圓柱、圓錐常用的表面積、體積公式

立體圖形表面積體積

S網柱=側面積+2個底面積=2nrh+2nr2%柱=兀,〃

S圓錐=側面積+底面積=兀/2+nr2%錐體=§兀廠力

A注：/是母線，即從頂點到底面圓上的線段長

圓錐

板塊一圓柱與圓錐

【例1】如圖，用高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的3個圓柱組成一個物體.問這個物體

的表面積是多少平方米？（冗取3.14）

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】從上面看到圖形是右上圖,所以上下底面積和為2x3.14xl.52=14.13（立方米），側面積為

2x3.14<（0.-6411.^）=11（立方米），所以該物體的表面積是14.13+18.84=32.97（立方米）.

【答案】32.97

【例2】有一個圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的

直徑是4厘米，孔深5厘米（見右圖）.如果將這個零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂

多少平方厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】涂漆的面積等于大圓柱表面積與小圓柱側面積之和，為

6兀xl0+7ix（5）2x2+4兀X5=60TT+18兀+20兀=98兀=307.72（平方厘米）.

【答案】307.72

【例3】（希望杯2試試題）圓柱體的側面展開,放平，是邊長分別為10厘米和12厘米的長方形，那么這

個圓柱體的體積是________立方厘米.（結果用71表示）

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

1O

【解析】當圓柱的高是12厘米時體積為兀x（Txl2=—（立方厘米）

27T7C

12

當圓柱的鬲是12厘米時體積為7TX啜xl0=—（立方厘米）.所以圓柱體的體積為三朋立方厘米

7171

或圖立方厘米.

71

【答案】22立方厘米或二？立方厘米

717t

【例4】如右圖，是一個長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個油桶（接頭處忽略不計），求

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】圓的直徑為：16.56+（1+3.14）=4（米），而油桶的高為2個直徑長，即為：4x2=8（m）,故體積為100.48

立方米.

【答案】100.48立方米

【鞏固】如圖，有一張長方形鐵皮，剪下圖中兩個圓及一塊長方形，正好可以做成1個圓柱體，這個圓柱體

的底面半徑為10厘米，那么原來長方形鐵皮的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

【解析】做成的圓柱體的側面是由中間的長方形卷成的，可見這個長方形的長與旁邊的圓的周長相等，則剪

下的長方形的長，即圓柱體底面圓的周長為：2x71x10=62.8（厘米），

原來的長方形的面積為：aoX4+62.8）X（10x2）=2056（平方厘米）.

【答案】2056

【例5】把一個高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體

表面積減少12.56平方厘米.原來的圓柱體的體積是多少立方厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體表面積減少的部分為減掉的2厘

米圓柱體的側面積，所以原來圓柱體的底面周長為12.56+2=6.28厘米，底面半徑為6.28+3.14+2=1

厘米，所以原來的圓柱體的體積是兀X12X8=8TT=25.12（立方厘米）.

【答案】25.12

【鞏固】一個圓柱體底面周長和高相等.如果高縮短4厘米，表面積就減少50.24平方厘米.求這個圓柱體的

表面積是多少？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】圓柱體底面周長和高相等，說明圓柱體側面展開是一個正方形.高縮短4厘米，表面積就減少50.24

平方厘米.陰影部分的面積為圓柱體表面積減少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周長是

50.24+4=12.56（厘米），側面積是：12.56x12.56=157.7536（平方厘米），兩個底面積是：

3.14*（12.56+3.14+2），2=25.12（平方厘米）.所以表面積為：157.7536+25.12=182.8736（平方厘

米）.

【答案】182.8736

【例6】（兩岸四地”華羅庚金杯”少年數(shù)學精英邀請賽）一個圓柱體形狀的木棒，沿著底面直徑豎直切成

兩部分.已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的表面積大2008cm2,則這個圓柱體木棒的側面積是

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，切開后表面積增加的就是兩個長方形縱切面.

設圓柱體底面半徑為r,高為人，那么切成的兩部分比原來的圓柱題表面積大:

2x2rx/?=2008（cm2）,所以rx〃=SOZQm。），所以，圓柱體側面積為：

2XTTXrx/j=2x3.14x502=3152.56（cm2）.

【答案】3152.56

【鞏固】已知圓柱體的高是10厘米，由底面圓心垂直切開，把圓柱分成相等的兩半，表面積增加了40平方厘

米，求圓柱體的體積.（兀=3）

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】圓柱切開后表面積增加的是兩個長方形的縱切面，長方形的長等于圓柱體的高為10厘米，寬為圓柱

底面的直徑，設為2r,則2rxl0x2=40,r=l（厘米）.圓柱體積為：兀xf乂10=30（立方厘米）.

【答案】30

【例7】一個圓柱體的體積是50.24立方厘米，底面半徑是2厘米.將它的底面平均分成若干個扇形后，再

截開拼成一個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘米？（71=3.14）

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】從圖中可以看出，拼成的長方體的底面積與原來圓柱體的底面積相同，長方體的前后兩個側面面積

與原來圓柱體的側面面積相等，所以增加的表面積就是長方體左右兩個側面的面積.

（法1）這兩個側面都是長方形，且長等于原來圓柱體的高，寬等于圓柱體底面半徑.

可知，圓柱體的高為50.24;（3.14x22）=4（厘米），所以增加的表面積為2x4x2=16（平方厘米）；

（法2）根據(jù)長方體的體積公式推導.增加的兩個面是長方體的側面，側面面積與長方體的長的乘積就

是長方體的體積.由于長方體的體積與圓柱體的體積相等，為50.24立方厘米，而拼成的長方體的長

等于圓柱體底面周長的一半，為3.14x2=6.28厘米，所以側面長方形的面積為50.24+6.28=8平方

厘米，所以增加的表面積為8*2=16平方厘米.

【答案】16

［例8］右圖是一個零件的直觀圖.下部是一個棱長為40cm的正方體，上部是圓柱體的一半.求這個零件

的表面積和體積.

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】這是一個半圓柱體與長方體的組合圖形，通過分割平移法可求得表面積和體積分別為：11768平方

厘米，89120立方厘米.

【答案】89120

【例9】輸液100毫升，每分鐘輸2.5毫升.如圖，請你觀察第12分鐘時圖中的數(shù)據(jù)，問：整個吊瓶的容

積是多少毫升？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】100毫升的吊瓶在正放時，液體在100毫升線下方，上方是空的，容積是多少不好算.但倒過來后，

變成圓柱體，根據(jù)標示的格子就可以算出來.

由于每分鐘輸2.5毫升，12分鐘已輸液2.5x12=30（毫升），因此開始輸液時液面應與50毫升的格線

平齊，上面空的部分是50毫升的容積.所以整個吊瓶的容積是100+50=150（毫升）.

【答案】150

【例10］（“希望杯”五年級第2試）一個擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如圖），由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶

子的容積是..立方厘米.（兀取3.14）

厘米）

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】由于瓶子倒立過來后其中水的體積不變，所以空氣部分的體積也不變，從圖中可以看出，瓶中的水

構成高為6厘米的圓柱，空氣部分構成高為10-8=2厘米的圓柱，瓶子的容積為這兩部分之和，所

以瓶子的容積為：兀*（$2x（6+2）=3.14*32=100.48（立方厘米）.

【答案】100.48

【鞏固】一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖.已知它的容積為26.4兀立方厘米.當瓶子正

放時，瓶內的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為2厘米.問：瓶內酒精的體積

是多少立方厘米？合多少升？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】由題意，液體的體積是不變的，瓶內空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是空余部分體

積的6+2=3倍.所以酒精的體積為26.4TCX/一=62.172立方厘米，而62.172立方厘米=62.172毫

3+1

升=0.062172升.

【答案】0.062172

【鞏固】一個酒瓶里面深30cm,底面內直徑是10cm,瓶里酒深15cm.把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時

酒深25cm.酒瓶的容積是多少？（兀取3）

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】觀察前后，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變.

當酒瓶倒過來時酒深25cm,因為酒瓶深30cm,這樣所?？臻g為高5cm的圓柱，再加上原來15cm高

的酒即為酒瓶的容積.

酒的體積：15兀xWx竺=375兀

22

瓶中剩余空間的體積(30-25)"3'3=125兀

22

酒瓶容積：375兀+125兀=500n=1500(ml)

【答案】1500

【鞏固】一個蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為10平方厘米，(如下圖所示)，請你根據(jù)圖中標明

的數(shù)據(jù)，計算瓶子的容積是____.

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】由已知條件知，第二個圖上部空白部分的高為7-5=2cm,從而水與空著的部分的比為4:2=2:1,

由圖1知水的體積為10x4,所以總的容積為40+2x(2+l)=60立方厘米.

【答案】60

【鞏固】一個透明的封閉盛水容器，由一個圓柱體和一個圓錐體組成，圓柱體的底面直徑和高都是12厘米.其

內有一些水，正放時水面離容器頂11厘米，倒放時水面離頂部5厘米，那么這個容器的容積是多少

立方厘米？(n=3)

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】設圓錐的高為x厘米.由于兩次放置瓶中空氣部分的體積不變，有：

5x7tx62=(ll-x)x7tx62+-^x7tx62xx,解得x=9,

所以容器的容積為：V=7tx62xl2+-x7ix62x9=5407t=1620(立方厘米).

3

【答案】1620

【例11](希望杯2試試題)如圖，底面積為50平方厘米的圓柱形容器中裝有水，水面上漂浮著一塊棱長為

5厘米的正方體木塊，木塊浮出水面的高度是2厘米.若將木塊從容器中取出，水面將下降

厘米.

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】在水中的木塊體積為5x5x3=75(立方厘米)，拿出后水面下降的高度為75+50=1.5(厘米)

【答案】1.5

【例12】有兩個棱長為8厘米的正方體盒子，A盒中放入直徑為8厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊一個，B

盒中放入直徑為4厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊4個，現(xiàn)在A盒注滿水，把A盒的水倒入8盒,

使3盒也注滿水，問A盒余下的水是多少立方厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】將圓柱體分別放入A盒、8盒后，兩個盒子的底面被圓柱體占據(jù)的部分面積相等，所以兩個盒子的

底面剩余部分面積也相等，那么兩個盒子的剩余空間的體積是相等的，也就是說A盒中裝的水恰好

可以注滿3盒而無剩余，所以A盒余下的水是0立方厘米.

【答案】A盒余下的水是0立方厘米

【例13】蘭州來的馬師傅擅長做拉面，拉出的面條很細很細，他每次做拉面的步驟是這樣的：將一個面團

先搓成圓柱形面棍，長1.6米.然后對折，拉長到1.6米；再對折，拉長到1.6米……照此繼續(xù)進行

下去，最后拉出的面條粗細（直徑）僅有原先面棍的,.問：最后馬師傅拉出的這些細面條的總長

64

有多少米？（假設馬師傅拉面的過程中.面條始終保持為粗細均勻的圓柱形，而且沒有任何浪費）

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】最后拉出的面條直徑是原先面棍的」-,則截面積是原先面棍的」■v,細面條的總長為：

64642

1.6x642=6553.6（米）.注意運用比例思想.

【答案】6553.6

[例14]一個圓柱形容器內放有一個長方形鐵塊.現(xiàn)打開水龍頭往容器中灌水.3分鐘時水面恰好沒過長方

體的頂面.再過18分鐘水灌滿容器.已知容器的高為50厘米，長方體的高為20厘米，求長方體

底面面積與容器底面面積之比.

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】因為18分鐘水面升高：50—20=30（厘米）.所以圓柱中沒有鐵塊的情形下水面升高20厘米需要

20

的時間是：18x—=12（分鐘），實際上只用了3分鐘，說明容器底面沒被長方體底面蓋住的部分

30

只占容器底面積的3:12=」，所以長方體底面面積與容器底面面積之比為3:4.

4

【答案】3:4

【例15】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米.現(xiàn)將一個底面積

是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后.現(xiàn)在水深多少厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)等積變化原理：用水的體積除以水的底面積就是水的高度.

（法1）:80*8+（80-16）=640+64=10（厘米）；

（法2）:設水面上升了x厘米.根據(jù)上升部分的體積=浸入水中鐵塊的體積列方程為：80x=16（8+x）,

解得：x=2,8+2=10（厘米）.

（提問”圓柱高是15厘米“，和”高為12厘米的長方體鐵塊”這兩個條件給的是否多余？）

【答案】10

【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米.現(xiàn)將一個底面積

是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后.現(xiàn)在水深多少厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】80x10+（80-16）=12.5,因為12.5>12,所以此時水已淹沒過鐵塊，80x10-（80-16）x12=32,

32+80=0.4,所以現(xiàn)在水深為12+0.4=12.4厘米

【答案】12.4

【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米.現(xiàn)將一個底面積

是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后.現(xiàn)在水深多少厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】玻璃杯剩余部分的體積為80x（15-13）=160立方厘米，鐵塊體積為16x12=192立方厘米，因為

160<192,所以水會溢出玻璃杯，所以現(xiàn)在水深就為玻璃杯的高度15厘米

【總結】鐵塊放入玻埔杯會出現(xiàn)三種情況：①放入鐵塊后，水深不及鐵塊高；②放入鐵塊后，水深比鐵塊高

但未溢出玻璃杯；③水有溢出玻璃杯.

【說明】教師可以在此穿插一個關于阿基米德測量黃金頭冠的體積的故事.

一天國王讓工匠做了一頂黃金的頭冠，不知道工匠有沒有摻假，必須知道黃金頭兔的體積是多少，

可是又沒有辦法來測量.（如果知道體積，就可以稱一下純黃金相應體積的重量，再稱一下黃金頭冠

的重量，就能知道是否摻假的結果了）于是，國王就把測量頭冠體積的任務交給他的大臣阿基米

德.（小朋友們，你們能幫阿基米德解決難題嗎？）

阿基米德苦思冥想不得其解，就連晚上沐浴時還在思考這個問題.

當他坐進水桶里，看到水在往外滿溢時，突然靈感迸發(fā)，大叫一聲：”我找到方法了……”，就急忙

跑出去告訴別人，大家看到了一個還光著身子的阿基米德.

他的方法是：把水桶裝滿水，當把黃金頭冠放進水桶，浸沒在水中時，所收集的溢出來的水的體積

正是頭冠的體積.

【答案】15

【例16】一個圓柱形玻璃杯內盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯內側的底面積是72平方厘米.在這個杯中放

進棱長6厘米的正方體鐵塊后，水面沒有淹沒鐵塊.這時水面高多少厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】把放入鐵塊后的玻璃杯看作一個底面如右圖的新容器，底面積是72—6X6=36（平方厘米）.

水的體積是72x2.5=180（立方厘米）.

后來水面的高為180+36=5（厘米）.

【答案】5

【例17】一個盛有水的圓柱形容器，底面內半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米.今將一個底面半徑為

2厘米，高為17厘米的鐵圓柱垂直放入容器中.求這時容器的水深是多少厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】若圓柱體能完全浸入水中，則水深與容器底面面積的乘積應等于原有水的體積與圓柱體在水中體積

之和，因而水深為：U舞"①=17.72（厘米）.

它比圓柱體的高度要大，可見圓柱體可以完全浸入水中.

于是所求的水深便是17.72厘米.

【答案】17.72

【例18］有甲、乙兩只圓柱形玻璃杯，其內直徑依次是10厘米、20厘米，杯中盛有適量的水.甲杯中沉沒

著一鐵塊，當取出此鐵塊后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后將鐵塊沉沒于乙杯，且乙杯中的水

未外溢.問：這時乙杯中的水位上升了多少厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】兩個圓柱直徑的比是1:2,所以底面面積的比是1:4.鐵塊在兩個杯中排開的水的體積相同，所以乙

杯中水升高的高度應當是甲杯中下降的高度的工，即2x」=0.5（厘米）.

44

【答案】0.5

【鞏固】有一只底面半徑是20厘米的圓柱形水桶，里面有一段半徑是5厘米的圓柱體鋼材浸在水中.鋼材從

水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米.這段鋼材有多長？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)題意可知，圓柱形鋼材的體積等于桶里下降部分水的體積，因為鋼材底面半徑是水桶底面半徑

的9,即鋼材底面積就是水桶底面積的根據(jù)體積一定，圓柱體的底面積與高成反比例可

20416

知，鋼材的長是水面下降高度的16倍.

6+（2）2=96（厘米），（法2）:3.14X202X64-（3.14X5?）=96（厘米）.

20

【答案】96

【例19】一個盛有水的圓柱形容器底面內半徑為5厘米，深20厘米，水深15厘米.今將一個底面半徑為2

厘米，高為18厘米的鐵圓柱垂直放人容器中.求這時容器的水深是多少厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】若鐵圓柱體能完全浸入水中，則水深與容積底面積的乘積應等于原有水的體積與圓柱體在水中體積

、,小52X4X15+22X7TX18-

之和，因而水沫為：--------z-----------------=17.7s2（厘米）；

它比鐵圓柱體的高度要小，那么鐵圓柱體沒有完全浸入水中.此時容器與鐵圓柱組成一個類似于下

圖的立體圖形.底面積為5?乃一2?4=21%,水的體積保持不變?yōu)??乃乂15=315%.所以有水深為

莖王=179（厘米），小于容器的高度20厘米，顯然水沒有溢出于是17g厘米即為所求的水深.

21萬77

【答案】17-

7

【例20］如圖11-7,有一個圓柱和一個圓錐，它們的高和底面直徑都標在圖上，單位是厘米.那么，圓錐

體積與圓柱體積的比是多少？

【關鍵詞】華杯賽，初賽，3題

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】圓錐的體積是，x22x4x7=3肛，圓柱的體積是4?x8x%=128萬.所以，圓錐體積與圓柱體積

33

的比是3乃：128%=1:24.

3

【答案】1:24

【例21】一個圓錐形容器高24厘米，其中裝滿水，如果把這些水倒入和圓錐底面直徑相等的圓柱形容器中,

水面高多少厘米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】設圓錐■形容器底面積為S,圓柱體內水面的高為〃，根據(jù)題意有：-xSx24=Sh,可得〃=8厘米.

3

【答案】8

【例22］（“希望杯"一試六年級）如圖，圓錐形容器中裝有水50升，水面高度是圓錐高度的一半，這個容

器最多能裝水升.

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】圓錐容器的底面積是現(xiàn)在裝水時底面積的4倍，圓錐容器的高是現(xiàn)在裝水時圓錐高的2倍，所以容

器容積是水的體積的8倍，即50x8=400升.

【答案】400

【例23】如圖，甲、乙兩容器相同，甲容器中水的高度是錐高叫，乙容器中水的高度是錐高的|,比較

甲、乙兩容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的幾倍？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

71

【解析】設圓錐容器的底面半徑為廣，高為/2,則甲、乙容器中水面半徑均為女人則有七、.器=-兀/〃，

3仔耕3

“1/2、22/82/〃12,1,2、22,19

V=-7t（一廠）x—h=—Ttrh,Virjvk=-itrh——n（—r）x-h=一九廣2,〃，

乙7水/k33381,水333381

-%

必=孚——=—,即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的電倍.

%j88

81

io

【答案】上倍

8

【例24】張大爺去年用長2米、寬1米的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形糧囤.今年改用長3米寬2米

的長方形葦席圍成容積最大的圓柱形的糧囤.問：今年糧囤的容積是去年糧囤容積的多少倍？

【關鍵詞】華杯賽，決賽，口試，23題

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

333232

【解析】底面周長是3,半徑是一，萬x(—)2=——所以今年糧囤底面積是一，高是2.同理，去年糧囤

2萬2萬4萬47

223222

底面積是一，高是1.(—x2)+(—xl)=4.5.因此，今年糧囤容積是去年糧囤容積的4.5倍.

4乃4萬47

【答案】4.5

【例25](仁華考題)如圖，有一卷緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為20厘米，中間有一直徑為8厘

米的卷軸，已知薄膜的厚度為0.04厘米，則薄膜展開后的面積是平方米.

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】纏繞在一起時塑料薄膜的體積為：兀'(TJ一兀x1|]x100=8400兀(立方厘米)，薄膜展開后為一

個長方體，體積保持不變，而厚度為0.04厘米，所以薄膜展開后的面積為

840(次+O.(M=659400平方厘米=65.94平方米.

另解：也可以先求出展開后薄膜的長度，再求其面積.

由于展開前后薄膜的側面的面積不變，展開前為兀x(T)-nxW=84兀(平方厘米)，展開后為一

個長方形，寬為0.0,厘米，所以長為84兀+0.04=6594厘米，所以展開后薄膜的面積為

659410O659平方厘米=65.94平方米.

【答案】65.94

【鞏固】圖為一卷緊繞成的牛皮紙,紙卷直徑為20厘米，中間有一直徑為6厘米的卷軸.已知紙的厚度為0.4

毫米，問：這卷紙展開后大約有多長？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】將這卷紙展開后，它的側面可以近似的看成一個長方形，它的長度就等于面積除以寬.這里的寬就

是紙的厚度，而面積就是一個圓環(huán)的面積.

因此，紙的長度：

紙卷側面積-3.14>1。2—3.14x32_3.14x(100—9)

紙的厚度。0X)4—004=7143.5(厘米)

所以，這卷紙展開后大約71.4米.

【答案】71.4

【鞏固】如圖，厚度為0.25毫米的銅版紙被卷成一個空心圓柱（紙卷得很緊，沒有空隙），它的外直徑是180

厘米，內直徑是50厘米.這卷銅版紙的總長是多少米？

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】卷在一起時銅版紙的橫截面的面積為兀x（岑）-兀*（三）=7475兀（平方厘米），如果將其展開，展

開后橫截面的面積不變，形狀為一個長方形，寬為0.25毫米（即0.025厘米），所以長為

74757r+0.025=938860厘米=9388.6米.所以這卷銅版紙的總長是9388.6米.

本題也可設空心圓柱的高為力，根據(jù)展開前后銅版紙的總體積不變進行求解，其中〃在計算過程將會

消掉.

【答案】9388.6米

【例26］（人大附中分班考試題目）如圖，在一個正方體的兩對側面的中心各打通一個長方體的洞，在上下

底面的中心打通一個圓柱形的洞.已知正方體邊長為10厘米，側面上的洞口是邊長為4厘米的正

方形，上下底面的洞口是直徑為4厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積.

【考點】圓柱與圓錐【難度】3星【題型】解答

【解析】⑴先求表面積.表面積可分為外側表面積和內側表面積.

外側為6個邊長10厘米的正方形挖去4個邊長4厘米的正方形及2個直徑4厘米的圓，所以，外側

表面不只為：10xl0x6-4x4x4-7tx22x2=536-8?t（平方厘米）；

內側表面積則為右上圖所示的立體圖形的表面積，需要注意的是這個圖形的上下兩個圓形底面和前

后左右4個正方形面不能計算在內，所以內側表面積為：

4x3xl6+2x（4x4-jrx22）+2jrx2x3x2=l92+32-8兀+24兀=224+16兀（平方厘米）,

所以，總表面積為：224+1例+536-8兀=760+8兀=785.12（平方厘米）.

⑵再求體積.計算體積時將挖空部分的立體圖形取出，如右上圖，只要求出這個幾何體的體積，用

原立方體的體積減去這個體積即可.

交出的幾何體體積為:4x4x3x4+4x4x4+71x22x3x2=192+64+24兀=256+24兀（立方厘米）：

所求幾何體體積為：10x10x10-（256+24兀）=668.64（立方厘米）.

【答案】668.64

板塊二旋轉問題

【例27］如圖，ABC是直角三角形，AB、AC的長分別是3和4.將AABC繞AC旋轉一周，求AABC掃

出的立體圖形的體積.（花=3.14）

c

【考點】旋轉問題【難度】3星【題型】解答

【解析】如右上圖所示，AABC掃出的立體圖形是一個圓錐，這個圓錐的底面半徑為3,高為4,

體積為：一x兀x3?x4=12兀=37.68.

3

【答案】37.68

【例28】已知直角三角形的三條邊長分別為3cm,4cm,5cm,分別以這三邊軸，旋轉一周，所形成的立

體圖形中，體積最小的是多少立方厘米？(兀取3.14)

【考點】旋轉問題【難度】3星【題型】解答

［解析］以3cm的邊為軸旋轉一周所得到的是底面半徑是4cm,高是3cm的圓錐體，體積為

1&

-x3.14x4*9x3=50.24(cm)

以4cm的邊為軸旋轉一周所得到的是底面半徑是3cm,高是4cm的圓錐體，體積為

1X3.14X32X4=37.68(cm3)

以5cm的邊為軸旋轉一周所得到的是底面半徑是斜邊上的高3x4+5=24cm的兩個圓錐，高之和是

5cm的兩個圓的組合體，體積為gx3.14x2.4?x5=30.144(cm3)

【答案】30.144

【鞏固】如圖，直角三角形如果以3c邊為軸旋轉一周，那么所形成的圓錐的體積為1血，以AC邊為軸旋轉

一周，那么所形成的圓錐的體積為12兀，那么如果以4?為軸旋轉一周，那么所形成的幾何體的體積

是多少？

【考點】旋轉問題【難度】3星【題型】解答

【解析】設8c=a,AC=b,那么以BC邊為軸旋轉一周，所形成的圓錐的體積為攻，以AC邊為軸旋轉

3

一周，那么所形成的圓錐的體積為《如，由此可得到兩條等式：

3

一”=48,兩條等式相除得到2=3,將這條比例式再代入原來的方程中就能得到("=3,根據(jù)勾

股定理，直角三角形的斜邊Afi的長度為5,那么斜邊上的高為2.4.

如果以AB為軸旋轉一周，那么所形成的幾何體相當于兩個底面相等的圓錐疊在一起，底面半徑為

9427rx5

2.4,高的和為5,所以體積是乙今兀'=9.6兀.

3

【答案】9.6n

【例29］如圖，A8CD是矩形，BC=6cm,A8=10cm,對角線AC、8。相交O.E、E分別是4）與BC

的中點，圖中的陰影部分以EF為軸旋轉一周，則白色部分掃出的立體圖形的體積是多少立方厘

米？（兀取3）

【考點】旋轉問題【難度】3星【題型】解答

【解析】掃出的圖形如右上圖所示，白色部分實際上是一個圓柱減去兩個圓錐后所形成的圖形.

兩個圓錐的體積之和為2*1x71*32x5=30兀=90（立方厘米）；

3

圓柱的體積為7rx32xl0=270（立方厘米），

所以白色部分掃出的體積為270-90=180（立方厘米）.

【答案】180

【鞏固】（華杯賽決賽試題）如圖，是矩形，8c=6cm,AB-10cm,對角線AC、9相交O.圖中

的陰影部分以8為軸旋轉一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘米？

【考點】旋轉問題【難度】3星【題型】解答

【解析】設三角形3co以CD為軸旋轉一周所得到的立體圖形的體積是V,則丫等于高為10厘米，底面半徑

是6厘米的圓錐，減去2個高為5厘米，底面半徑是3厘米的圓錐的體積后得到.

所以,V,=-x7tx62xlO-2x-x7ix32x5=90兀（立方厘米）,

33

那么陰影部分掃出的立體的體積是2V=180n=540（立方厘米）.

【答案】540

【例30］（希望杯六年級一試第15題，5分）如圖，從正方形ABCD上截去長方形DEFG,其中AB=1

厘米，DE=1厘米，DG=1厘米。將ABCGFE以GC邊為軸旋轉一周，所得幾何體的表面

23

積是平方厘米，體積是立方厘米。（結果用n表示）

【考點】旋轉問題【難度】3星【題型】解答

【解析】經過旋轉之后我們可以得到一個挖去一個半徑為」小圓柱體的柱體，其表面積為1X2Xn+2XnX

2

12+1xn=4-n,其體積為1義nXr-!xnX(1)2=—n?

333212

圓柱與圓錐

圓柱、圓錐常用的表面積、體積公式

立體圖形表面積體積

S網柱=側面積+2個底面積=2nrh+2兀/%柱=兀廠〃

/\S圓惟=側面積+底面積=就兀尸+nr2%稚體二§兀心

圓錐注：/是母線，即從頂點到底面圓上的線段長

板塊一圓柱與圓錐

【例31］如圖，用高都是1米，底面半徑分別為L5米、1米和0.5米的3個圓柱組成一個物體.問這個物體

的表面積是多少平方米？（71取3.14）

【例32】有一個圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的

直徑是4厘米，孔深5厘米（見右圖）.如果將這個零件接觸空氣的部分涂上防銹漆，那么一共要涂

多少平方厘米？

【例33］（希望杯2試試題）圓柱體的側面展開，放平，是邊長分別為10厘米和12厘米的長方形，那么這

個圓柱體的體積是..立方厘米.（結果用兀表示）

【例34】如右圖，是一個長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個油桶（接頭處忽略不計），求

這個油桶的容積.（兀=3.14）

【鞏固】如圖，有一張長方形鐵皮，剪下圖中兩個圓及一塊長方形，正好可以做成I個圓柱體，這個圓柱體

的底面半徑為10厘米，那么原來長方形鐵皮的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

【例35】把一個高是8厘米的圓柱體，沿水平方向鋸去2厘米后，剩下的圓柱體的表面積比原來的圓柱體

表面積減少12.56平方厘米.原來的圓柱體的體積是多少立方厘米？

【鞏固】一個圓柱體底面周長和高相等.如果高縮短4厘米，表面積就減少50.24平方厘米.求這個圓柱體的

表面積是多少？

【例36】一個圓柱體形狀的木棒，沿著底面直徑豎直切成兩部分.已知這兩部分的表面積之和比圓柱體的

表面積大2008cm2,則這個圓柱體木棒的側面積是cm2.（兀取3.14）

【鞏固】已知圓柱體的高是10厘米，由底面圓心垂直切開，把圓柱分成相等的兩半，表面積增加了40平方厘

米，求圓柱體的體積.（兀=3）

【例37】一個圓柱體的體積是50.24立方厘米，底面半徑是2厘米.將它的底面平均分成若干個扇形后，再

截開拼成一個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘米？（兀=3.14）

【例38】右圖是一個零件的直觀圖.下部是一個棱長為40cm的正方體，上部是圓柱體的一半.求這個零件

的表面積和體積.

【例39]輸液100毫升，每分鐘輸2.5毫升.如圖，請你觀察第12分鐘時圖中的數(shù)據(jù)，問:整個吊瓶的容

積是多少毫升？

【例40]一個擰緊瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如圖），由圖中的數(shù)據(jù)可推知瓶子的容積是.立方厘

米.（兀取3.14）

（單位：厘米）

【鞏固】一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如圖.已知它的容積為26.4兀立方厘米.當瓶子正

放時，瓶內的酒精的液面高為6厘米；瓶子倒放時，空余部分的高為2厘米.問：瓶內酒精的體積

是多少立方厘米？合多少升？

【鞏固】一個酒瓶里面深30cm,底面內直徑是10cm,瓶里酒深15cm.把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時

酒深25cm.酒瓶的容積是多少？（兀取3）

【鞏固】一個蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水，瓶底面積為10平方厘米，（如下圖所示），請你根據(jù)圖中標明

的數(shù)據(jù)，計算瓶子的容積是____.

【鞏固】一個透明的封閉盛水容器，由一個圓柱體和一個圓錐體組成，圓柱體的底面直徑和高都是12厘米.其

內有一些水，正放時水面離容器頂11厘米，倒放時水面離頂部5厘米，那么這個容器的容積是多少

立方厘米？（兀=3）

【例41]（希望杯2試試題）如圖，底面積為50平方厘米的圓柱形容器中裝有水，水面上漂浮著一塊棱長為

5厘米的正方體木塊,木塊浮出水面的高度是2厘米.若將木塊從容器中取出，水面將下降

厘米.

【例42】有兩個棱長為8厘米的正方體盒子，A盒中放入直徑為8厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊一個，B

盒中放入直徑為4厘米、高為8厘米的圓柱體鐵塊4個，現(xiàn)在A盒注滿水，把4盒的水倒入8盒,

使3盒也注滿水，問A盒余下的水是多少立方厘米？

【例43】蘭州來的馬師傅擅長做拉面，拉出的面條很細很細，他每次做拉面的步驟是這樣的：將一個面團

先搓成圓柱形面棍，長1.6米.然后對折，拉長到1.6米；再對折，拉長到1.6米……照此繼續(xù)進行

下去，最后拉出的面條粗細（直徑）僅有原先面棍的’.問：最后馬師傅拉出的這些細面條的總長

64

有多少米？（假設馬師傅拉面的過程中.面條始終保持為粗細均勻的圓柱形，而且沒有任何浪費）

【例44]一個圓柱形容器內放有一個長方形鐵塊.現(xiàn)打開水龍頭往容器中灌水.3分鐘時水面恰好沒過長方

體的頂面.再過18分鐘水灌滿容器.已知容器的高為50厘米，長方體的高為20厘米，求長方體

底面面積與容器底面面積之比.

【例45】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米.現(xiàn)將一個底面積

是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后.現(xiàn)在水深多少厘米？

【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米.現(xiàn)將一個底面積

是