第五章測量誤差的基本知識(shí)本章要點(diǎn)1、測量誤差概念（重點(diǎn)）2、評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)（重點(diǎn)）3、誤差傳播定律（重點(diǎn)）4、等精度直接觀測平差（難點(diǎn)）在測量工作中,當(dāng)對(duì)某一未知量進(jìn)行多次觀測,不論測量儀器多么精密,觀測進(jìn)行的多么仔細(xì),所得的觀測值之間總是不盡相同。這種差異就是測量中存在誤差的緣故。§5-1測量誤差概述一、測量誤差及其來源誤差存在的現(xiàn)象:觀測值與理論值不符，如高差閉合差fh。測量誤差：觀測值與相應(yīng)真值之差。觀測值:測量所獲得的數(shù)值。真誤差(△)關(guān)系式：真誤差=觀測值L–真值X， 即=L–X或=X–L觀測誤差來源：來源于以下三個(gè)方面：1）觀測者的視覺器官的鑒別能力和技術(shù)水平；2）儀器；3）工具的精密程度；觀測時(shí)外界條件的好壞。l

、

觀測條件觀測條件：觀測者的技術(shù)水平、儀器的精度和外界條件的變化這三個(gè)方面綜合起來稱為觀測條件。2、觀測條件與觀測成果精度的關(guān)系：1）若觀測條件好，則測量誤差小，測量的精度就高；2）若觀測條件不好，則測量誤差大，精度就低；3）若觀測條件相同，則可認(rèn)為觀測精度相同。3、等精度觀測：在相同觀測條件下進(jìn)行的一系列觀測。不等精度觀測:在不同觀測條件下進(jìn)行的一系列觀測。4、研究誤差理論的目的：由于在測量的結(jié)果中有誤差是不可避免的，研究誤差理論不是為了去消滅誤差，而是要對(duì)誤差來源、性質(zhì)及其產(chǎn)生和傳播的規(guī)律進(jìn)行研究，以便解決測量工作中遇到的一些實(shí)際問題。5、研究誤差理論所解決的問題：（1）在一系列的觀測值中，確定觀測量的最可靠值；（2）如何來評(píng)定測量成果的精度，以及如何確定誤差的限度等；（3）根據(jù)精度要求，確定測量方案（選用測量儀器和確定測量方法）。5.1.2、測量誤差的分類測量誤差按其性質(zhì)可分為：系統(tǒng)誤差；偶然誤差。一、系統(tǒng)誤差1、系統(tǒng)誤差：在相同的觀測條件下，對(duì)某一未知量進(jìn)行一系列觀測，若誤差的大小和符號(hào)保持不變，或按照一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。2、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因：儀器工具上的某些缺陷；觀測者的某些習(xí)慣的影響；外界環(huán)境的影響。3、系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)：具有累積性，對(duì)測量結(jié)果影響較大，應(yīng)盡量設(shè)法消除或減弱它對(duì)測量成果的影響。例：水準(zhǔn)測量中LL//CC產(chǎn)生的i角誤差對(duì)尺讀數(shù)的影響：即D=a′–a=Stgi隨著S的增長而加大----系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差對(duì)觀測值的準(zhǔn)確度（偏離真值的程度）影響很大，必須消除。4、系統(tǒng)誤差消減方法1）在觀測方法和觀測程序上采取一定的措施;例：前后視距相等——水準(zhǔn)測量中i角誤差對(duì)h的影響、地球氣差對(duì)h的影響及調(diào)焦所產(chǎn)生的影響。盤左盤右取均值——經(jīng)緯儀的CC不垂直于HH；HH不垂直于VV；度盤偏心差、豎盤指標(biāo)差對(duì)測角的影響。水準(zhǔn)測量往返觀測取均值——儀器和尺墊下沉對(duì)h的影響。2）找出產(chǎn)生的原因和規(guī)律，對(duì)測量結(jié)果加改正數(shù)。例：光電測距中的氣象、加常數(shù)、乘常數(shù)與傾斜改正數(shù)等。3）仔細(xì)檢校儀器。例：經(jīng)緯儀的LL不垂直于VV對(duì)測角的影響。二、偶然誤差1、偶然誤差：在相同的觀測條件下，對(duì)某一未知量進(jìn)行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號(hào)沒有明顯的規(guī)律性，即從表面上看，誤差的大小和符號(hào)均呈現(xiàn)偶然性，這種誤差稱為～。2、產(chǎn)生偶然誤差的原因：主要是由于儀器或人的感覺器官能力的限制，如觀測者的估讀誤差、照準(zhǔn)誤差等，以及環(huán)境中不能控制的因素(如不斷變化著的溫度、風(fēng)力等外界環(huán)境)所造成。3、偶然誤差的規(guī)律：偶然誤差在測量過程中是不可避免的，從單個(gè)誤差來看，其大小和符號(hào)沒有一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)在觀測值內(nèi)部卻隱藏著統(tǒng)計(jì)規(guī)律。偶然誤差就單個(gè)而言具有隨機(jī)性，但在總體上具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量。三、偶然誤差分布的表示方法1、表格法2、直方圖法3、誤差概率分布曲線----正態(tài)分布曲線1、表格法例如：在相同觀測條件下觀測了217個(gè)三角形（見圖5-J1）的內(nèi)角，每一個(gè)三角形內(nèi)角和的真誤差為三內(nèi)角觀測值的和減去180°，即：Δ=α+β+γ-180°。將所有三角形內(nèi)角和的誤差范圍分成若干小的區(qū)間d△（如表5-1中的3″）；統(tǒng)計(jì)出每一個(gè)小區(qū)間出現(xiàn)的誤差個(gè)數(shù)k及頻率，頻率=個(gè)數(shù)k/總數(shù)n（n=217），得出統(tǒng)計(jì)表。表5-1三角形內(nèi)角和真誤差統(tǒng)計(jì)表從表5-1中可以看出，該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：1）小誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)比大誤差多；2）絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻率大致相等；3）最大誤差不超過27″。2、直方圖法橫坐標(biāo)—以偶然誤差為橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)—以頻率/d△(頻率/組距)為縱坐標(biāo)，在每一個(gè)區(qū)間上根據(jù)相應(yīng)的縱坐標(biāo)值畫出一矩形，各矩形的面積=誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率(K/n)，所有區(qū)間的矩形構(gòu)成了直方圖，如圖5-1所示統(tǒng)計(jì)表和直方圖是偶然誤差的實(shí)際分布。3、誤差概率分布曲線----正態(tài)分布曲線。3、誤差概率分布曲線當(dāng)直方圖中：n→∞，d△各區(qū)間的頻率也就趨于一個(gè)完全確定的數(shù)值——概率。若d△→0時(shí)，則直方圖成為誤差概率曲線——正態(tài)分布曲線。它服從于正態(tài)分布。

正態(tài)分布曲線的方程式為：式中：△為偶然誤差；σ（>0）稱為標(biāo)準(zhǔn)差，是與觀測條件有關(guān)的一個(gè)參數(shù)。它的大小可以反映觀測精度的高低。四、偶然誤差的四個(gè)特性1、有限性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值；2、集中性：即絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；3、對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；4、抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。即:在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，(5-5)式也稱偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，用公式表示：E(△)=0.五、不同精度的誤差分布曲線：

如圖5-3：曲線Ⅰ、Ⅱ?qū)?yīng)著不同觀測條件得出的兩組誤差分布曲線。曲線Ⅰ較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，因而觀測精度較高。曲線Ⅱ較為平緩，即離散度較大，因而觀測精

度較低。如圖5-3中，曲線Ⅰ、Ⅱ?qū)?yīng)著不同觀測條件得出的兩組誤差分布曲線。當(dāng)△=0時(shí)，上式是兩誤差分布曲線的峰值。其中曲線Ⅰ的峰值較曲線Ⅱ的高，即σ1<σ2，故第Ⅰ組觀測的小誤差出現(xiàn)的概率較第Ⅱ組的大。由于誤差分布曲線到橫坐標(biāo)軸之間的面積恒等于1，所以當(dāng)小誤差出現(xiàn)的概率較大時(shí)，大誤差出現(xiàn)的概率必然要小。曲線I表現(xiàn)為較陡峭，即分布比較集中，或稱離散度較小，因而觀測精度較高。曲線II相對(duì)來說較為平緩，即離散度較大，因而觀測精度較低。六、錯(cuò)誤1、測量成果中除了系統(tǒng)誤差和偶然誤差以外，還可能出現(xiàn)錯(cuò)誤（有時(shí)也稱之為粗差）。2、錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因較多，可能由作業(yè)人員疏忽大意、失職而引起，如大數(shù)讀錯(cuò)、讀數(shù)被記錄員記錯(cuò)、照錯(cuò)了目標(biāo)等；也可能是儀器自身或受外界干擾發(fā)生故障引起；還有可能是容許誤差取值過小造成的。錯(cuò)誤對(duì)觀測成果的影響極大，所以在測量成果中絕對(duì)不允許有錯(cuò)誤存在。3、發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的方法：進(jìn)行必要的重復(fù)觀測，通過多余觀測條件，進(jìn)行檢核驗(yàn)算；嚴(yán)格按照國家有關(guān)部門制定的各種測量規(guī)范進(jìn)行作業(yè)等。七、誤差理論研究的主要對(duì)象——偶然誤差在測量的成果中：錯(cuò)誤可以發(fā)現(xiàn)并剔除，系統(tǒng)誤差能夠加以改正，偶然誤差是不可避免的，它在測量成果中占主導(dǎo)地位，測量誤差理論主要是處理偶然誤差的影響?！?-2 評(píng)定精度的指標(biāo)一、精度——是指一組觀測值的密集與離散程度，也可說是一組觀測值的誤差的密集與離散程度。例:對(duì)A邊三次丈量值為56.882,56.885,56.884后對(duì)A邊丈量了三次為56.882,56.883,56.883，可以看出：前者離散度大,精度低;后者離散度小，精度高。但為了準(zhǔn)確評(píng)定觀測結(jié)果的精度，需要有一些確定的指標(biāo)。二、評(píng)定精度的指標(biāo):中誤差、相對(duì)誤差、極限誤差和容許誤差1、中誤差式（5-3）定義的標(biāo)準(zhǔn)差是衡量精度的一種指標(biāo)，是理論上的表達(dá)式。在測量實(shí)踐中觀測次數(shù)不可能無限多，因此實(shí)際應(yīng)用中，以有限次觀測個(gè)數(shù)n計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差的估值定義為中誤差m，作為衡量精度的一種標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算公式為：注意：在一組同精度的觀測值中，盡管各觀測值的真誤差D出現(xiàn)的大小和符號(hào)各異，而觀測值的中誤差卻是相同的，因?yàn)橹姓`差反映觀測的精度：只要觀測條件相同，則中誤差不變。中誤差代表的是一組觀測值的誤差分布?！纠?-1】有甲、乙兩組各自用相同的條件觀測了六個(gè)三角形的內(nèi)角，得三角形的閉合差（即三角形內(nèi)角和的真誤差）分別為：甲：+3″、+1″、-2″、-1″、0″、-3″；乙：+6″、-5″、+1″、-4″、-3″、+5″。試分析兩組的觀測精度?！窘狻坑弥姓`差公式（5-6）計(jì)算得：從上述兩組結(jié)果中可以看出，甲組的中誤差較小（±2.0），所以觀測精度高于乙組（±4.3）。而直接從觀測誤差的分布來看，也可看出甲組觀測的小誤差比較集中，離散度較小，因而觀測精度高于乙組。在測量工作中，普遍采用中誤差來評(píng)定測量成果的精度。2、相對(duì)誤差絕對(duì)誤差：有符號(hào)，并且有與觀測值相同的單位的誤差，被稱為絕對(duì)誤差。（如真誤差和中誤差）用于衡量其誤差與觀測值大小無關(guān)的觀測值的精度。（如角度、方向等）相對(duì)誤差：在某些測量工作中，絕對(duì)誤差不能完全反映出觀測的質(zhì)量。相對(duì)誤差“K”——等于誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測值的比值。它是一個(gè)不名數(shù)，常用分子為1的分式表示，即：相對(duì)中誤差：當(dāng)誤差的絕對(duì)值為中誤差m的絕對(duì)值時(shí)，K稱為～。相對(duì)較差：在距離測量中還常用往返測量結(jié)果的相對(duì)較差來進(jìn)行檢核。相對(duì)較差定義為：相對(duì)較差是相對(duì)真誤差，它反映的只是往返測的符合程度，顯然，相對(duì)較差愈小，觀測結(jié)果愈可靠。三、極限誤差和容許誤差1．極限誤差l

在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是極限誤差。在一組等精度觀測值中，（s—中誤差）絕對(duì)值大于s的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7%；絕對(duì)值大于2s的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為4.5%；絕對(duì)值大于3s的偶然誤差，出現(xiàn)的概率僅為0.3%。l

在測量工作中，要求對(duì)觀測誤差有一定的限值。大于3m的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)只有3‰，在有限的觀測次數(shù)中，實(shí)際上不大可能出現(xiàn)。所以，可取3s作為偶然誤差的極限值，稱極限誤差。2．容許誤差在實(shí)際工作中，測量規(guī)范要求觀測中不容許存在較大的誤差，可由極限誤差來確定測量誤差的容許值，稱為容許誤差，即：當(dāng)要求嚴(yán)格時(shí)，也可取兩倍的中誤差作為容許誤差，即如果觀測值中出現(xiàn)了大于所規(guī)定的容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測值不可靠，應(yīng)舍去不用或重測?！?-3 誤差傳播定律在測量工作中一般采用中誤差作為評(píng)定精度的指標(biāo)。一、誤差傳播定律：說明觀測值中誤差與其函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律。求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟如下：列出獨(dú)立觀測量的函數(shù)式：求出真誤差關(guān)系式。對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分，得求出中誤差關(guān)系式。只要把真誤差換成中誤差的平方，系數(shù)也平方，即可直接寫出中誤差關(guān)系式：二、常用函數(shù)的中誤差公式倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)若線性函數(shù)三、應(yīng)用舉例例5-2在比例尺為1：500的地形圖上，量得兩點(diǎn)的長度為d=23.4mm，其中誤差md=±0.2mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)際距離D及其中誤差mD。解：函數(shù)關(guān)系式：D=Md，屬倍數(shù)函數(shù)，M=500是地形圖比例尺分母。兩點(diǎn)的實(shí)際距離結(jié)果可寫為：11.7m±0.1m。例5-3水準(zhǔn)測量中，已知后視讀數(shù)a=1.734m，前視讀數(shù)b=0.476m，中誤差分別為ma=±0.002m，mb=±0.003m，試求兩點(diǎn)的高差及其中誤差。解：函數(shù)關(guān)系式為h=a-b，屬和差函數(shù)，得兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為1.258m±0.004m。例5-4在斜坡上丈量距離，其斜距為L=247.50m，中誤差mL=±0.05m，并測得傾斜角α=10°34′，其中誤差mα=±3′，求水平距離D及其中誤差mD解:1）首先列出函數(shù)式2）水平距離 這是一個(gè)非線性函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分，3）先求出各偏導(dǎo)值如下4）寫成中誤差形式：5）得結(jié)果：D=243.30m±0.06m。例5-5在水準(zhǔn)測量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為mi=±2mm，假定視距平均長度為50m，若以3倍中誤差為容許誤差，試求在測段長度為Lkm的水準(zhǔn)路線上，圖根水準(zhǔn)測量往返測所得高差閉合差的容許值。解:1)每站觀測高差為：2)每站觀測高差的中誤差：因視距平均長度為50m，則每公里可觀測10個(gè)測站，L公里共觀測10L個(gè)測站，L公里高差之和為：L(km)高差和的中誤差為：往返高差的較差（即高差閉合差）為：高差閉合差的中誤差為：以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：在第二章中，取作為閉合差的容許值是考慮了除讀數(shù)誤差以外的其它誤差的影響（如外界環(huán)境的影響、儀器的i角誤差等）。三、注意事項(xiàng)1．要正確列出函數(shù)式 例：用長30m的鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為ml=±5mm，求全長D及其中誤差mD。1）函數(shù)式按倍數(shù)函數(shù)式求全長中誤差，將得出2）實(shí)際上全長應(yīng)是10個(gè)尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為用和差函數(shù)式求全長中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長中誤差為按實(shí)際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數(shù)公式則是錯(cuò)誤的。2．在函數(shù)式中各個(gè)觀測值必須相互獨(dú)立，即互不相關(guān)。如有函數(shù)式：而： 若已知x的中誤差為mx，求Z的中誤差mz。

1）直接用公式計(jì)算,由（a）式得：由（b）式得：代入（c）式得（上面所得的結(jié)果是錯(cuò)誤）因?yàn)閥1和y2都是x的函數(shù)，它們不是互相獨(dú)立的觀測值，因此在（a）式的基礎(chǔ)上不能應(yīng)用誤差傳播定律。正確的做法是：先把(b)式代入(a)式，再把同類項(xiàng)合并，然后用誤差傳播定律計(jì)算。四、最或然值：平差的結(jié)果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般稱這個(gè)最接近真值的估值為“最或然值”，或“最可靠值”，有時(shí)也稱“最或是值”，一般用x表示。一、等精度直接觀測值的最或然值算術(shù)平均值(最或然值x)二、評(píng)定精度（一）觀測值的中誤差1．由真誤差來計(jì)算當(dāng)觀測量的真值已知時(shí),可根據(jù)中誤差估值的定義即由觀測值的真誤差來計(jì)算其中誤差。2．由改正數(shù)（最或然值誤差v）來計(jì)算在實(shí)際工作中，觀測量的真值除少數(shù)情況外一般是不易求得的。因此在多數(shù)情況下，我們只能按觀測值的最或然值來求觀測值的中誤差。該式稱為白塞爾公式。等精度觀測用改正數(shù)計(jì)算觀測值中誤差的公式。（二）最或然值的中誤差一組等精度觀測值為L1、L2、…Ln，其中誤差均相同，設(shè)為m，最或然值x（算術(shù)平均值