專題13.3等腰三角形+專題13.4最短路徑問題目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能用它證明兩個(gè)角相等，兩條線段相等及兩條直線垂直等；2.掌握等腰（等邊）三角形的判定定理；3.熟練運(yùn)用等腰（等邊）三角形的性質(zhì)定理與判定定理進(jìn)行推理與計(jì)算；4.熟練軸對稱和兩點(diǎn)之間，線段最短解決最短路徑問題（將軍飲馬模型）。知識精講知識精講知識點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)【知識點(diǎn)】（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，∠A是頂角，∠B、∠C是底角．（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．【知識拓展1】等腰三角形的性質(zhì)（角度、長度問題）例1.（2022江西吉安期末）已知等腰三角形的其中二邊長分別為3，6，則這個(gè)等腰三角形的周長為（

）A．12或15 B．12 C．13 D．15例2.（2022?紹興）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連結(jié)CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數(shù)；（2）寫出∠BEC與∠BDC之間的關(guān)系，并說明理由．【即學(xué)即練】1．（2022江蘇蘇州市月考）等腰三角形的一個(gè)角是80°，則它底角的度數(shù)是（

）A．80°或20° B．80° C．80°或50° D．20°2．（2022?東營期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是邊AB的垂直平分線，交AB于E、交AC于D，連接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度數(shù)；（2）若△BCD的周長為16cm，△ABC的周長為26cm，求BC的長．【知識拓展2】等腰三角形的性質(zhì)（三線合一問題）例2.（2022?紅花崗區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F．（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：FB＝FE．【即學(xué)即練】1.（2022.綿陽市八年級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC延長線上一點(diǎn)，連接DF，交AC于點(diǎn)E，連接BE，∠A＝∠ABE。（1）求證：ED平分∠AEB；（2）若AB＝AC，∠A＝38°，求∠F的度數(shù)．【知識拓展3】等腰三角形的性質(zhì)（多結(jié)論問題）例3．（2022?商河縣八年級期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E，以下四個(gè)結(jié)論：①∠CDE＝∠BAD；②當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AC；③當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，∠BAD＝20°；④當(dāng)∠BAD＝30°時(shí)，BD＝CE．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【即學(xué)即練】1.（2022?宿州期中）如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則下列四個(gè)結(jié)論中，①AB上一點(diǎn)與AC上一點(diǎn)到D的距離相等；②AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等；③∠BDE＝∠CDF；④BD＝CD，AD⊥BC．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)知識點(diǎn)02等腰三角形的判定【知識點(diǎn)】等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.注意：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.【知識拓展1】等腰三角形的判定（個(gè)數(shù)問題、操作問題）例1．（2022江蘇南京八年級月考）如圖，四邊形ABCD是正方形，M、N分別為邊AB、AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形的邊上（包括頂點(diǎn)），且△MNP是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2．（2022·上虞初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是邊AC和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個(gè)三角形△ABP，△BPQ，△PQC，若分割成的這三個(gè)三角形都是等腰三角形，則∠C有可能的值有________個(gè)．【即學(xué)即練1】1．（山東省菏澤市鄆城縣2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，已知，是兩格點(diǎn)，如果點(diǎn)也是格點(diǎn)，且使得是以為腰的等腰三角形，那么點(diǎn)的個(gè)數(shù)有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【知識拓展2】等腰三角形的判定（證明問題）例2．（陜西咸陽2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，E為的外角平分線上的一點(diǎn)，AE//BC，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求CE的長．【即學(xué)即練2】2．（2022?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD與CE相交于點(diǎn)F．（1）證明：BA＝BC；（2）求證：△AFC為等腰三角形．知識點(diǎn)03等邊三角形的性質(zhì)【知識點(diǎn)】等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.注意：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說等腰三角形包括等邊三角形．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.【知識拓展1】等邊三角形的性質(zhì)（角度、長度問題）例1．（湖北省孝感市孝南區(qū)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期作業(yè)檢測數(shù)學(xué)試題）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為4，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，取PA=CQ，連接PQ，交AC于M，則EM的長為______．【即學(xué)即練1】1.（福建省寧德市古田縣2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，等邊中，，垂足為，點(diǎn)在線段上，，則等于（

）A． B． C． D．2．（陜西省安康市紫陽縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，點(diǎn)E在BC的延長線上，且，則CE的長是（

）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【知識拓展2】等邊三角形的性質(zhì)（動(dòng)態(tài)問題）例2．（2022?渭濱區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝12cm，現(xiàn)有M，N兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿△ABC的邊按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，M，N兩點(diǎn)重合？兩點(diǎn)重合在什么位置？（2）當(dāng)點(diǎn)M，N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，請說明理由．【即學(xué)即練2】2．如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t（s），當(dāng)t＝2時(shí)，判斷△BQP的形狀，并說明理由．【知識拓展3】等邊三角形的性質(zhì)（規(guī)律問題）例3．（2022·四川）如圖，已知，點(diǎn)、、…在射線上，點(diǎn)、、…在射線上，、、…均為等邊三角形，若，則的邊長為__________．【即學(xué)即練3】3．（2022.重慶八年級期中）如圖，等邊△A1C1C2的周長為1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延長線上取點(diǎn)C3，使D1C3＝D1C1，連接D1C3，以C2C3為邊作等邊△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延長線上取點(diǎn)C4，使D2C4＝D2C2，連接D2C4，以C3C4為邊作等邊△A3C3C4；…且點(diǎn)A1，A2，A3，…都在直線C1C2同側(cè)，如此下去，則△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△An?nCn+1的周長和為．（n≥2，且n為整數(shù)）知識點(diǎn)04等邊三角形的判定【知識點(diǎn)】等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．含30°的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角是30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.注意：這個(gè)定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【知識拓展1】等邊三角形的判定（選填題）例1．（2022?澠池八年級期中）下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【即學(xué)即練1】1.（2022?福山區(qū)八年級期末）在下列結(jié)論中：（1）有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；（2）有兩個(gè)外角相等的等腰三角形是等邊三角形；（3）有一邊上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；（4）三個(gè)外角都相等的三角形是等邊三角形；其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【知識拓展2】等邊三角形的判定（證明題）例2．（2022?松桃縣期末）如圖，點(diǎn)P，M，N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點(diǎn)P，MN⊥BC于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．（1）求證：△PMN是等邊三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的長．【即學(xué)即練2】2．（2022?邵陽縣期末）如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周長．能力拓展能力拓展考法01等腰（等邊）三角形的分類討論問題【典例1】（2022·江西宜春·八年級期末）規(guī)定：在直角三角形中，如果直角邊是斜邊的一半，那么它所對的銳角為30°．等腰三角形ABC中，于點(diǎn)D，若，則底角的度數(shù)為______．變式1．（2022·江蘇興化·八年級期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D、E在邊BC所在的直線上，且AB=DB，AC=EC，則∠DAE的度數(shù)為________．考法02等腰（等邊）三角形的性質(zhì)與判定綜合問題【典例2】（廣東省深圳外國語學(xué)校2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△ECD，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論正確的是（

）①；②PQ∥AE；③；④；⑤A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤變式1．（2022·四川八年級期末）如圖1，在等邊三角形中，于于與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，平分交所在直線于點(diǎn)．求證：．（3）如圖3，若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，在下方作邊交所在直線于點(diǎn)．猜想：三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．考法03最短路徑問題（將軍飲馬模型）將軍飲馬模型圖形原理兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短三角形三邊關(guān)系特征A，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，MN為直線l上的一條動(dòng)線段，求AM+BN的最小值A(chǔ)，B為定點(diǎn)，l為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值轉(zhuǎn)化作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)作其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線l的對稱點(diǎn)【典例3】（2022·甘肅西峰·八年級期末）如圖，在等邊△ABC中，E為AC邊的中點(diǎn)，AD垂直平分BC，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)．若AD=6，則EP+CP的最小值為_______________．變式1．（2022·廣東新豐·八年級期末）如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，的面積為12，，則周長的最小值是______．變式2．（2022·上虞市初二月考）如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=6cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，若△PMN周長的最小值是6cm，則∠AOB的度數(shù)是（）A．15 B．30 C．45 D．60分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市松山區(qū)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列命題：①等腰三角形的角平分線、中線和高三線重合；②等腰三角形底邊的中點(diǎn)到兩腰的距離相等；③等腰三角形一定是銳角三角形；④等腰三角形兩個(gè)底角相等；⑤等腰三角形是軸對稱圖形．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．（2022年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由圖中的尺規(guī)作圖得到的射線與AC交于點(diǎn)D，則以下推斷錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．（陜西省榆林市高新區(qū)2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）習(xí)題課上，張老師和同學(xué)們一起探究一個(gè)問題∶“如圖，在中，分別是上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，添加下列哪個(gè)條件能判定是等腰三角形？"請你判斷正確的條件應(yīng)為（

）A． B． C． D．4．（山東省菏澤市牡丹區(qū)2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）等腰三角形一邊上的高等于這條邊的一半，那么頂角是（

）A．45°B．30°或90°C．90°或150°D．30°或90°或150°5．（2022·重慶南開中學(xué)八年級期末）如圖，是某生產(chǎn)線的橫截面示意圖，MN表示長度為20米的筆直傳送帶，在MN的中點(diǎn)正上方3米處，有一個(gè)專用消毒噴頭，（噴頭大小、長度均忽略不計(jì)），噴頭位置用點(diǎn)p表示，此時(shí)MN上有一個(gè)邊長為2米的正方形盒子ABCD，則在盒子隨傳送帶從點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N的過程中，以C、D、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形的時(shí)刻共有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)6．（河北省秦皇島市第七中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，給出如下關(guān)系：①平分；②于D；③D為中點(diǎn)．甲說：如果①②同時(shí)成立，可證明；乙說：如果②③同時(shí)成立，可證明；丙說：如果①③同時(shí)成立，可證明．則正確的說法是（

）A．甲、乙正確，丙錯(cuò)誤B．甲正確，乙、丙錯(cuò)誤C．乙正確，甲、丙錯(cuò)誤D．甲、乙、丙都正確7．（2022年湖南省岳陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，于點(diǎn)，若，則______．8．（2021·江蘇九年級二模）頂角是的等腰三角形叫做黃金三角形．如圖，是正五邊形的3條對角線，圖中黃金三角形的個(gè)數(shù)是_________．9．（2022年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為______．10．（福建省三明市將樂縣2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，等邊中，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則線段的長為____．11．（陜西省安康市紫陽縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，D為BC邊上一點(diǎn)，，，求的度數(shù)．12．（2022·云南昆明·初三學(xué)業(yè)考試）如圖，點(diǎn)D在BC上，AC、DE交于點(diǎn)F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）求證：∠C＝∠E；（2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度數(shù)．13．（江蘇省南京市建鄴區(qū)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在△ABC中，，，點(diǎn)D、E在BC上，AD⊥AC，AE⊥AB．求證：為等邊三角形．題組B能力提升練1．（2022·河南澠池·初二期末）下列三角形中：①有兩個(gè)角等于60°的三角形；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．（2022·廣西八年級期末）如圖，過邊長為3的等邊的邊上一點(diǎn)，作于，為延長線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連接交邊于點(diǎn)，則的長為（）A． B． C． D．23．（2022·四川汶川·初二期末）如圖，已知和都是等邊三角形，且、、三點(diǎn)共線．與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形；⑤．其中正確結(jié)論的有（）個(gè)A．5 B．4 C．3 D．24．（河北省秦皇島市第七中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C在直線l上，且是等腰三角形．符合條件的點(diǎn)C有（

）A．5 B．4 C．3 D．25．（陜西省西安市西安交通大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年七年級下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）已知中，，在AB邊上有一點(diǎn)D，若CD將分為兩個(gè)等腰三角形，則________．6．（2022·全國·八年級期中）如圖，在中，，，，，是的平分線，若點(diǎn)、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．7．（江西省景德鎮(zhèn)市樂平市2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．AD交B于點(diǎn)F，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，作交直線FG于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)，時(shí)，______，______．(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，試探索AF與BH的數(shù)量關(guān)系，并證明．(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，（2）中AF與BH的數(shù)量關(guān)系______成立（填“仍然”或“不再”）．請說明理由．8．（河南省鄭州市鄭東新區(qū)東區(qū)外國語學(xué)校2020-2021學(xué)年八年級下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知，如圖，△ABC為等邊三角形，AE＝CD，AD、BE相交于點(diǎn)P．(1)求證：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度數(shù)；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的長．9．（2022·四川成都市·八年級期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，AB＝8，M為AC中點(diǎn)，D為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接CE、DE、ME．（1）求證：CD＋CE＝CA；（2）求出點(diǎn)M到CE所在直線的距離；（3）當(dāng)ME＝時(shí)，求CE的值．10．（2022年青海省中考數(shù)學(xué)真題）兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和是頂角相等的等腰三角形，BC，DE分別是底邊.求證：；(2)解決問題：如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

圖1圖2題組C培優(yōu)拔尖練1．（河北省廊坊市大城縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，已知△ABD是等邊三角形，，E是AD上的點(diǎn)，，與BD交于點(diǎn)F．則下列結(jié)論正確的有（

）①連接AC，則AC垂直平分線段BD；②△DEF是等邊三角形；③若，則；④若AB＝8，DE＝2，則CF＝4．A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④2．（黑龍江省佳木斯市撫遠(yuǎn)市2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)在一條直線上，分別以，為邊作等邊三角形、，連接、，分別交、于點(diǎn)，相交于點(diǎn)．則下列說法：①；；③；④；⑤連接，則平分．其中正確的說法個(gè)數(shù)為（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（海南省樂東黎族自治縣2021-2022學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，等腰三角形ABC的面積為24，底邊，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC、AB于E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接CM、DM．在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，△CDM的周長存在最______值（填入“大”或“小”），最值為______．4．（貴州省遵義市仁懷市2020-2021學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，點(diǎn)P在的平分線上，將沿對折，使點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)D處，連接，若，則______．5．（2022.江蘇八年級期中）如圖，的點(diǎn)在直線上，，若點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)成為等腰三角形時(shí)，則度數(shù)是_______．6．（江西省新余市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期第二次摸底考試數(shù)學(xué)試卷）如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，下列結(jié)論：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周長等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，則∠B