2024屆北京海淀外國語實驗數(shù)學高二第二學期期末達標測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．2．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，若，，則A． B． C． D．3．如圖,陰影部分的面積是（）A． B． C． D．4．已知橢圓的左右焦點分別為，，以為圓心，為直徑的圓與橢圓在第一象限相交于點，且直線的斜率為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．5．設(shè)，均為實數(shù)，且，，，則()A． B． C． D．6．如圖所示，圓為正三角形的內(nèi)切圓，為切點，將一顆豆子隨機地扔到該正三角形內(nèi)，在已知豆子落在圓內(nèi)的條件下，豆子落在（陰影部分）內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．7．將2名教師和6名學生平均分成2組，各組由1名教師和3名學生組成，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，則不同的安排方案有（）A．40種 B．60種 C．80種 D．120種8．甲乙丙丁4名師范院校的大學生分配至3所學校實習，每所學校至少分配一名大學生，且甲、乙兩人不能分配在同一所學校，則不同分配方法數(shù)為（）A．30 B．42 C．50 D．589．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）A． B． C． D．11．已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)對應復平面上的點在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四12．從名男生和名女生中選出名學生參加一項活動，要求至少一名女生參加，不同的選法種數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若不等式|x－a|<1的解集為{x|1<x<3}，則實數(shù)a的值為________．14．已知兩個單位向量，的夾角為，，若，則_____．15．定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，如果函數(shù)，，（）的“新駐點”分別為，，，那么，，的大小關(guān)系是16．若，則整數(shù)__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某市交通管理有關(guān)部門對年參加駕照考試的歲以下的學員隨機抽取名學員，對他們的科目三（道路駕駛）和科目四（安全文明相關(guān)知識）進行兩輪測試，并把兩輪成績的平均分作為該學員的抽測成績，記錄數(shù)據(jù)如下：學員編號科目三成績科目四成績（1）從年參加駕照考試的歲以下學員中隨機抽取一名學員，估計這名學員抽測成績大于或等于分的概率；（2）根據(jù)規(guī)定，科目三和科目四測試成績均達到分以上（含分）才算合格，從抽測的到號學員中任意抽取兩名學員，記為抽取學員不合格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．18．（12分）已知數(shù)列中，，.（1）寫出的值，猜想數(shù)列的通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中你的結(jié)論.19．（12分）已知函數(shù).（I）解不等式：；（II）若函數(shù)的最大值為，正實數(shù)滿足，證明：20．（12分）（1）求過點P(3,4)且在兩個坐標軸上截距相等的直線l1（2）求過點A(3,2)，且與直線2x-y+1=0垂直的直線l221．（12分）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾；(2)全體站成一排，女生必須站在一起；(3)全體站成一排，男生互不相鄰．22．（10分）已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且與直線相切．（1）求圓的標準方程；（2）設(shè)直線與圓相交于A，B兩點，求實數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)，使得弦的垂直平分線過點．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

求導，判斷導函數(shù)函數(shù)值的正負，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性判斷選項.【題目詳解】解：當時，，則，若，，，若，，，則恒成立，即當時，恒成立，則在上單調(diào)遞減，

故選：A.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象，可以通過函數(shù)的性質(zhì)進行排除，屬于中檔題.2、B【解題分析】分析：首先設(shè)出等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的求和公式，得到公差所滿足的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，之后應用等差數(shù)列的通項公式求得，從而求得正確結(jié)果.詳解：設(shè)該等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中的條件可得，整理解得，所以，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)等差數(shù)列的求和公式和通項公式的應用，在解題的過程中，需要利用題中的條件，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差數(shù)列的通項公式得到與的關(guān)系，從而求得結(jié)果.3、C【解題分析】由定積分的定義可得，陰影部分的面積為.本題選擇C選項.點睛：利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟：(1)畫出圖形；(2)確定被積函數(shù)；(3)確定積分的上、下限，并求出交點坐標；(4)運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積．求解時，注意要把定積分與利用定積分計算的曲線圍成圖形的面積區(qū)別開：定積分是一個數(shù)值(極限值)，可為正，可為負，也可為零，而平面圖形的面積在一般意義上總為正．4、D【解題分析】

利用直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義離心率計算公式即可得出．【題目詳解】在Rt△PF1F2中，∠F1PF2=90°，直線的斜率為故得到∠POF2=60°，∴|PF2|=c，由三角形三邊關(guān)系得到|PF1|=，又|PF1|+|PF2|=2a=c+，∴.故選：D．【題目點撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)及其應用，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).5、B【解題分析】分析：將題目中方程的根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點的橫坐標的值，作出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可得出的大小關(guān)系.詳解：在同一平面直角坐標系中，分別作出函數(shù)的圖像由圖可知，故選B.點睛：解決本題，要注意①方程有實數(shù)根②函數(shù)圖像與軸有交點③函數(shù)有零點三者之間的等價關(guān)系，解決此類問題時，有時候采用“數(shù)形結(jié)合”的策略往往能起到意想不到的效果.6、A【解題分析】

設(shè)正三角形的邊長為，內(nèi)切圓半徑為，求得內(nèi)切圓半徑，即可得陰影部分的面積；再求得三角形的面積，結(jié)合幾何概型的求法即可得解.【題目詳解】設(shè)正三角形的邊長為，內(nèi)切圓半徑為，則由三角形面積公式可得，解得，則，所以由幾何概型概率可得落在陰影部分的概率為,故選：A.【題目點撥】本題考查了等邊三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)應用，幾何概型概率求法，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

根據(jù)甲、乙兩地先安排老師，可知，然后安排學生，可得結(jié)果.【題目詳解】第一步，為甲、乙兩地排教師，有種排法；第二步，為甲、乙兩地排學生，有種排法，故不同的安排方案共有種，故選：A【題目點撥】本題考查排列分組的問題，一般來講先分組后排列，審清題意細心計算，屬基礎(chǔ)題.8、A【解題分析】

根據(jù)題意將4人分成3組，再進行排列，兩步完成.【題目詳解】第一步，將甲乙丙丁4名同學分成3組，甲、乙兩人不在同一組，有5種分法第二步,將3組同學分配到3所學校，有種分法所以共有種分配方法故選：A【題目點撥】解決分組分配問題的基本指導思想是先分組，后分配.9、D【解題分析】分析：對求導，令，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.詳解：函數(shù)的定義域為，得到.故選D點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)的圖象為增函數(shù)，且在區(qū)間(－1,0)上增長速度越來越快，而在區(qū)間(0,1)上增長速度越來越慢．故選B.11、D【解題分析】分析：首先化簡所給的復數(shù)，然后確定復數(shù)所在的象限即可.詳解：由題意可得：，則復數(shù)對應的點為，該點位于第四象限，即復數(shù)對應復平面上的點在第四象限.本題選擇D選項.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算法則及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12、B【解題分析】

從反面考慮，從名學生中任選名的所有選法中去掉名全是男生的情況，即為所求結(jié)果．【題目詳解】從名學生中任選名，有種選法，其中全為男生的有種選法，所以選出名學生，至少有名女生的選法有種.故選：B.【題目點撥】本題考查組合問題，也可以直接考慮，分類討論，在出現(xiàn)“至少”的問題時，利用正難則反的方法求解較為簡單，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2.【解題分析】分析：由題意可得，1和3是方程|x－a|＝1的根，代入即可.詳解：由題意可得，1和3是方程|x－a|＝1的根，則有解得a＝2.故答案為：2.點睛：本題考查絕對值不等式的解法，考查等價轉(zhuǎn)化思想與方程思想的應用.14、2；【解題分析】

試題分析：由可得，即，故填2.考點：1.向量的運算.2.向量的數(shù)量積.15、【解題分析】試題分析：，由，得；，由，得由，，由零點存在定理得；，由得，即，，考點：1、新定義的應用；2、零點存在定理.16、2【解題分析】

由題得，再解方程即得解.【題目詳解】由題得，所以,所以，所以.故答案為：2【題目點撥】本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)，考查組合方程的解法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得出個學員中抽測成績中大于或等于分的人數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率；（2）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)得出到號學員合格與不合格的人數(shù)，可得知隨機變量的可能取值有、、，然后再根據(jù)超幾何分布的概率公式計算出隨機變量在相應取值時的概率，并列出分布列，結(jié)合數(shù)學期望公式可計算出的值.【題目詳解】（1）學員抽測成績大于或等于分的有個，從年參加駕照考試的歲以下學員中隨機抽取一名學員，估計這名學員抽測成績大于或等于分的概率；（2）號至號學員中有個合格，個不合格，的可能取值為、、，，，，的分布列為：因此，隨機變量的數(shù)學期望為．【題目點撥】本題考查利用古典概型概率公式計算事件概率，同時也考查了離散型隨機變量分布列與數(shù)學期望的計算，解題時要弄清楚隨機變量所滿足的分布類型，結(jié)合相應的概率公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題.18、（1），，，猜想（2）見解析【解題分析】

（1）依遞推公式計算，并把各分子都化為3，可歸納出；（2）用數(shù)學歸納法證明即可．【題目詳解】解：（1），，∴，，，猜想（2）用數(shù)學歸納法證明如下：①當時，由知猜想成立；②假設(shè)時，猜想成立，即則∴時，猜想成立，根據(jù)①②可知，猜想對一切正整數(shù)都成立.【題目點撥】本題考查歸納推理，考查數(shù)學歸納法，屬于基礎(chǔ)題．在用數(shù)學歸納法證明時，在證明時的命題時一定要用到時的歸納假設(shè)，否則不是數(shù)學歸納法．19、（I）（2，6）；（II）詳見解析.【解題分析】

（I）按零點分類討論，去掉絕對值，分別求解不等式，即可得絕對值不等式的解集；（II）由函數(shù)，求得其最大值，得到，再利用基本不等式，即可求解.【題目詳解】（I）當時，，解得，；當時，，解得，；當時，，解得，無解.綜上所述，原不等式的解集為（2，6）.（II）證明：=，即（當且僅當時，等號成立）.【題目點撥】本題主要考查了絕對值不等式的求解，以及不等式的證明問題，其中解答中合理分類討論去掉絕對值號是解答含絕對值不等式的關(guān)鍵，同時注意基本不等式在不等式證明中的應用，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）4x-3y=0或x+y-7=0（2）x+2y-7=0【解題分析】

（1）需分直線過原點，和不過原點兩種情況，過原點設(shè)直線l1:y=kx，不過原點時，設(shè)直線l2:xa+y【題目詳解】解：（1）當直線過原點時，直線方程為：4x-3y=0；當直線不過原點時，設(shè)直線方程為x+y=a，把點P3,4代入直線方程，解得a=7所以直線方程為x+y-7=0．（2）設(shè)與直線l：2x-y+1=0垂直的直線l1的方程為：x+2y+m=0，把點A3,2代入可得，3+2×2=m，解得m=-7．∴過點A3,2，且與直線l垂直的直線l【題目點撥】本題考查了直線方程的求法，屬于簡單題型.21、（1）3600（2）576（3）1440【解題分析】分析：（1）根據(jù)特殊元素“優(yōu)先法”，由分步計數(shù)原理計算可得答案；(2)根據(jù)“捆綁法”將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，再將女生的整體與3名男生在一起進行全排列即可；(3）利用“插空法”