上海楊浦鳳城高級中學(xué)2022年度高一數(shù)學(xué)文期末試題

含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.△ABC中，若C=2itCOS力，則△ABC的形狀為()

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.銳角三

角形

參考答案：

B

2.已知二次函數(shù)y=2》2—l在區(qū)間口,b］上有最小值一1,是下面關(guān)系式一定成立的是

()

A.aW0<b或a<0WbB.a<0<b

C.a<b<0或。<0<bD.0<a<b或a<b<0

參考答案：

A

3.(5分)下列四個函數(shù)中，與y=x表示同一函數(shù)的是()

x2

A.y=(Vx)2B.y=Vx^C.D.y=x

參考答案：

B

考點：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

專題：證明題.

分析：逐一檢驗各個選項中的函數(shù)與已知的函數(shù)是否具有相同的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)

系，只有這三者完全相同時，兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).

解答：選項A中的函數(shù)的定義域與已知函數(shù)不同，故排除選項A；

選項B中的函數(shù)與.已知函數(shù)具有相同的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系，故是同一個函數(shù)，故選

項B滿足條件；

選項C中的函數(shù)與已知函數(shù)的值域不同，故不是同一個函數(shù)，故排除選項C；

選項D中的函數(shù)與已知函數(shù)的定義域不同，故不是同一個函數(shù)，故排除選項D；

故選B.

點評：本題考查函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.兩個函數(shù)只有當定義域、值

域、對應(yīng)關(guān)系完全相同時，才是同一個函數(shù).

4.已知y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)=3'+x3-5,則函數(shù)y=f

(x)的零點的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

參考答案：

C

5.下列問題中，應(yīng)采用哪種抽樣方法()

①有甲廠生產(chǎn)的30個籃球，其中一箱21個，另一箱9個，抽取10個入樣；

②有30個籃球，其中甲廠生產(chǎn)的有21個，乙廠生產(chǎn)的有9個，抽取10個入樣；

③有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取10個入樣；

④有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取50個入樣.

A.分層抽樣、分層抽樣、抽簽法、系統(tǒng)抽樣

B.分層抽樣、分層抽樣、隨機數(shù)法、系統(tǒng)抽樣

C.抽簽法、分層抽樣、隨機數(shù)法、系統(tǒng)抽樣

D.抽簽法、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣、隨機數(shù)法

參考答案：

C

【考點】簡單隨機抽樣.

【專題】計算題；整體思想；定義法；概率與統(tǒng)計.

【分析】如果總體和樣本容量都很大時，采用隨機抽樣會很麻煩，就可以使用系統(tǒng)抽樣；

如果總體是具有明顯差異的幾個部分組成的，則采用分層抽樣；從包含有N個個體的總體

中抽取樣本量為n個樣本，總體和樣本容量都不大時，采用隨機抽樣.

【解答】解：總體容量較小，用抽簽法；總體由差異明顯的兩個層次組成，需選用分層抽

樣；總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機數(shù)法；總體容量較大，樣本容量也較大，宜

用系統(tǒng)抽樣，

故選C.

【點評】本題考查收集數(shù)據(jù)的方法，考查系統(tǒng)抽樣，分層抽樣，簡單隨機抽樣的合理運

用，是基礎(chǔ)題.解題時要認真審題，仔細解答.

6.(5分)若直線經(jīng)過A(0,4),B(V3,1)兩點，則直線AB的傾斜角為()

A.30°B.45°C.60°D.120°

參考答案：

D

考點：直線的傾斜角.

專題：直線與圓.

分析：由兩點求斜率公式求得AB的斜率，再由直線傾斜角的正切值等于斜率得答案.

解答：?.?直線經(jīng)過A(0,4),B(V3,1)兩點，

設(shè)直線AB的傾斜角為a(0°<180°),

由tana=-J^,得a=120°.

故選：D.

點評：本題考查了直線的斜率，考查了斜率與傾斜角的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

(3a-1)x+4a(x<Cl)

7.已知f(x)=1lo§aX是(-8,+8)上的減函數(shù)，那么a的取值

范圍是()

11j.1j.

A.[7,3)B.(0,3)C.(7,1)D.(3,1)

參考答案：

A

【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由f(x)為(-8,+oo)上的減函數(shù)，知(3a-1)x+4a遞減，logaX遞減，且

’3aT<0

<0<a<l

(3a-1)Xl+4aelog』，從而得I⑶-口Xl+4a>logal>解出即可.

【解答】解：因為f(X)為(-8,+OO)上的減函數(shù)，

3a~1<CO

<0<a<l

所以有.(3aT)X1+4a>loga1,解得六a<q

故選A.

【點評】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬中檔題.

8.下列判斷正確的是()

A.1.72J>1.73B,0.82<0.^c,不？D.

1,703>0,903

參考答案：

D

9當OVaVl時,在同一坐標系中，函數(shù)y—T，與y=log仕的圖象是()

參考答案:

C

【考點】對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).

【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合.

【分析】先將函數(shù)y=a-'化成指數(shù)函數(shù)的形式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性同時考慮這兩個函數(shù)

的單調(diào)性即可判斷出結(jié)果

【解答】解：?.?函數(shù)y=a”與可化為

由x

函數(shù)y=a,其底數(shù)大于1,是增函數(shù)，

又y=l0glix,當0<aVl時是減函數(shù)，

兩個函數(shù)是一增一減，前增后減.

故選C.

【點評】本題考查函數(shù)的圖象，考查同學(xué)們對對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識的把握程度以

及數(shù)形結(jié)合的思維能力.

工2L

10.如果cos(n+A)--2,那么sin(2+A)的值是()

1_工返返

A.-2B.2C.-2D.2

參考答案：

B

【考點】三角函數(shù)的化簡求值.

【專題】計算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；三角函數(shù)的求值.

【分析】已知等式利用誘導(dǎo)公式化簡求出cosA的值，所求式子利用誘導(dǎo)公式化簡后將

cosA的值代入計算即可求出.

【解答】解：’.'cos(n+A)=-cosA=-2,即cosA=2,

,*.sin(2+A)=cosA=2.

故選：B.

【點評】本題考查了運用誘導(dǎo)公式化簡求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)

題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.若xG(0,2n),則使A/1-sin2x=sinx-cosx成立的x的取值范圍是.

參考答案：

兀5兀

【考點】三角函數(shù)的化簡求值.

【分析】把根式內(nèi)部的代數(shù)式化為完全平方式的形式，由已知等式可得sinxecosx,再由

已知x的范圍求得x的具體范圍.

【解答】解：

-222=

?/sin2x=Vsinx+cosx~2sinxcosx=V(sinx-cosx)Isinx-cosx|-sinx

-cosx,

sinx^cosx,又xG(0,2"),

n5兀

.,.xe[44].

715-

故答案為：eiT'~T].

12.已知集合沖一4,8={(")[y=x+網(wǎng)，且Zc5“，則實數(shù)

附的取值范圍是

參考答案：

[-7,772]

13.在AABC中，M是BC的中點，AM=3,點P在AM上且滿足方=2而，則

PA'(PB+PC)=.

參考答案：

-4

【考點】平面向量數(shù)量積的運算.

【專題】計算題.

【分析】先根據(jù)AM=3,點P在AM上且滿足方=2誣，求方|的值，再根據(jù)M是BC的中

點，計算通+正，最后計算威?(麗+正)即可.

解：VAM=3,點P在AM上且滿足萩=2詢，A|AP=2

：M是BC的中點，,PB+PC=2W=AP

.-.PA*(PB+PC)=PA?AP=-IAP|2=-4

故答案為-4

【點評】本題考查了向量的加法與向量的數(shù)量積的運算，屬基礎(chǔ)題，必須掌握.

14.函數(shù)y+3恒過定點。

參考答案：

(3,4)

略

15.已知函數(shù)產(chǎn)=湎二杳歹>"€口2對于滿足<巧<2的任意不，?，給出下列

結(jié)論：

①/&)_/(R)一反；②'/(區(qū))>；

③區(qū)一^X/U2)-/(xj)]<o④(--oXA/)-/(^)1>0

其中正確結(jié)論的序號是.

參考答案：

②③

16.已知向量）與否的夾角為120,且|a|=2,巧|=1,則|。+25|=

參考答案：

2

17.已知事件在矩ABCD的邊CD上隨意取一點P,使得4APB的最大邊是AB發(fā)生的概率為

1_AD

2,貝尾=

參考答案:

VI

4

【考點】幾何概型.

【分析】先明確是一個幾何概型中的長度類型，然后求得事件”在矩形ABCD的邊CD上隨

機取一點P,使AAPB的最大邊是AB”發(fā)生的線段長度，再利用兩者的比值即為發(fā)生的概

1AD

率2,從而求出屈

【解答】解:記“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P,使aAPB的最大邊是AB”為事件

M,試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的長度即為線段CD,

1

構(gòu)成事件M的長度為線段CD其一半，根據(jù)對稱性，當PD=WCD時，AB=PB,如圖.

設(shè)CD=4x,則AF=DP=x,BF=3x,再設(shè)AD=y,

則PB=7BF2+PF2=V9x2+y2,

丁力工近ADVI

x/+y=4x,解得4x=4,從而AB=4.

近

故答案為：4.

DPEC

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知動圓C經(jīng)過點力（2,一3）和8（-2,-5）

（I）當圓C面積最小時，求圓C的方程；

（II）若圓C的圓心在直線3x+y+5=°上，求圓C的方程。

參考答案：

（I）要使圓C的面積最小，則為圓C的直徑，______2分

同、。（0,-4）出］=訝明=3

圓心'」,￥任乙----------4分

所以所求圓c的方程為：,+（?+4）2=5__________6分

k=2

（H）法一：因為期一5,中點為（a）,

所以幺H中垂線方程為y+4=一如，即2x+y+4=0_________8夕

2x+y+4=0fx=-l

<

解方程組［3x+v+5=。得：U=-2,所以圓心C為______

根據(jù)兩點間的距離公式，得半徑廠=/記，____________11分

因此，所求的圓C的方程為@+1）2+8+2）2=10______J2分

法二：設(shè)所求圓c的方程為（x_a）2+Cy_gy=戶，

根據(jù)已知條件得

’(2-4+(-3-與2=戶

<(―2—a(+(—5—占尸=/

3d+3+5=0

---------6分

a=-1

=<8=-2

所以所求圓c的方程為（X+1）2+O+2）2=10._________]2分

略

/（x）=|x|+—-1,

19.已知函數(shù)X（XHO）

（I）若對任意xwR,不等式/（2X）＞0恒成立，求冽的取值范圍;

（2）討論函數(shù)/（/零點的個數(shù).

參考答案：

,”、、仆|2”|："-彳一1＞°

解：（1）由〃2）＞0得?2',

變形為（2"），-2”+演＞0,即加＞2*—（2y

---2分

2,一⑵)2=一(2"-與+!

而24,

2X=-

當2即x=T產(chǎn)”3,

所以

1

m>—

4

-------------6分

(2)由/(工)=0可得x|x|-x+，=0(xw0),變?yōu)榛?_x|x|+x(xwO)

?-x*-x,x?>C

令烈X；=x-x

|x:-x,x<C

■9分

作)=Z(x的圖像及直統(tǒng)；=，，:，由曲像可想：

當也>1或也<時，有1人零點.

44

當，”=：或”：=(：或"；=-：時，/?苜2個零點;

當。<<:或(；時，j】'x)有3i零點.

略

20.如圖，在直角梯形A8CZ)中，ABHDC,ZBAD=9QT,0?=4,JD=2,

刀。=3,點￡在CO上，且。E=2,將44Z坦沿AE折起，使得平面血，平面ABCE

(1)求證:OGJ■平面A8CE；

(2)求四棱錐ZXA8CE的體積;

BP

(3)在線段3。上是否存在點尸，使得CP〃平面3E?若存在，求麗的值；若不存

在，請說明理由.

參考答案：

之也BP=l

(1)見證明；(2)(3)BD4

【分析】

(1)證明0G1/E,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出ZJGJ■平面3CE；

(2)分別計算。G和梯形幺故茁的面積，即可得出棱錐的體積；

(3)過點C作CF〃本交41于點產(chǎn)，過點F作史P〃切交。射于點P,連接尸C,

BP

可證平面C萬〃平面40E,故CP〃平面3E,根據(jù)丑P//MJ計算BD的值.

【詳解】(1)證明：因為G為幺E中點，AD=DE=2,

所以ZJG1/E.

因為平面平面㈤JCE,

平面㈤平面=DGu平面

所以Z)G_L平面4SCE.

ADDE

(2)在直角三角形㈤JE中，易求dE=2及，則一AE

所以四棱錐刀-幺膜布的體積為

(3)過點C作〃幺E交于點尸，則/尸:m=1:3.

過點尸作FPUZD交DB于點P,連接用C,則刀尸:7?=1:3.

又因為CF//AE,ZEu平面加國b①平面底，

所以CF〃平面㈤JE.

同理口〃平面ZDE.

又因為C〃cEF=F,

所以平面CFP〃平面3E.

因為CPU平面C即，

所以CP〃平面幺迎.

3

所以在此上存在點尸，使得CP〃平面ADE,且罰一..

【點睛】本題主要考查線面垂直的性質(zhì)與判定，線面平行的性質(zhì)與判定以及四棱錐的體

積，考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力.計算柱錐臺的體積的關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相

應(yīng)的底面積和高，如果給出的幾何體不規(guī)則，需要利用求體積的一些特殊方法：分割法、

補體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法.

-----<x<O,sinx+cosx=-

21.(18)(本小題滿分12分)已知25.

(I)求sinx—cosx的值;

3sin2—-2sin-cos-4-cos2—

2222

tanx+---

(II)(II)求tanx的值

參考答案：

7

sinx-cosx=——=swc。亞2-四=(上皿2」)=-火

⑴5⑵255125

sinx+cosx=-，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2z=—,

解：(I)由525

2sinxcosx=—-.?:(sinx-cosx)2=l-2sinxcosx=—.

即2525.....4分

---<x<0,：.sinx<O.cosx>O.sinx-cosx<0,

又2

7

sinx-cosx=—

故5..............7分

(ID