專題09條件概率與全概率公式思維導圖核心考點聚焦考點一：利用定義求條件概率考點二：條件概率的性質(zhì)及應用考點三：全概率公式考點四：貝葉斯公式考點五：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用1、條件概率的概念條件概率揭示了三者之間“知二求一”的關(guān)系一般地，設A，B為兩個隨機事件，且，我們稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．2、概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．3、條件概率的性質(zhì)設，則（1）（2）如果與是兩個互布事件，則；（3）設和互為對立事件，則．1、全概率公式在全概率的實際問題中我們經(jīng)常會碰到一些較為復雜的概率計算，這時，我們可以用“化整為零”的思想將它門悶分解為一些較為容易的情況分別進行考慮一般地，設是一組兩兩互F的事件，，且，則對任意的事件，有我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．2、貝葉斯公式設是一組兩兩互壓的事件，，且，則對任意事件，有3、在貝葉斯公式中，和分別稱為先儉概率和后驗概率．考點剖析考點一：利用定義求條件概率例1．（2024·江西上饒·高二?？茧A段練習）甲、乙和另外5位同學站成兩排拍照，前排3人，后排4人.若每個人都隨機站隊，且前后排不認為相鄰，則在甲、乙站在同一排的條件下，兩人不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．例2．（2024·全國·高二隨堂練習）為了給學生樹立正確的勞動觀，使學生懂得勞動的偉大意義，某班從包含甲、乙的6名學生中選出3名參加學校組織的勞動實踐活動，在甲被選中的情況下，乙也被選中的概率為（

）A． B． C． D．例3．（2024·河北石家莊·高二校考階段練習）太行山脈有很多優(yōu)美的旅游景點．現(xiàn)有甲、乙兩位游客慕名來到太行山脈，都準備從C、D、E、F，4個著名旅游景點中隨機選擇一個游玩．設事件A為“甲和乙至少一人選擇C”，事件B為“甲和乙選擇的景點不同”，則條件概率（

）A． B． C． D．變式1．（2024·高二課時練習）一個袋中裝有10個球，設有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，則在第一次摸到紅球的條件下，第二個球是黃球或黑球的概率為（

）A． B．C． D．考點二：條件概率的性質(zhì)及應用例4．（2024·全國·高二專題練習）已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（

）A． B． C． D．例5．（2024·河南鄭州·高二統(tǒng)考期末）已知隨機事件A，B的概率分別為，且，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．例6．（2024·天津濱海新·高二?？计谥校┰OA，B為兩個事件，已知P(B)=0.4，P(A)=0.5，P(B|A)=0.3，則P()=（

）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6變式2．（2024·高二課時練習）下列說法正確的是（

）A． B．C． D．考點三：全概率公式例7．（2024·全國·高二課堂例題）某公司有三個制造廠，全部產(chǎn)品的由甲廠生產(chǎn)，由乙廠生產(chǎn)，由丙廠生產(chǎn)，而甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的不合格品率分別為．求從該公司產(chǎn)品中隨機抽出一件產(chǎn)品為不合格品的概率．例8．（2024·全國·高二課堂例題）李老師7：00出發(fā)去參加8：00開始的教學會．根據(jù)以往的經(jīng)驗，他騎自行車遲到的概率是0.05，乘出租車遲到的概率是0.50．他出發(fā)時首選自行車，發(fā)現(xiàn)自行車有故障時再選擇出租車．設自行車有故障的概率是0.01，試計算李老師遲到的概率．例9．（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）袋中有3個紅球，4個黑球，每次隨機地從袋中取出一個球，觀察其顏色后放回．若取出的球是紅球，則將此紅球放回后，再往袋中另放2個紅球；若取出的球是黑球，則將此黑球放回即可．(1)求在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黑球的概率；(2)求第二次取到紅球的概率．變式3．（2024·福建泉州·高二?？计谀┰谌齻€地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有的人患了流感，假設這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為3：5：2，現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人(1)求這個人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人選自A地區(qū)的概率.變式4．（2024·河北石家莊·高二?？茧A段練習）某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.5，乘輪船遲到的概率為0.2，乘飛機不會遲到．(1)問這個人遲到的概率是多少?(2)如果這個人遲到了，問他乘輪船遲到的概率是多少?考點四：貝葉斯公式例10．（2024·高二課時練習）李老師一家要外出游玩幾天，家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧，如果這幾天內(nèi)鄰居記得澆水，那么花存活的概率為0.8，如果這幾天內(nèi)鄰居忘記澆水，那么花存活的概率為0.3，假設李老師對鄰居不了解，即可以認為鄰居記得和忘記澆水的概率均為0.5，幾天后李老師回來發(fā)現(xiàn)花還活著，則鄰居記得澆水的概率為．例11．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校校考期末）作為一種益智游戲，中國象棋具有悠久的歷史，中國象棋的背后，體現(xiàn)的是博大精深的中華文化.為了推廣中國象棋，某地舉辦了一次地區(qū)性的中國象棋比賽，李夏作為選手參加.除李夏以外的其他參賽選手中，是一類棋手，是二類棋手，其余的是三類棋手.李夏與一、三、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.2、0.4和0.5.(1)從參賽選手中隨機選取一位棋手與李夏比賽，求李夏獲勝的概率；(2)如果李夏獲勝，求與李夏比賽的棋手為一類棋手的概率.例12．（2024·河北保定·高二校聯(lián)考期中）某地舉辦了一次地區(qū)性的中國象棋比賽，小明作為選手參加.除小明外的其他參賽選手中，一、二、三類棋手的人數(shù)之比為5：7：8，小明與一、二、三類棋手比賽獲勝的概率分別是0.6、0.5、0.4.(1)從參賽選手中隨機抽取一位棋手與小明比賽，求小明獲勝的概率；(2)如果小明獲勝，求與小明比賽的棋手分別為一、二、三類棋手的概率.考點五：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應用例13．（2024·河北唐山·高二開灤第一中學校考期末）某電子設備廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄得到以下數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供元件的份額10.010.120.020.730.030.2設這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的且不區(qū)別標志(1)在倉庫中隨機抽取1個元件，求它是次品的概率；(2)在倉庫中隨機抽取1個元件，若已知抽取的是次品，求該次品出自元件制造廠3的概率.例14．（2024·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假設各箱含有0，1，2只殘次品的概率對應為0.8，0.1和0.1.一顧客欲購買一箱玻璃杯，在購買時，售貨員隨意取一箱，而顧客隨機查看4只玻璃杯，若無殘次品，則買下該箱玻璃杯；否則不買.設事件表示“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只殘次品”求：(1)顧客買下所查看的一箱玻璃杯的概率；(2)在顧客買下的一箱中，沒有殘次品的概率.例15．（2024·高二課時練習）兩臺車床加工同樣的零件，第一臺出現(xiàn)廢品的概率是0.03，第二臺出現(xiàn)廢品的概率是0.02．加工出來的零件放在一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍．(1)求任意取出1個零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1個零件是廢品，求它是第二臺車床加工的概率．變式5．（2024·江蘇連云港·高二?？茧A段練習）設甲、乙、丙三個地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個地區(qū)感染此病的比例分、、．現(xiàn)從這三個地區(qū)任抽取一個人．(1)求此人感染此病的概率；（結(jié)果保留三位小數(shù)）(2)若此人感染此病，求此人來自乙地區(qū)的概率．（結(jié)果保留三位小數(shù)）．過關(guān)檢測一、單選題1．（2024·山東德州·高二?？茧A段練習）已知為兩個隨機事件，，若，，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·高二隨堂練習）隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴重，為倡導綠色出行，某公司員工小明選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不遲到的概率為0.91，騎共享單車上班不遲到的概率為0.92，乘坐地鐵上班不遲到的概率為0.93，則某天上班小明遲到的概率是（

）A．0.24 B．0.14 C．0.067 D．0.0773．（2024·浙江·高二蕭山二中校聯(lián)考期中）在3張彩票中有2張有獎，甲、乙兩人先后從中各任取一張，則乙中獎的概率為（

）A． B． C． D．4．（2024·江西·高二江西省宜豐中學校聯(lián)考階段練習）“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過：小孩第一次喊“狼來了”，大家信了，但去了之后發(fā)現(xiàn)沒有狼；第二次喊“狼來了”，大家又信了，但去了之后又發(fā)現(xiàn)沒有狼；第三次狼真的來了，但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了．從數(shù)學的角度解釋這一變化，假設小孩是誠實的，則他出于某種特殊的原因說謊的概率為；小孩是不誠實的，則他說謊的概率是．最初人們不知道這個小孩誠實與否，所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是．已知第一次他說謊了，那么他是誠實的小孩的概率是（

）A． B． C． D．5．（2024·福建泉州·高二?？计谀┘?、乙兩個袋子中各裝有5個大小相同的小球，其中甲袋中有2個紅球，2個白球和1個黑球，乙袋中有3個紅球，1個白球和1個黑球，先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機取出一球.若用事件和分別表示從甲袋中取出的球是紅球，白球和黑球，用事件表示從乙袋中取出的球是紅球，則=（

）A． B． C． D．6．（2024·江蘇·高二專題練習）一袋中裝有10個盲盒，已知其中3個是玩具盲盒，7個是文具盲盒，甲、乙兩個小孩從中先后任取一個盲盒，則乙取到的是玩具盲盒的概率為（

）A． B． C． D．7．（2024·福建福州·高二校聯(lián)考期中）已知某地市場上供應的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，丙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，丙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場上買到一個產(chǎn)品，此產(chǎn)品是次品的概率是（

）A．0.925 B．0.03 C．0.075 D．0.958．（2024·山東青島·高二統(tǒng)考階段練習）現(xiàn)有12道四選一的單選題，學生甲對其中的9道題有思路，3道題完全沒有思路．有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為0.25．學生甲從這12道題中隨機選擇1題，他做對的概率為（

）A．0.225 B．0.4125 C．0.7375 D．0.8325二、多選題9．（2024·全國·高二隨堂練習）某兒童樂園有甲、乙兩個游樂場，小王同學第一天去甲、乙兩家游樂場游玩的概率分別為0.4和0.6．如果他第一天去甲游樂場，那么第二天去甲游樂場的概率為0.6；如果第一天去乙游樂場，那么第二天去甲游樂場的概率為0.5，則王同學（

）A．第二天去甲游樂場的概率為0.54B．第二天去乙游樂場的概率為0.44C．第二天去了甲游樂場，則第一天去乙游樂場的概率為D．第二天去了乙游樂場，則第一天去甲游樂場的概率為10．（2024·山東德州·高二校考階段練習）甲罐中有個紅球，個白球和個黑球，乙罐中有個紅球，個白球和個黑球球除顏色外，大小質(zhì)地均相同先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與相互獨立 B．C． D．11．（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）某氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)不下雨的概率為；刮四級以上風的概率為，既刮四級以上的風又下雨的概率為，設為下雨，為刮四級以上的風，則（

）A． B．C． D．12．（2024·高二課時練習）（多選）下列說法正確的是（

）A．若，，則A與B相互獨立B．若，，則A與B相互獨立C．甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”是相互獨立D．容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”是相互獨立的三、填空題13．（2024·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┘淄瑢W和乙同學參加某市青少年圍棋比賽并進入決賽，決賽采取“3局2勝”制，若甲同學每局獲勝的概率均為，且每局比賽相互獨立，則在甲先勝一局的條件下，甲最終能獲勝的概率是.14．（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）有6道不同的數(shù)學題，其中有4道函數(shù)題，2道概率題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回.在第一次抽到函數(shù)題的條件下，第二次還是抽到函數(shù)題的概率是．15．（2024·四川攀枝花·高二統(tǒng)考期末）某公司為提高產(chǎn)品的競爭力、開拓市場，決定成立甲乙兩個小組進行新產(chǎn)品研發(fā)，已知甲小組研發(fā)成功的概率為，乙小組研發(fā)成功的概率為．則在新產(chǎn)品研發(fā)成功的情況下，新產(chǎn)品是由甲小組研發(fā)成功的概率是．16．（2024·全國·高二隨堂練習）某射擊小組共有10名射手，其中一級射手3人，二級射手5人，三級射手2人，現(xiàn)選出2人參賽，在至少有一人是一級射手的條件下，另一人是三級射手的概率為；若一、二、三級射手獲勝概率分別是0.9，0.7，0.5，則任選一名射手能夠獲勝的概率為．四、解答題17．（2024·全國·高二課堂例題）某批麥種中，一等麥種，二等麥種，一、二等麥種種植后所結(jié)的穗含有粒以上麥粒的概率分別為，．求用這批種子種植后所結(jié)的穗含有粒以上麥粒的概率．18．（2024·全國·高二課堂例題）已知春季里，每天甲、乙兩地下雨的概率分別為與，而且兩地同時下雨的概率為.求春季的一天里：(1)已知甲地下雨的條件下，乙地也下雨的概率；(2)已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率.19．（2024·全國·高二課堂例題）在某次抽獎活動中，在甲、乙兩人先后進行抽獎前，還有50張獎券，其中共有5張寫有“中獎”字樣．假設抽完的獎券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：(1)甲中獎而且乙也中