8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計（第2課時）教學(xué)設(shè)計課時教學(xué)內(nèi)容本節(jié)的主要內(nèi)容是一元線性回歸模型，它是線性回歸分析的核心內(nèi)容，也是后續(xù)研究兩變量間的相關(guān)性有關(guān)問題的基礎(chǔ).通過散點圖直觀探究分析得出的直線擬合方式不同，擬合的效果就不同，它們與實際觀測值均有一定的偏差.在經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)關(guān)系的過程中，解決用數(shù)學(xué)方法刻畫從整體上看各觀測點到擬合直線的距離最小的問題，讓學(xué)生在此基礎(chǔ)上了解更為科學(xué)的數(shù)據(jù)處理方式——最小二乘法，有助于他們更好地理解核心概念“經(jīng)驗回歸直線”，并最終體現(xiàn)回歸方法的應(yīng)用價值.課時教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步掌握一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，會用相關(guān)統(tǒng)計軟件.2.了解非線性回歸模型.3.會通過分析殘差和利用R2判斷回歸模型的擬合效果.教學(xué)重點、難點重點：一元線性回歸模型的基本思想，經(jīng)驗回歸方程，最小二乘法.難點：求最小二乘估計，殘差分析.教學(xué)過程設(shè)計環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題例經(jīng)驗表明，一般樹的胸徑（樹的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹就越高由于測量樹高比測量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測樹高，在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時，某林場收集了某種樹的一些數(shù)據(jù)（表8.23），試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗回歸方程．表8.23編號123456胸徑/cm18.120.122.224.426.028.3樹高/m18.819.221.021.022.122.1編號789101112胸徑/cm29.632.433.735.738.340.2樹高/m22.422.623.024.323.924.7分析：因為要由胸徑預(yù)測樹高，所以要以成對樣本數(shù)據(jù)的胸徑為橫坐標(biāo)、樹高為縱坐標(biāo)描出散點，進(jìn)而得到散點圖，再根據(jù)散點圖推斷樹高與胸徑是否線性相關(guān)．如果是，再利用公式(2)計算出，即可．解：以胸徑為橫坐標(biāo)、樹高為縱坐標(biāo)作散點圖，得到圖8.29．在圖8.29中，散點大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兩個變量線性相關(guān)，并且是正相關(guān)，因此可以用一元線性回歸模型刻畫樹高與胸徑之間的關(guān)系．用d表示胸徑，表示樹高，根據(jù)最小二乘法，計算可得經(jīng)驗回歸方程為，相應(yīng)的經(jīng)驗回歸直線如圖8.210所示，根據(jù)經(jīng)驗回歸方程，由表8.23中胸徑的數(shù)據(jù)可以計算出樹高的預(yù)測值（精確到0.1）以及相應(yīng)的殘差，如表8.24所示表8.24編號胸徑/cm樹高觀測值/m樹高預(yù)測值/m殘差/m118.118.819.350.6220.119.219.850.7322.221.020.370.6424.421.020.920.1526.022.121.320.8628.322.121.900.2729.622.422.220.2832.422.622.920.3933.723.023.240.21035.724.323.740.61138.323.924.390.51240.224.724.860.2以胸徑為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，作殘差圖，得到圖8.211.觀察殘差表和殘差圖，可以看到，殘差的絕對值最大是0.8，所有殘差分布在以橫軸為對稱軸、寬度小于2的帶狀區(qū)域內(nèi)．可見經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了樹高與胸徑的關(guān)系，我們可以根據(jù)經(jīng)驗回歸方程由胸徑預(yù)測樹高．【師生互動】教師讓學(xué)生總結(jié)建立線性回歸模型的一般步驟.建立線性回歸模型的基本步驟：(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是響應(yīng)變量．(2)畫出解釋變量與響應(yīng)變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系等)．(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型．(4)按一定規(guī)則（如最小二乘法）估計經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù).(5)得出結(jié)果后需進(jìn)行線性回歸分析.①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.②決定系數(shù)R2取值越大，說明模型的擬合效果越好.需要注意的是：若題中給出了檢驗回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題意進(jìn)行分析檢驗即可.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念問題人們常將男子短跑100m的高水平運(yùn)動員稱為“百米飛人”．表8.25給出了1968年之前男子短跑100m世界紀(jì)錄產(chǎn)生的年份和世界紀(jì)錄的數(shù)據(jù)，試依據(jù)這些成對數(shù)據(jù)，建立男子短跑100m世界紀(jì)錄關(guān)于紀(jì)錄產(chǎn)生年份的經(jīng)驗回歸方程．表8.25編號12345678年份18961912192119301936195619601968記錄/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95以成對數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo)，世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點圖，得到圖8.212．【師生活動】師：以成對數(shù)據(jù)中的世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份為橫坐標(biāo)，世界紀(jì)錄為縱坐標(biāo)作散點圖如下圖所示.由散點圖可以看出，散點看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程.現(xiàn)在用丫表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄，f表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份，你能利用一元線性回歸模型求經(jīng)驗回歸方程嗎？在圖8.212中，散點看上去大致分布在一條直線附近，似乎可用一元線性回歸模型建立經(jīng)驗回歸方程．用Y表示男子短跑100m的世界紀(jì)錄，t表示紀(jì)錄產(chǎn)生的年份，利用一元線性回歸模型來刻畫世界紀(jì)錄和世界紀(jì)錄產(chǎn)生年份之間的關(guān)系．根據(jù)最小二乘法，由表中的數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸方程為．①將經(jīng)驗回歸直線疊加到散點圖，得到圖8.213師：在散點圖中畫出經(jīng)驗回歸直線，你能看出其中存在的問題嗎？生：得到下圖：環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念觀察：從圖8.213中可以看到，經(jīng)驗回歸方程①較好地刻畫了散點的變化趨勢，請再仔細(xì)觀察圖形，你能看出其中存在的問題嗎？以經(jīng)驗回歸直線為參照，可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗回歸方程的不足之處，以及散點的更為精細(xì)的分布特征，例如，第一個世界紀(jì)錄所對應(yīng)的散點遠(yuǎn)離經(jīng)驗回歸直線，并且前后兩時間段中的散點都在經(jīng)驗回歸直線的上方，中間時間段的散點都在經(jīng)驗回歸直線的下方，這說明散點并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征思考：你能對模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點的分布特征嗎？仔細(xì)觀察圖8.212，可以發(fā)現(xiàn)散點更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近．回顧已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象具有類似的形狀特征．注意到100m短跑的第一個世界紀(jì)錄產(chǎn)生于1896年，因此可以認(rèn)為散點是集中在曲線的周圍，其中，為未知的參數(shù)，且．【設(shè)計意圖】目的是使學(xué)生明白，不是所有的兩個變量的關(guān)系都適合用一元線性回歸模型刻畫.師：這說明散點并不是隨機(jī)分布在經(jīng)驗回歸直線的周圍，而是圍繞著經(jīng)驗回歸直線有一定的變化規(guī)律，即成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的非線性相關(guān)的特征.師:你能對模型進(jìn)行修改，以使其更好地反映散點的分布特征嗎？生:仔細(xì)觀察散點圖，可以發(fā)現(xiàn)散點更趨向于落在中間下凸且遞減的某條曲線附近.回顧已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象具有類似的形狀特征.【設(shè)計意圖】提醒學(xué)生需熟悉常見非線性函數(shù)模型的特點.用上述函數(shù)刻畫數(shù)據(jù)變化的趨勢，這是一個非線性經(jīng)驗回歸函數(shù)，其中，是待定參數(shù)．現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為如何利用成對數(shù)據(jù)估計參數(shù)和．為了利用一元線性回歸模型估計參數(shù)和，我們引進(jìn)一個中間變量x，令．通過，將年份變量數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，得到新的成對數(shù)據(jù)(精確到0.01)，如表8.26所示．表8.26編號12345678x0.002.833.263.563.714.114.174.29Y/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95如果表8.26對應(yīng)的散點圖呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征，我們就可以借助一元線性回歸模型和新的成對數(shù)據(jù)，對參數(shù)和作出估計，進(jìn)而可以得到Y(jié)關(guān)于t的非線性經(jīng)驗回歸方程．在直角坐標(biāo)系中畫出表8.26中成對數(shù)據(jù)的散點圖，如圖8.214所示，散點的分布呈現(xiàn)出很強(qiáng)的線性相關(guān)特征．因此，用一元線性回歸模型擬合表8.26中的成對數(shù)據(jù)，得到經(jīng)驗回歸方程，(*)再在圖8.214中畫出(*)式所對應(yīng)的經(jīng)驗回歸直線，得到圖8.215．(1).直接觀察法.在同一坐標(biāo)系中畫出成對數(shù)據(jù)散點圖、非線性經(jīng)驗回歸方程②的圖象(藍(lán)色)以及經(jīng)驗回歸方程①的圖象(紅色).圖8.215表明，經(jīng)驗回歸方程(*)對于表8.26中的成對數(shù)據(jù)具有非常好的擬合精度．將圖8.215習(xí)圖8．213進(jìn)行對比，可以發(fā)現(xiàn)和之間的線性相關(guān)程度比原始樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度強(qiáng)得多．將代入式，得到由創(chuàng)紀(jì)錄年份預(yù)報世界紀(jì)錄的經(jīng)驗回歸方程 ②在同一坐標(biāo)系中畫出成對數(shù)據(jù)散點圖、非線性經(jīng)驗回歸方程②的圖象（藍(lán)色）以及經(jīng)驗回歸方程①的圖象（紅色），表明非線性經(jīng)驗回歸方程②對于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗回歸方程①．【師生活動】師：對于通過創(chuàng)紀(jì)錄時間預(yù)報世界紀(jì)錄的問題，我們建立了兩個回歸模型，得到了兩個經(jīng)驗回歸方程①②，你能判斷哪個經(jīng)驗回歸方程擬合的精度更好嗎？生：散點圖中各散點都非?？拷诘膱D象，表明非線性經(jīng)驗回歸方程②對于原始數(shù)據(jù)的擬合效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于經(jīng)驗回歸方程①.【設(shè)計意圖】分析兩個模型的擬合效果，由比較不同回歸模型擬合效果的需要，引出評價模型好壞的指標(biāo).環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念下面通過殘差來比較這兩個經(jīng)驗回歸方程對數(shù)據(jù)刻畫的好壞．在表8.25中，用表示編號為的年份數(shù)據(jù)，用表示編號為的紀(jì)錄數(shù)據(jù)，則經(jīng)驗回歸方程①和②的殘差計算公式分別為（2).殘差分析:殘差平方和越小,模型擬合效果越好.兩個經(jīng)驗回歸方程的殘差（精確到0.001)如表8.27所示．觀察各項殘差的絕對值，發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗回歸方程②遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于①，即經(jīng)驗回歸方程②的合效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①．表8.25編號12345678t189619121921193019361956196019680.5910.2840.3010.2180.1960.1110.0920.2050.0010.0070.0120.0150.0180.0520.0210.022在一般情說下，直接比較兩個模型的殘差比較困難，因為在某些散點上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些散點的情況則相反．可以通過比較殘差的平方和來比較兩個模型的效果．由 ，．可知小于．因此在殘差平方和最小的標(biāo)準(zhǔn)下，非線性回歸模型的擬合效果要優(yōu)于一元線性回歸模型的擬合效果．（3）.利用決定系數(shù)刻畫回歸效果.也可以用決定系數(shù)來比較兩個模型的擬合效果，的計算公式為在表達(dá)式中，與經(jīng)驗回歸方程無關(guān)，殘差平方和與經(jīng)驗回歸方程有關(guān)．因此越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差．由表8.27容易算出經(jīng)驗回歸方程①和②的分別約為0.7325和0.9983，因此經(jīng)驗回歸方程②的刻畫效果比經(jīng)驗回歸方程①的好很多．用新的觀測數(shù)據(jù)來檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合效果另外，我們還可以用新的觀測數(shù)據(jù)來檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合效果．事實上，我們還有1968年之后的男子短跑100m世界記錄數(shù)據(jù)，如表8.28所示．表8.28編號9101112131415年份1983198819911991199419961999記錄/s9.939.929.909.869.859.849.79編號161718192021年份200220052007200820081009記錄/s9.789.779.749.729.699.58在散點圖8.212中，繪制表8.28中的散點（綠色），再添加經(jīng)驗回歸方程①所對應(yīng)的經(jīng)驗回歸直線（紅色），以及經(jīng)驗回歸方程②所對應(yīng)的經(jīng)驗回歸曲線（藍(lán)色），得到圖8.217顯然綠色散點分布在藍(lán)色經(jīng)驗回歸曲線的附近，遠(yuǎn)離紅色經(jīng)驗回歸直線，表明經(jīng)驗回歸方程②對于新數(shù)據(jù)的預(yù)報效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于①．環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化思考：在上述問題情境中，男子短跑100m世界紀(jì)錄和紀(jì)錄創(chuàng)建年份之間呈現(xiàn)出對數(shù)關(guān)系，能借助于樣本相關(guān)系數(shù)刻畫這種關(guān)系的強(qiáng)弱嗎？在使用經(jīng)驗回歸方程進(jìn)行預(yù)測時，需要注意下列問題：（1）經(jīng)驗回歸方程只適用于所研究的樣本的總體．例如，根據(jù)我國父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程，不能用來描述美國父親身高與兒子身高之間的關(guān)系．同樣，根據(jù)生長在南方多雨地區(qū)的樹高與胸徑的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程，不能用來描述北方干旱地區(qū)的樹高與胸徑之間的關(guān)系．（2）經(jīng)驗回歸方程一般都有時效性．例如，根據(jù)20世紀(jì)80年代的父親身高與兒子身高的數(shù)據(jù)建立的經(jīng)驗回歸方程，不能用來描述現(xiàn)在的父親身高與兒子身高之間的關(guān)系．（3）解釋變量的取值不能離樣本數(shù)據(jù)的范圍太遠(yuǎn)．一般解釋變量的取值在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，經(jīng)驗回歸方程的預(yù)報效果會比較好，超出這個范圍越遠(yuǎn)，預(yù)報的效果越差．（4）不能期望經(jīng)驗回歸方程得到的預(yù)報值就是響應(yīng)變量的精確值．事實上，它是響應(yīng)變量的可能取值的平均值．師生互動：學(xué)生總結(jié)建立非線性回歸模型的基本步驟.教師及時補(bǔ)充完善.建立非線性經(jīng)驗回歸模型的基本步驟：1.確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應(yīng)變量；2.由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；3.通過變換，將非線性經(jīng)驗回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸模型；4.按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程；6.得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常．判斷模型的擬合效果的依據(jù)如下：①殘差平方和越小，模型的擬合效果越好.②決定系數(shù)斤取值越大,說明模型的擬合效果越好.需要注意的是:若題中給出了檢驗回歸方程是否理想的條件，則根據(jù)題意進(jìn)行分析檢驗即可.【設(shè)計意圖】探索非線性回歸分析問題的求解方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？(1)非線性回歸模型.(2)決定系數(shù).2．比較兩個模型擬合效果的方法：(1)殘差法，殘差越大，擬合效果越差；殘差越小，擬合效果越?。?2)R2法，R2越接近1，擬合效果越好，R2越接近0，擬合效果越差．3．對于線性回歸模型與非線性回歸模型，當(dāng)數(shù)據(jù)的散點圖分布在直線帶狀區(qū)域內(nèi)，則選用線性回歸模型刻畫；當(dāng)數(shù)據(jù)的散點分布在曲線帶狀區(qū)域內(nèi)，要先對數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)變換，再利用線性回歸模型進(jìn)行擬合．4.在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？轉(zhuǎn)化與化歸思想.【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第121頁習(xí)題8.2第4題.【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。練習(xí)（第120頁）1．在回歸分析中，分析殘差能夠幫助我們解決哪些問題？1．【解析】分析殘差可以幫助我們解決以下幾個問題：（1）尋找殘差明顯比其他殘差大很多的異常點，如果有，檢查相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)是否有錯．（2）分析殘差圖可以診斷選擇的模型是否合適，如果不合適，可以參考?xì)埐顖D提出修改模型的思路．2．19972006年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的數(shù)據(jù)如下：年份GDP/億元年份GDP/億元199779715.02002121717.4199885195.52003.137422.0199990564.42004161840.22000100280.12005187318.92001110863.12006219438.5（1）作GDP和年份的散點圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系可以用什么模型描述；（2）建立年份為解釋變量，GDP為響應(yīng)變量的一元線性回歸模型，并計算殘差；（3）根據(jù)你得到的一元線性回歸模型，預(yù)測2017年的GDP，看看你的預(yù)測值與實際的GDP的誤差是多少；（4）你認(rèn)為這個模型能較好地刻畫GDP和年份的關(guān)系嗎？請說明理由（5）隨著時間的發(fā)展，又收集到2007—2016年的GDP數(shù)據(jù)如下：年份GDP/億元年份GDP/億元2007270232.32012540367.42008319515.52013595244.42009349081.42014643974.02010413030.32015689052.12011489300.62016744127.2建立年份（19972016）為解釋變量，GDP為響應(yīng)變量的經(jīng)驗回歸方程，并預(yù)測2017年的GDP，與實際的GDP誤差是多少？你能發(fā)現(xiàn)什么？2．【解析】（1）畫GDP與年份的散點圖，如圖所示，可以觀察到隨著年份的增加GDP也隨之增加，GDP值與年份呈現(xiàn)近似線性關(guān)系，可以用一元線性回歸模型刻畫．（2）用表示GDP的值，表示年份，用一元線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計軟件計算，得到經(jīng)驗回歸方程為，殘差的計算結(jié)果見下表．年份19971998199920002001殘差1712677521734687311145年份20022003200420052006殘差15145142964732589223157（3）2017年的GDP預(yù)報值為359684億元，2017年的實際的GDP為820754億元，預(yù)測值比實際值少461070億元．（4）上面建立的回歸方程的，說明在19972006年內(nèi)，該模型年份能夠解釋92.13%的GDP值變化，因此所建立的模型較好地刻畫了GDP和年份的關(guān)系．但因為殘差呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，中間是負(fù)數(shù)，兩邊是正數(shù)，所以可以考慮用非線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)．（5）仍用表示GDP的值，表示年份，用一元線性回歸模型擬合19972016年的數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計軟件計算，得到經(jīng)驗回歸方程為．利用上述模型，預(yù)測2017年的GDP值為704025億元，而2017年GDP的實際值820754億元，預(yù)測值比實際值少116729億元．通過兩個模型預(yù)測2017年的GDP值，發(fā)現(xiàn)第2個模型預(yù)測的更準(zhǔn)確，說明建立的模型自變量的取值范圍決定了模型的適用范圍，通常不能超出太多，否則會出現(xiàn)較大的誤差．習(xí)題8.2（第120頁）1．如果散點圖中所有的散點都落在一條斜率為非0的直線上，請回答下列問題：（1）解釋變量和響應(yīng)變量的關(guān)系是什么？（2）是多少？1．【解析】（1）解釋變量和響應(yīng)變量是線性函數(shù)關(guān)系．（2）．2．一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進(jìn)行了10次試驗，收集數(shù)據(jù)如表所示．零件數(shù)/個102030405060708090100加工時間/min626875818995102108115122（1）畫出散點圖；（2）建立加工時間關(guān)于零件數(shù)的一元線性回歸模型；（3）關(guān)于加工零件的個數(shù)與加工時間，你能得出什么結(jié)論？2．（1）散點圖如圖所示．（2）用表示零件加工時間，表示零件數(shù)．利用統(tǒng)計軟件計算，得到經(jīng)驗回歸方程為．（3）零件數(shù)每增加一個，加工時間平均增加．3．根據(jù)8.1.2節(jié)例2中某城市居民年收入與A商品銷售額的數(shù)據(jù)：（1）建立A商品銷售額關(guān)于居民年收入的一元線性回歸模型；（2）如果這座城市居民的年收入達(dá)到40億元，估計A商品的銷售額是多少．3．（1）先畫A商品銷售額與居民年收入的散點圖，如圖所示．用表示A商品銷售額，x表示居民年收入，利用統(tǒng)計軟件計算，得到經(jīng)驗回歸方程為．（2）如果這座城市居民年收入達(dá)到40億元，估計A商品的銷售額約為萬元．4．人口問題是關(guān)乎國計民生的大問題．下表是1949—2016年我國的人口總數(shù)（摘自中國統(tǒng)計年鑒—2017）年份總?cè)丝?萬人年份總?cè)丝?萬人年份總?cè)丝?萬人194954167198210165420001267431950551961983103008200112762719515630019841043572002128453195561465198510585120031292271960662071986107507200412998819657253819871093002005130756197082992198811102620061314481971852291989112704200713212919728717719901143332008132802197389211199111582320091334501974908591992117171201013409119759242019931185172011134735197693717199411985020121354041977949741995121121201313607219789625919961223892014136782197997542199712362620151374621980987051998124761201613827119811000721999125786（1）畫出散點圖；（2）建立總?cè)丝跀?shù)關(guān)于年份的一元線性回歸模型；（3）直接用上面建立的回歸模型預(yù)測2020年的我國人口總數(shù)，得到的結(jié)果合理嗎？為什么？4．（1）畫人口總數(shù)與年份的散點圖，如圖所示．（2）用表示人口總數(shù)，表示年份．利用統(tǒng)計軟件計算，得到經(jīng)驗回歸方程．（3）利用經(jīng)驗回歸方程得到2020年我國人口總數(shù)的預(yù)測值為149850萬人．得到的這個預(yù)測結(jié)果不合理．將擬合直線畫在散點圖上，可以看到，2000年以后，我國人口總數(shù)的增長速度逐漸平穩(wěn)且呈下降趨勢，因此運(yùn)用上述經(jīng)驗回歸模型預(yù)測2020年我國的人口總數(shù)會出現(xiàn)高估．也可以通過觀察殘差圖，看到殘差具有中間為正，兩邊為負(fù)的特點．可以考慮用其他統(tǒng)計模型擬合數(shù)據(jù)．5．在某地區(qū)的一段時間內(nèi)觀測到的不小于某震級x的地震數(shù)N的數(shù)據(jù)如下表：震級x3.03.23.43.63.84.04.24.44.64.85.0地震數(shù)N28381203801479510695764155023842269819191356973震級x5.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0地震數(shù)N74660443527420614898574125試建立經(jīng)驗回歸方程表示二者之間的關(guān)系，該模型對預(yù)測地震有幫助嗎？5．先畫地震數(shù)與震級的散點圖，如圖(1)所示．從散點圖可以看出，震級與不小于該震級的地震數(shù)之間不線性相關(guān)．從圖中可以看出，隨著的增加，所考察的地震數(shù)近似地以指數(shù)形式衰減．作變換，得到的數(shù)據(jù)見下表．震級x3.03.23.43.63.84.0 4.24.24.44.64.85.0y4.4534.3094.1704.0293.8833.7413.5853.4313.2833.1322.988震級x5.25.45.65.86.06.26.46.66.87.0—y2.8732.7812.6382.4382.3142.1701.9911.7561.6131.398一和的散點圖如圖（2）所示．從這個散點圖中可以看出和之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，因此可以用一元線性回歸模型擬合它們之間的關(guān)系．利用統(tǒng)計軟件計算，可得模型參數(shù)的最小二乘估計，，從而經(jīng)驗回歸方程為．其決定系數(shù)，說明可以解釋的99.73%的變化．因此可以用經(jīng)驗回歸方程描述和之間的關(guān)系．該模型不能直接用于預(yù)報地震，因為它不能預(yù)報何時發(fā)生地震，震級是多少．6．生活中有許多變量之間的關(guān)系是值得我們?nèi)パ芯康模?，?shù)學(xué)成績、物理成績和化學(xué)成績兩兩之間是相關(guān)的嗎？哪兩個學(xué)科成績之間相關(guān)性更大，你能解釋其中的原因嗎？語文成績對數(shù)學(xué)成績有影響嗎？等等，請用你們班的某次考試成績，研究它們之間的關(guān)系如果它們之間有關(guān)系，請建立統(tǒng)計模型進(jìn)行分析．閱讀與思考回歸與相關(guān)回歸分析法和相關(guān)分析法是統(tǒng)計學(xué)中的兩種重要方法，前者用于由一個變量的變化去推測另一個變量的變化，后者研究隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系，它們是由英國科學(xué)家高爾頓創(chuàng)立的．高爾頓的科研興趣十分廣泛，在地理學(xué)、氣象學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、心理學(xué)、人類學(xué)等眾多領(lǐng)域都有建樹他在遺傳學(xué)的研究中發(fā)現(xiàn)了一個令人困惑的問題，通常，高個子的人會和高個子的人結(jié)婚，矮個子的人會和矮個子的人結(jié)婚，而人類的遺傳是把上一代的優(yōu)勢性狀傳遞給下一代這樣，在人群中，高個子、矮個子的比例都應(yīng)逐漸增多，而中等個子的比例應(yīng)逐漸下降．但事實并非如此，為什么呢？這個問題一直縈繞在他的心