專題04向量的數(shù)量積知識(shí)聚焦考點(diǎn)聚焦知識(shí)點(diǎn)一、向量的數(shù)量積1、向量的夾角（1）定義：已知兩個(gè)非零向量，，是平面上的任意一點(diǎn)，作，，則（）叫做向量與的夾角．（2）性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向．（3）向量垂直：如果與的夾角是，我們說(shuō)與垂直，記作．2、向量數(shù)量積的定義（1）定義：非零向量與，它們的夾角為，數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)；（2）記法：向量與的數(shù)量積記作，即；零向量與任一向量的數(shù)量積為0；3、投影向量（1）設(shè)，是兩個(gè)非零向量，，，考慮如下變換：過(guò)的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．（2）在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，，過(guò)點(diǎn)M作直線的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量，且．（3）幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度||與在的方向上的投影的乘積。4、向量數(shù)量積的物理背景如果一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功就等于力與位移的數(shù)量積，即，其中是與的夾角。知識(shí)點(diǎn)二、向量數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律1、向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，都是非零向量，是單位向量，θ為與(或)的夾角．則（1）；（2）；（3）當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；特別地，或；（4）cosθ＝；（5）2、向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律（1）；（3）(λ為實(shí)數(shù))；（3）；（4）兩個(gè)向量，的夾角為銳角?且，不共線；兩個(gè)向量，的夾角為鈍角?且，不共線．（5）平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式知識(shí)點(diǎn)三、求平面向量數(shù)量積的方法1、定義法：若已知向量的模及夾角，則直接利用公式，運(yùn)用此法計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個(gè)向量的夾角，條件是兩向量的始點(diǎn)必須重合，否則，要通過(guò)平移使兩向量符合以上條件；2、運(yùn)算律轉(zhuǎn)化法：由可得如下運(yùn)算公式：；；；3、向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化法：涉及平面圖形中向量的數(shù)量積的計(jì)算時(shí)，要結(jié)合向量的線性運(yùn)算，將未知向量轉(zhuǎn)化為已知向量求解?？键c(diǎn)剖析考點(diǎn)1向量數(shù)量積的概念辨析【例1】（2023·高一單元測(cè)試）以下關(guān)于兩個(gè)非零向量的數(shù)量積的敘述中，錯(cuò)誤的是（）A．兩個(gè)向量同向共線，則他們的數(shù)量積是正的B．兩個(gè)向量反向共線，則他們的數(shù)量積是負(fù)的C．兩個(gè)向量的數(shù)量積是負(fù)的，則他們夾角為鈍角D．兩個(gè)向量的數(shù)量積是0，則他們互相垂直【答案】C【解析】對(duì)于任意得兩個(gè)非零向量，，其中.若兩個(gè)非零向量同向共線，則，，，故A正確；若兩個(gè)非零向量反向共線，則，，，故B正確；若這兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是負(fù)的，則，，故C錯(cuò)誤；若兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是0，則，，互相垂直，故D正確.故選:C.【變式11】（2023·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）下列命題中正確的是（）A．B．C．若，則D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于B：若時(shí)，與的方向可能不同，與可能不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若時(shí)，即，所以，得不出，故D錯(cuò)誤．故選：B．【變式12】（2023·陜西咸陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）在等式①；②；③；④若，且，則；其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】零向量與任何向量的數(shù)量積都為0，故①錯(cuò)誤；0乘以任何向量都為零向量，故②正確；向量的加減、數(shù)乘滿足結(jié)合律，而向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故③錯(cuò)誤；不一定有，如滿足條件，結(jié)論不成立，故④錯(cuò)誤；故選：A【變式13】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）A．對(duì)任意向量，都有B．若且，則C．對(duì)任意向量，都有D．對(duì)任意向量，都有【答案】AD【解析】，，可得，故選項(xiàng)A正確；由可得，又，可得或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，所以不一定成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律可知選項(xiàng)D正確；故選：AD.考點(diǎn)2向量數(shù)量積的運(yùn)算【例2】（2023·河南·高一校考階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的等邊中，的值是（）A．4B．C．2D．【答案】D【解析】∵，向量與的夾角為120°，∴.故選：D【變式21】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量、滿足，，且與夾角的余弦值為，則（）A．B．C．D．12【答案】A【解析】依題意，，所以.故選：A【變式22】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，向量與的夾角都是，且，試求（1）；（2）．【答案】（1）11；（2）【解析】（1）向量，向量與的夾角都是，且，，；（2）【變式23】（2023·湖北荊州·高一沙市中學(xué)?？计谥校┮阎呴L(zhǎng)為1的菱形中，角，則.【答案】【解析】設(shè)向量，且，，因?yàn)?，可得，，所?【變式24】（2023·安徽馬鞍山·高一當(dāng)涂第一中學(xué)校考期中）如圖，在中，為線段上一點(diǎn)，若，，且與的夾角為，則的值為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以?考點(diǎn)3利用數(shù)量積求向量模長(zhǎng)【例3】（2023·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，且與的夾角為，則（）A．12B．16C．D．【答案】C【解析】由題意可知：，所以.故選：C.【變式31】（2023·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）已知平面向量，滿足，，與的夾角為，則的值為.【答案】【解析】，故.【變式32】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若平面向量?jī)蓛傻膴A角相等，且，則（）A．2B．5C．2或5D．或【答案】C【解析】當(dāng)兩兩的夾角均為0°時(shí)，顯然；當(dāng)兩兩的夾角均為120°時(shí)，，故選：C.【變式33】（2023·河南·高一濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，滿足，，，則．【答案】【解析】由可知，所以.【變式34】（2023·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)、、、為四個(gè)互不相同的點(diǎn)，且在同一圓周上，若，且，則.【答案】【解析】，，為圓的直徑，如圖所示：設(shè)，則為圓的直徑，連接，，，．考點(diǎn)4利用數(shù)量積求向量夾角【例4】（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┮阎蛄浚?，，則向量與的夾角大小為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，而，故，故選：B.【變式41】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）若，，且，則與的夾角為；【答案】【解析】由已知可得，，所以，，所以，.又，所以.【變式42】（2023·湖南常德·高一階段練習(xí)）已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，設(shè)向量，，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知可得，，所以，，，所以，，所以，，所以，.故選：C.【變式43】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知單位向量，滿足，若向量，則．【答案】【解析】由已知得，，所以．【變式44】（2023·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）在任意四邊形中，點(diǎn)，分別在線段，上，且，，，，，則與夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，則①，又②，由①+②可得，即，故，設(shè)與夾角為，則，解得.故選：C．考點(diǎn)5兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題【例5】（2023·高一單元測(cè)試）（多選）是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量滿足，，則下列結(jié)論不正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】在中，由，得，故A錯(cuò)誤；又，且，所以，所以，故B，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ABC.【變式51】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）若向量，滿足，且，，則（）．A．2B．C．1D．【答案】D【解析】設(shè)，由已知可得，，所以.又，所以，解得（舍去負(fù)值），所以，.故選：D.【變式52】（2023·遼寧鐵嶺·高一西豐縣高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎橇阆蛄繚M足，則與的夾角為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以，將代入第一個(gè)式子可得：，所以，即.設(shè)向量與的夾角為，則，因?yàn)?，所以向量與的夾角大小為.【變式53】（2023·河南新鄉(xiāng)·高一?？茧A段練習(xí)）已知單位向量，的夾角為，，，若，則實(shí)數(shù).【答案】【解析】由題意，，即，解得.【變式54】（2023·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，與的夾角為45°，要使與垂直，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若與垂直，則，即，所以.故選：A考點(diǎn)6投影及投影向量【例6】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量與的夾角為，，則向量在上的投影向量為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知，向量且向量與的夾角為，所以向量在上的投影為，又因?yàn)?，所以向量在上的投影向量?故選：A.【變式61】（2023·湖北·高一仙桃中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為單位向量，，向量，的夾角為，則在上的投影向量是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知，向量，的夾角為，得，又已知為單位向量，則在上的投影向量是.故選：D.【變式62】（2023·云南昆明·高一?？茧A段練習(xí)）已知非零向量滿足，，則在方向上的投影向量的模為．【答案】【解析】在方向上的投影向量為，為與同向的單位向量，在方向上的投影向量的模長(zhǎng)為；，，，，即所求模長(zhǎng)為.【變式63】（2023·河南新鄉(xiāng)·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)單位向量?的夾角為，，，則在方向上的投影為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，，故在方向上的投影為.故選：A考點(diǎn)7由數(shù)量積判斷三角形形狀【例7】（2023·河北石家莊·高一校考期中）在中，若，則的形狀是（）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解析】在中，由，得，即，因此，即，所以是等腰三角形.故選：C【變式71】（2023·山東菏澤·高一鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，則的形狀是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．不能確定【答案】D【解析】由題意，，又，為銳角，但另外兩角不能確定，故的形狀不能確定.故選：D.【變式72】（2023·貴州黔西·高一?？茧A段練習(xí)）若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形【答案】B【解析】由，可得，即，，等式兩邊平方，化簡(jiǎn)得，，因此，是直角三角形.故選：B.【變式73】（2023·上海浦東新·高一?？茧A段練習(xí)）在中，若，則的形狀是.【答案】等腰三角形【解析】，，即，為等腰三角形.考點(diǎn)8求向量數(shù)量積的最值【例8】（2023·山東青島·高一統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)是邊長(zhǎng)為2的正的內(nèi)部（不包括邊界）的一個(gè)點(diǎn)，由圖象知：，所以，故選；C【變式81】（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）中，，，，點(diǎn)C是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．2【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)C是線段上的動(dòng)點(diǎn)，所以,所以因?yàn)辄c(diǎn)D是的中點(diǎn),所以,所以,又，，，即所以，，又，所以當(dāng)時(shí)，的最小值.故選：B.【變式82】（2023·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┤鐖D，邊長(zhǎng)為2的菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為.【答案】【解析】由題菱形邊長(zhǎng)為2，則，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，令，則，所以，則當(dāng)時(shí)，取最小值為.【變式83】（2023·安徽池州·高一校聯(lián)考期中）已知菱形的邊長(zhǎng)為1，，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）．A．1B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)，，∴的最大值為．故選:D．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2023·高一單元測(cè)試）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（）A．6B．8C．10D．14【答案】B【解析】由，且與的夾角為，所以.故選：B.2．（2023·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）在中，，，，則（）A．B．16C．D．9【答案】B【解析】由題意得在中，,故由，，，得，即，即，故，故選：B3．（2023·新疆喀什·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量，滿足，，，則與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)向量的夾角為，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，，可得，解得，因?yàn)?，可?故選：B.4．（2023·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)?？计谀┤?，是夾角為的兩個(gè)單位向量，且與的夾角為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)椋菉A角為的兩個(gè)單位向量，所以，故，，，故，由于，故.故選：B.5．（2023·山東菏澤·高一東明縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若平面向量，，，兩兩的夾角相等，且，，，則（）．A．2B．4或C．5D．2或5【答案】D【解析】因?yàn)槠矫嫦蛄?，，兩兩的夾角相等，所以?shī)A角有兩種情況，即，，兩兩的夾角為或,當(dāng)夾角為時(shí)，，當(dāng)夾角為時(shí)，，所以或，故選：D．6．（2023·吉林·高一榆樹(shù)市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)校校聯(lián)考期末）如圖，已知，，，任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】由題意得，分別是線段，的中點(diǎn)，，所以.故選：B.7．（2023·河南·高一濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若向量與向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影向量是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，且，則，即，又，所以，所以向量在向量方向上的投影向量是.故選：D8．（2023·北京海淀·高一清華附中?？计谀┮阎?，，，則的最大值為（）A．1B．2C．D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，即，即，即，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取最大值，最大值為.故選：B二、多選題9．（2023·貴州貴陽(yáng)·高一?？茧A段練習(xí)）如果是兩個(gè)單位向量，那么下列四個(gè)結(jié)論中不正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】CD選項(xiàng)，是兩個(gè)單位向量，故，，C錯(cuò)誤，D正確；AB選項(xiàng)，只是模長(zhǎng)相等，方向未知，則不一定相等，不一定等于1，故AB不正確，故選：ABC10．（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期中）已知矩形的面積為，則（）A．5B．3C．D．【答案】AD【解析】設(shè)，則，解得，或，所以，所以當(dāng)時(shí)，，或當(dāng)時(shí)，，故選：AD11．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┤粝蛄繚M足，，則（）A．B．與的夾角為C．D．在上的投影向量為【答案】BC【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋?，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，且，所以在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤；故選：BC12．（2023·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（）A．B．λ、μ為非零實(shí)數(shù)，若，則與共線C．若，則D．若平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，則必有【答案】BD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)棣?、μ為非零?shí)數(shù)，，所以，所以與共線，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，若，，滿足，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，，，所以，即，即，故D正確.故選：BD三、填空題13．（2023·上?！じ咭恍？计谥校┰O(shè)向量滿足，，則．【答案】5【解析】因?yàn)?，，所?14．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知平面向量滿足，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】1或【解析】將兩邊平方，得，得，即，解得或．15．（2023·山西朔州·高一?？茧A段練習(xí)）已知與是兩個(gè)單位向量，且向量與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為．【答案】【解析】向量在向量上投影向量為