=8

Jo4+x2

解本題只要根據(jù)復(fù)合梯形公式(6.11)及復(fù)合Simpson

公式(6.13)直接計(jì)算即可。

對(duì)*x)=G,取n=8,在分點(diǎn)處計(jì)算f(x)的值構(gòu)造函數(shù)表。

按式(6.11)求出4=0.1114024,按式(6.13)求得>=0.1115724,

riX

[-2-^^=0.11157178

積分」。4+/

2.用Simpson公式求積分口一“公，并估計(jì)誤差

解：直接用Simpson公式(6.7)得

fl1-1.

(^-*辦刊±(l+4g2+?T)=0.63233

由(6.8)式估計(jì)誤差,因"乃=1，/'&)=尸,故

阿⑺|=(LY11e-<—■—<3,5x10^

121I180A2J18016

3.確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量

高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度.

(Dfo/(%)dxx?Af(0)++<7(1)

(2)"X)82A.j(-h)+4/(0)+A/⑶

(3)J：HR也口V(-h)+B/g)

解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式

的參數(shù)。

(1)令八X)/代入公式兩端并使其相等，得

A+B+C=1

?c1

4-C=—

二1

+c=：

雨+c=(

_1

,-<4=—,5=—,C=—十日上

解此方程組得々乏636,于是有

J；/(x)<2?X?|/(0)+|.

+緘1)

6

P4,2/1、415

..、A“、4,r~tIXdxH—(一)+—=-

再令f(x)=/,得Jo32624

故求積公式具有3次代數(shù)精確度。

(2)令八x)="/代入公式兩端使其相等，得

41+4+4=4%

/_](—〃)+4/=ot-J4_J+4=0

4(-〃)2+4%2=_|(2%)3-^A?+4=yA

OA

解出心=4=/&=一寸=，得

LRK/N=8(—&)2+&]N=0

而對(duì)了5)=/不準(zhǔn)確成立，故求積公式具有3次代數(shù)精確度。

(3)令了。)=代入公式精確成立，得

A+B=2h

—kA+Bx]=0

/5+而;=2廬

1.3.,1.

解得々=/八D/月=正得求積公式

f/（x）dxa細(xì)（叫+3/&）]

23

對(duì)/'（x）=/

0=白口*芻（⑹3+3（扣3]=_#

故求積公式具有2次代數(shù)精確度。

IV

4.計(jì)算積分八1?！氨丶尤耄粲脧?fù)合Simpson公式要使誤差不

[乂[0-5「八"[

超過5,問區(qū)間1°'萬｝要分為多少等分?若改用復(fù)合梯形公

式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間電自應(yīng)分為多少等分？

解：由Simpson公式余項(xiàng)及/S）=SinX,/（4）（X）=sinX得

元

I凡S|M磊稔）軍力叫到

=2L（ly（ly<lxio-5

3604J2

即/2665,北5%取n=6,即因旬°9分為12等分可使誤差不

超過白2

對(duì)梯形公式同樣黑q，G）|=i,由余項(xiàng)公式得

兄

|凡（丁）|二4（白工:xlO5,

14/%乙

2354

n??>-（-）xl0<6.46xl0

]乂10-5

心254.2取n=255才更使復(fù)合梯形公式誤差不超過2

21-x8

5.用Romberg求積算法求積分而卜"，取之=3

解：本題只要對(duì)積分【；尸"使用Romberg算法（6.20）,計(jì)算

到K=3,結(jié)果如下表所示。

，k

以

00.683940

10.6452350.632333

20.6354100.6321350.632122

30.6329430.6321210.6321200.632120

21

于是積分胃爻"，積分準(zhǔn)確值為0.713272

6.用三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式計(jì)算積分.

fx'Zx

解：本題直接應(yīng)用三點(diǎn)Gauss公式計(jì)算即可。

由于區(qū)間為[0J,所以先做變換

rl0rl1

/=x%vdx=J]目"+1)0。2dt

于是

I?A[Q.555556x(1.7745972e0887298+(1-0.774597)2e0112702)+0,888889e0;i]=0.718252

8

本題精確值j=e-2=0.718281828

7.用三點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算積分

I=f11

117T/

解：本題直接用Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算

4加，

TJ1-/_14Lx*^1+X2

即/⑶二七

1

z?—2

于是〃+?屈，因n=2,即為三點(diǎn)公式，于是

2k+l,…_后_73

xk=cos---K,k=0,1,2即麗=彳,勺=0,盯=-y

8.試確定常數(shù)A,B,C,及a,使求積公式

1/⑶心?4/(—a)+中(0)+〃⑷

有盡可能高的代數(shù)精確度，并指出所得求積公式的代數(shù)精確

度是多少.它是否為Gauss型的求積公式？

解：本題仍可根據(jù)代數(shù)精確度定義確定參數(shù)滿足的方程，令

八x)=l,x,』一對(duì)公式精確成立，得到

工+8+C=J]x=4（1）

-aA+aC=[xdx=0（2）

J-2

a2A+a2C=jrdx=?（3）

—（23J44-（23C=0（4）

由(2)(4)得A=C,這兩個(gè)方程不獨(dú)立。故可令小)=小,得

a2A+a4C=Cx^dx=—

J-25(5)

由⑶(5)解得。=±欄**,代入⑴得”蔡

則有求積公式

?y/（-用+/（。）+畀用

令斂）=/公式精確成立，故求積公式具有5次代數(shù)精確度。

三點(diǎn)求積公式最高代數(shù)精確度為5次，故它是Gauss型的。

第五章解線性方程組的直接法

習(xí)題五

1.用Gauss消去法求解下列方程組.

'111c

尸+產(chǎn)+*=9

111o

鏟i+產(chǎn)+產(chǎn)=8

++2x3=8

解本題是Gauss消去法解具體方程組，只要直接用消元公

式及回代公式直接計(jì)算即可。

111c

片1+丁2+針3=9

11,

———&X,=-4

602453

13y

—x2=—154

153

x3=-154x153=-177.69

x2=-60(-4+x3)=476.92

故…(9-卜一卜)=-22708

12x1-3X2+3X3=15

-18%1+3X2+3X3=-15

2.用列主元消去法求解方程組E+X2+X3=6并求出

系數(shù)矩陣A的行列式detA的值

解：先選列主元b=2,2行與1行交換得

—183-1-15

7

-183-1-150-15

3

［屋串I)12-3315

71731

11160

」消元618~6

-183-1-15-183-1-15

71731

717310

0~6

618~6618

72266

70

0-15TT

3行與2行交換3消元6

回代得解

G=3,與=2,X]=]

行列式得

722

det^=—=-66

67

(111

H針廣9

111

-x1+-x2+-x3=8

5/+勺+2勺=8

3.用Doolittle分解法求的

解.

解：由矩陣乘法得

111

-456

41__1_

A=LU=-1

360-45

2-36113

15

再由3=5求得

^=(9,-4-154/

由“x=丁解得

x=(-227.08,476.92-177.69)r

4.下述矩陣能否作Doolittle分解，若能分解,分解式是

否唯一？

123-111,,126'

A=241,B=221,c=2515

46733161546

解：A中生=0,若A能分解，一步分解后，

=2-2+必22=u22=0,。32=4.2+0+0,相互矛盾,故A不能分解,

但det"0,若A中1行與2行交換，則可分解為L(zhǎng)U

對(duì)B,顯然△產(chǎn)餐=。，但它仍可分解為

1111

5=2100-1

1J|_O0/32-2_

-3自

分解不唯一，J為一任意常數(shù)，且U奇異。C可分解，且唯

-1][126

C=2113

6311

5.用追趕法解三對(duì)角方程組Ax=b,其中

2-100o,,1

-12-1000

A=0-12-10,b=0

00-12-10

000-120

解：用解對(duì)三角方程組的追趕法公式（3.1.2）和（3.1.3）

計(jì)算得

1234

月=-5,另=一彳，尾=一晨房二一5

°3456

al=24=于。3=0^4=牙°5=5

_1111lr_52111r

”"=（小虧'5'耳'看）

1648

45-4

6.用平方根法解方程組1-422

解：用4=想分解直接算得

4

L=12

2-33

由@=力及力x=y求得

1y=（-L2,6）r,x=（-[,4,2）r

7.設(shè)xel,證明帆4磯《赤卜L

解.M：=號(hào)鬻HKx；+君+…+W=IWIj

即風(fēng)引乩，另一方面

寓=X；+君+…+X；V閥僻忖|=小|：

故凡工忘14

0.60.51

8.設(shè)八一10103］計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)及F-范數(shù)和2

范數(shù)

1

解：ML=^l4=08，MF=<7i=0.84

rro.370.331r

ArA=,\（Tn）=0.68534

0.330.34」方

故|阿=JO.68534=0.82785

9.設(shè)卜I為R*上任一種范數(shù)，PeRW”是非奇異的，定義

W,-M,證明ML*-同尸1

證明：根據(jù)矩陣算子定義和比定義，得

成a眼尸對(duì)

令丫=px,因P非奇異，故x與y為一對(duì)一，于是

Il4=^^p=|^l

io.求下面兩個(gè)方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計(jì)問.

240

-179一黑山,即Ax=A

240-319.5

-179.5240,即（力+幽）（x+加）

解：記

'240-3191「0-0.5'

A=,54=

-179240J0,50_

則4=小的解X=（4,3/,而5+M（X+而）=5的解（X+畫=（8,6/

故卜L=4,|磯=4

而

Ai1「2403191H.....

=薪［17924O］'C（嘰=MLWL=626.2

1鞏=05團(tuán)］|幽「0.56012

由（3.12）的誤差估計(jì)得

....3d⑷9

<-----------=056012<1,274

x倒0.43988

"心1—C"d⑷°債

向LG274|也<5.10

表明估計(jì)網(wǎng)L=4略大，是符合實(shí)際的。

11.是非題（若〃是〃在末尾（）填+,〃不是〃填-）：題目中

x=5,…/）小父,/=（%）?&**

（1）若A對(duì)稱正定，女W，貝Ijl比=（4㈤”2是十上的一種向量

范數(shù)（）

（2）定義區(qū)⑴=嗎好⑷是一種范數(shù)矩陣（）

（3）定義㈤⑶=住/嚴(yán)是一種范數(shù)矩陣（）

（4）只要det/wo,則A總可分解為A=LU,其中L為單位下

三角陣，U為非奇上三角陣（）

（5）鹿detnwo,則總可用列主元消去法求得方程組的

解（）

（6）若A對(duì)稱正定，則A可分解為總=￡*其中L為對(duì)角元

素為正的下三角陣（）

(7)對(duì)任何熊心“都有ML之Ml22Mli()

(8)若A為正交矩陣，貝?、?=1()

答案：(1)(4)(2)(T(3)(4)(4)一)

(5)(書(6)(-R(7)(T(8)仆)

第六章解線性方程組的迭代法

習(xí)題六

1.證明對(duì)于任意的矩陣A,序列L收斂于

零矩陣

解：由于M歸時(shí)而同=°

lim1/_0

故小方

2.方程組

’5々+2X2+x3=-12

<一/+4X2+2X3=20

-3X2+10X3=3

(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程組的收斂性.

(2)寫出用J法及GS法解此方程組的迭代公式并以

“⑼=Q0,。)7■計(jì)算到產(chǎn)+"一<I。"為止

'521'

A=-142

解：因?yàn)長(zhǎng)-310.

具有嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故J法與GS法均收斂。

(2)J法得迭代公式是

X嚴(yán)=_；（12+2斕）+耳對(duì)）

鏟）」（20+染-2歲）

鏟）=#―2$+3制對(duì)），上=0,1,…

取"=。0妒,迭代到18次有

”8）=（-3.999996,2.999974,1.99999尸

||x（17）-x（18）|L<0,4145x10^

GS迭代法計(jì)算公式為

X產(chǎn)=-,12+2斕）+其對(duì)）

工產(chǎn)）=1（20+鏟1）-2鏟）

x產(chǎn)）=奈（3一2x產(chǎn)）+3鏟））需=0,1,-

取7°）=（-4,000036,2,999985,2,000003）r

||x（7）-x（8）|L<0,9156xlO-4

3.設(shè)方程組

41勺+如盯=瓦,ye、

,（旬1，。22K0）

421五1+々22二2=如

證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同

時(shí)收斂或發(fā)散

<々11

康）」電-

解：Jacobi迭代為〔&2

其迭代矩陣

a

012

a

B=n

_.21o。⑶=

」，譜半徑為

,而Gauss-Seide

迭代法為

染=-L氏-呼尸)

an

xrW_1(h-n力對(duì)、

2—S?21不)

的2

其迭代矩陣

0以120

G=?11

0412%

洵如」，其譜半徑為,°1322

由于。2（3）=°（5，故Jacobi迭代法與Gauss-Seidel法同

時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。

4.下列兩個(gè)方程組Ax=b,若分別用J法及GS法求解,

是否收斂？

,12-2

A=111

221

解：Jacobi法的迭代矩陣是

02-222-2

B=D-1(Z+Z7)=-101,det(〃-B)=121=0

220222

即det⑷-8)=%=0,故Q⑶=0,J法收斂、

GS法的迭代矩陣為

-1

-100--0-22-0-22

G=(3-￡)-】U=11000-1=02-3

221__000__002

2-2

det(Af—@=02-23=—2)2=O,Aj=。，兀2=々=2

002-2

故9)=2>1,解此方程組的GS法不收斂。

110a0

A=b10b

5.設(shè)°。,detAWO,用a,b表示解方程組Ax=f

的J法及GS法收斂的充分必要條件.

解J法迭代矩陣為

aa

0工0

0-ioio

bbbb

B=0一B)=2

"10"ToToTo="才-篝=。

aa

000A

-55

/nx1I,1100

X5)=-<i,故J法收斂的充要條件是網(wǎng)<T。GS法迭

代矩陣為

1

00

-1io

'100o'0-a0[0-a0

b1

G=b10000-b—000-b

10010

0a5000_000

—ab—a1

500505

由八⑦=需<1得GS法收斂得充要條件是他<T

6.用SOR方法解方程組(分別取(o=1.03,<0=1,(o=l.1)

’4彳］-x2=1

<一彳1+4X2一句=4

-^2+4藥=-3

?_11T

精確解、飛'」5),要求當(dāng)忖-X,卜5X10^時(shí)迭代終止，并

對(duì)每一個(gè)3值確定迭代次數(shù)

解：用S0R方法解此方程組的迭代公式為

X產(chǎn)1)=(1_助或)+￡(1+■))

?鏟)=(1-O)￥+?4+X嚴(yán))+姍))

鏟)=(1-附承+/(-3+鏟))需=0,1,…

取M=(0,0,0)"當(dāng)⑶=1.03時(shí)，迭代5次達(dá)到要求

工⑸=(0.5000043,1.0000002-0.4999995)r

若取。=口,迭代6次得

/)=(0.5000035,0.9999989,-0.5000003/

7.對(duì)上題求出SOR迭代法的最優(yōu)松弛因子及漸近收斂速

度，并求J法與GS法的漸近收斂速度.若要使

曠一出L"5X10-那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?

解：J法的迭代矩陣為

12

0020

T4

21_22

B=0,det(2Z-5)=2=^——2=0

44448

11

0002

4~4

4=0人,3=±；%故"⑶=：凡因A為對(duì)稱正定三對(duì)角陣,

最優(yōu)松弛因子

22,

5=----廠.=----7==1.033.

1+1一［。⑸2鵬

J法收斂速度

R(B)=-Inp(B)=-ln1^=1.03972

由于。9)='⑻4,故

R(Gj=-Inp(GJ=3.4001

若要求卜"=卜、”'L"'I。叩叱=5x10;于是迭代次數(shù)

R(B)R(B)

i-In￡_15.425

對(duì)于J法福玩，取K=15

-lns_1M25

對(duì)于GS法''R(6-2.07944d',取K=8

上田土一事之454

對(duì)于SOR法&(邑)3.4001-一，取K=5

8.填空題

'a10'

A=1

0-

⑴2]要使:1=0應(yīng)滿足（）.

12…X]瓦

(2)已知方程組1°32JU&],則解此方程組的

Jacobi迭代法是否收斂().它的漸近收斂速度R(B)=().

[2-1,

(3)設(shè)方程組Ax=b,其中詞其J法的迭代矩

陣是().GS法的迭代矩陣是().

%+ax2=4

(4)用GS法解方程組上眄+4=與，其中a為實(shí)數(shù)，

方法收斂的充要條件是a滿足O.

1卜]平

(5)給定方程組I。"圖同,a為實(shí)數(shù).當(dāng)a滿足

(),且0V3V2時(shí)S0R迭代法收斂.

答:

⑴團(tuán)＜1

(2)J法是收斂的，R，)=(-必。⑻=-In0.8=0.223)

0-0-

B=2G=2

21

(3)J法迭代矩陣是L-3°J,GS法迭代矩陣〔°-3_

(4)。滿足?

⑸礴足

第七章非線性方程求根

習(xí)題七

1.用二分法求方格2”7=0的正根，使誤差小于0.05

解使用二分法先要確定有根區(qū)間M切。本題

f(x)=x2-x-l=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故區(qū)間［1,2］為有根

區(qū)間。另一根在內(nèi)，故正根在［1,2］內(nèi)。用二分法

計(jì)算各次迭代值如表。

N即%治F(球)符號(hào)

0121.5-

11.521.75+

21.51.751.625+

31.51.6251.5625-

41.56251.6251.59375-

T、，-I-A—X<—=—<0.05

々=1.59375其誤差I(lǐng)12532

2.求方程/一-7=。在而=1.5附近的一個(gè)根，將方程改

寫成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)迭代公式.

(1)"=1+7,迭代公式總.

(2)一=1+月迭代公式》=(1+蝗心.

11

(3)1?~,迭代公式”「反

試分析每種迭代公式的收斂性,并選取一種收斂最快的方

法求具有4位有效數(shù)字的近似根

12

解：(1)取區(qū)間口3同武力=1+了次41.3,1§且伊，田=一/,

在［1.3,1對(duì)且伊㈤=一手,在［1.3,1月中0488引0(初《0.911,則在1,

滿足收斂定理?xiàng)l件，故迭代收斂。

(2)0(?=班+7,在[1,3,1,6]中(P(x)e[1.3,1.6],且

wQ)=9(1+/)3,在[[3,]向中有同(小0.46=￡<1,故迭代收斂。

⑶矽6目'研"二一5(1：在X-1.5附近WM>i,故

迭代法發(fā)散。

在迭代(1)及(2)中，因?yàn)?2)的迭代因子L較小，

故它比(1)收斂快。用(2)迭代，取而=