房山區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測試卷高三數(shù)學(xué)本試卷共6頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保存.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（）A. B. C. D.3.已知向量，，且與的夾角為，則的值為（）A. B. C. D.4.的展開式中的常數(shù)項是（）A. B. C. D.5.已知，為非零實數(shù)，且，則下列結(jié)論正確是（）A. B. C. D.6.已知直線與圓相切，則實數(shù)（）A.或 B.或 C.或 D.或7.已知函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，對于實數(shù)a，b，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.保護環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是經(jīng)濟財富，關(guān)系社會發(fā)展的潛力和后勁.某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時，若前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.9.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，為雙曲線C左支上一動點，為雙曲線C的漸近線上一動點，且最小時，與雙曲線C的另一條漸近線平行，則雙曲線C的方程可能是（）A B.C. D.10.數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”.它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強率.由于，取3為弱率，4為強率，計算得，故為強率，與上一次的弱率3計算得，故為強率，繼續(xù)計算，….若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推.已知，則（）A.8 B.7 C.6 D.5第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是______.12.記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則______.13.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則______.14.已知平面直角坐標系中，動點到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是______.15.如圖，在棱長為的正方體中，點是線段上的動點.給出下列結(jié)論：①；②平面；③直線與直線所成角的范圍是；④點到平面的距離是.其中所有正確結(jié)論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在四棱錐中，為等腰三角形，，，底面是正方形，，分別為棱，的中點.（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.17.已知函數(shù)的圖象上所有點向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.（1）求的值；（2）設(shè)，若在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.18.某移動通訊公司為答謝用戶，在其APP上設(shè)置了簽到翻牌子贏流量活動.現(xiàn)收集了甲、乙、丙3位該公司用戶2023年12月1日至7日獲得流量（單位：MB）數(shù)據(jù)，如圖所示.（1）從2023年12月1日至7日中任選一天，求該天乙獲得流量大于丙獲得流量概率；（2）從2023年12月1日至7日中任選兩天，設(shè)是選出的兩天中乙獲得流量大于丙獲得流量的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）將甲、乙、丙3位該公司用戶在2023年12月1日至7日獲得流量的方差分別記為，，，試比較，，的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）.19.設(shè)橢圓：的左、右頂點分別為，，右焦點為，已知，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點是橢圓上一個動點（不與頂點重合），直線交軸于點，若的面積是面積的4倍，求直線的方程.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，求的取值范圍.21.若無窮數(shù)列滿足：，對于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”.（1）若具有性質(zhì)“”，且，，，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)“”，并說明理由；（3）設(shè)既具有性質(zhì)“”，又具有性質(zhì)“”，其中，，，求證：具有性質(zhì)“”.房山區(qū)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測試卷高三數(shù)學(xué)本試卷共6頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回，試卷自行保存.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計算出集合后由交集定義運算可得.【詳解】，故.故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的乘法可求得的值.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，因此，.故選：A.3.已知向量，，且與的夾角為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先表示出，然后根據(jù)求解出的值.【詳解】因為，，所以，所以，解得或（舍去），故選：B.4.的展開式中的常數(shù)項是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】寫出二項式展開式通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，可得，因此，展開式中的常數(shù)項為.故選：B.5.已知，為非零實數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對A、B、C舉反例即可得，對D作差計算即可得.【詳解】對A：若，則，故錯誤；對B：若，則，故錯誤；對C：若，則，，左右同除，有，故錯誤；對D：由且，為非零實數(shù)，則，即，故正確.故選：D.6.已知直線與圓相切，則實數(shù)（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】利用圓心到直線的距離等于圓的半徑，可求得實數(shù)的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為直線與圓相切，則，即，解得或.故選：D.7.已知函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，對于實數(shù)a，b，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得函數(shù)是R上的偶函數(shù)，利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性判斷即得.【詳解】由函數(shù)滿足，得函數(shù)是R上的偶函數(shù)，而在上單調(diào)遞減，因此，所以“”是“”的充要條件.故選：C8.保護環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是經(jīng)濟財富，關(guān)系社會發(fā)展的潛力和后勁.某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米/升）與過濾時間（單位：小時）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時，若前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，解得，從而求得關(guān)于殘留數(shù)量與過濾時間的函數(shù)關(guān)系式，再將代入即可求得答案.【詳解】因為前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉，所以，即所以．再繼續(xù)過濾3小時，廢氣中污染物的殘留量約為．故選：A.9.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，為雙曲線C左支上一動點，為雙曲線C的漸近線上一動點，且最小時，與雙曲線C的另一條漸近線平行，則雙曲線C的方程可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線定義確定最小時，點的位置，進而求出的關(guān)系即得.【詳解】雙曲線C：的漸近線為，由對稱性不妨令點在第二象限，由雙曲線定義得，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與雙曲線的交點時取等號，因此的最小值為的最小值與的和，顯然當(dāng)與漸近線垂直時，取得最小值，而平行于漸近線，于是雙曲線的兩條漸近線互相垂直，即，則雙曲線的漸近線方程為，顯然選項ABD不滿足，C滿足，所以雙曲線C的方程可能是.故選：C10.數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”.它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強率.由于，取3為弱率，4為強率，計算得，故為強率，與上一次的弱率3計算得，故為強率，繼續(xù)計算，….若某次得到的近似值為強率，與上一次的弱率繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強率繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推.已知，則（）A.8 B.7 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意不斷計算即可解出．【詳解】因為為強率，由可得，，即為強率；由可得，，即為強率；由可得，，即為強率；由可得，，即強率；由可得，，即為弱率，所以，故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】由真數(shù)大于零及分母不等于零計算即可得.【詳解】由題意可得、，故且，故該函數(shù)定義域為.故答案為：.12.記為等差數(shù)列的前項和，已知，，則______.【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列及其前項和的性質(zhì)計算即可得.【詳解】設(shè)，則，即，故.故答案為：.13.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式求解即得.【詳解】在中，由及正弦定理，得，則，整理得，而，因此，又，所以.故答案為：14.已知平面直角坐標系中，動點到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是______.【答案】或【解析】【分析】設(shè)出點的坐標，利用已知列出方程化簡即得.【詳解】設(shè)點，依題意，，即，整理得，所以軌跡方程是或.故答案為：或15.如圖，在棱長為的正方體中，點是線段上的動點.給出下列結(jié)論：①；②平面；③直線與直線所成角的范圍是；④點到平面的距離是.其中所有正確結(jié)論的序號是______.【答案】①②④【解析】【分析】建立空間直角坐標系后逐個分析即可得.【詳解】以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，則有、、、、、、、，則、、、、、、，設(shè)，，則，，故，故①正確；設(shè)平面的法向量為，則有，即，取，則，有，故，又平面，則平面，故②正確；當(dāng)時，有，此時，即，即此時直線與直線所成角為，故③錯誤；由，，則，故④正確.故答案為：①②④.【點睛】關(guān)鍵點睛：對空間中線上動點問題，可設(shè)出未知數(shù)表示該動點分線段所得比例，從而用未知數(shù)的變化來體現(xiàn)動點的變化.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在四棱錐中，為等腰三角形，，，底面是正方形，，分別為棱，的中點.（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理即可得；（2）選①，由題意及去推導(dǎo)得到、、兩兩垂直，即可建立空間直角坐標系解決問題；選②，由題意及結(jié)合勾股定理的逆定理去推導(dǎo)得到、、兩兩垂直，即可建立空間直角坐標系解決問題.【小問1詳解】連接點與中點、連接，又，分別為棱，的中點，故、，又底面是正方形，故、，故且，故四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；【小問2詳解】選條件①：，由且為等腰三角形，故，又，故，有，由，，、平面，，故平面，又平面，故，故、、兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，有、、、、、，則、、，令平面的法向量為，則有，即，令，則，則，故與平面所成角的正弦值為.條件②：，由且為等腰三角形，故，又，故，有，由，則，故，又，故，又，、平面，，故平面，又平面，故，故、、兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，有、、、、、，則、、，令平面的法向量為，則有，即，令，則，則，故與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)的圖象上所有點向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.（1）求的值；（2）設(shè)，若在區(qū)間上有且只有一個零點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出平移后所得函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性，結(jié)合的取值范圍可求得的值；（2）利用三角恒等變換化簡得出，由可得，結(jié)合題意可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【小問1詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有點向右平移個單位長度，可得到函數(shù)，由題意可知，函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，又因為，則.【小問2詳解】解：由（1）可知，，則，因為，則，由，可得，因為在區(qū)間上有且只有一個零點，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.18.某移動通訊公司為答謝用戶，在其APP上設(shè)置了簽到翻牌子贏流量活動.現(xiàn)收集了甲、乙、丙3位該公司用戶2023年12月1日至7日獲得的流量（單位：MB）數(shù)據(jù)，如圖所示.（1）從2023年12月1日至7日中任選一天，求該天乙獲得流量大于丙獲得流量概率；（2）從2023年12月1日至7日中任選兩天，設(shè)是選出的兩天中乙獲得流量大于丙獲得流量的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）將甲、乙、丙3位該公司用戶在2023年12月1日至7日獲得流量的方差分別記為，，，試比較，，的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）.【答案】（1）（2）的分布列見解析，（3）【解析】【分析】（1）利用古典概型計算公式進行求解即可；（2）利用古典概型計算公式，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進行求解即可.（3）根據(jù)數(shù)據(jù)的集中趨勢進行判斷即可.【小問1詳解】由圖可知，七天中只有1日、2日乙獲得流量大于丙獲得流量，所以該天乙獲得流量大于丙獲得流量概率為；【小問2詳解】由（1）可知七天中只有1日、2日乙獲得流量大于丙獲得流量，因此，，，，所以的分布列如下圖所示：012；【小問3詳解】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)信息，甲、乙七天的數(shù)據(jù)相同，都是1個50,2個30,1個10,3個5；而且丙的的數(shù)據(jù)最分散，所以，.19.設(shè)橢圓：的左、右頂點分別為，，右焦點為，已知，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知點是橢圓上的一個動點（不與頂點重合），直線交軸于點，若的面積是面積的4倍，求直線的方程.【答案】19.20.【解析】【分析】（1）由題意計算即可得；（2）設(shè)出直線，聯(lián)立曲線，得到、兩點的縱坐標，結(jié)合面積公式計算即可得.【小問1詳解】由，，解得，，故，即橢圓的標準方程為；【小問2詳解】由橢圓的標準方程為，則、、，由題意可得直線斜率存在且不為，設(shè)，令，則，故，聯(lián)立，消去得，即，故或，由，故，則，又，即，即，若，則，即，即，即，則，若，則，即，不符，故舍去，即，故，即直線的方程為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）、（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程；（2）當(dāng)時，求出，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）令，分析可知，函數(shù)在上有且只有一個異號零點，對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合題意可