專題10數(shù)列綜合題

1.（2021?江蘇一模）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列伍,｝的前〃項(xiàng)和為S“，2S?=a；+an

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

n11

求證：一<-

（2）臺(tái)>+吭_12

2.（2021?南京二模）已知數(shù)列｛《,｝的前w項(xiàng)和為S“，且S,,=2%-2.

（1）求數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)2=21og2a“-11,數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)和為7；,求7；的最小值及取得最小值時(shí)”的值.

3.（2021?江蘇一模）已知等差數(shù)列&｝滿足］+4+|=3”+5.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式：

（2）記數(shù)列［」一］的前N項(xiàng)和為S,.若V〃eN",5“<-萬(wàn)+42（/1為偶數(shù)），求2的值.

144+J

4.（2021?江蘇一模）已知等比數(shù)列｛《,｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，公比為q,且⑷>1,數(shù)列｛《｝中

有連續(xù)四項(xiàng)在集合"=｛-96,-24,36,48,192｝中.

（1）求夕，并寫出數(shù)列｛〃“｝的一個(gè)通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和為5,,證明：數(shù)列｛SJ中的任意連續(xù)三項(xiàng)按適當(dāng)順序排列后,

可以成等差數(shù)列.

5.（2021?江蘇二模）已知等比數(shù)列他“｝的前”項(xiàng)和S“=2"+r,其中r為常數(shù).

（1）求r的值；

（2）設(shè)2=2（l+log2q,）,若數(shù)列｛〃,｝中去掉數(shù)列｛4｝的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原來(lái)的順序組成數(shù)

歹｛C"｝，求￡++q+…+。100的值?

6.（2021?江蘇二模）已知數(shù)列｛6,｝的前〃項(xiàng)和為S“，Sn+l=4an,neN*,且4=4.

（1）證明：｛4*「2%｝是等比數(shù)歹！J,并求｛q｝的通項(xiàng)公式;

（2）在①0,=4田；②b“=log。％;③〃,="空^-這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫

線上，并加以解答.

已知數(shù)列｛b?｝滿足—,求｛b,,｝的前n項(xiàng)和T?.

7.(2021?徐州模擬)數(shù)列｛《｝中，?=7且25“=〃4+4〃(”eM),其中S“為｛q｝的前"項(xiàng)

和.

(1)求｛〃“｝的通項(xiàng)公式％;

⑵證明：二■+'T+」T+...+[7＜』---—(〃wN").

a,2ai4a?239〃+3

8.（2021?無(wú)錫模擬）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,且4,+S,,=1,2=-幽上,衣代.

%+1

（1）求數(shù)列■“｝,｛〃｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)％=2'-（〃+2）,數(shù)列｛c,j的前〃項(xiàng)和為（求證：2?7；,<1.

b“b”.1164

9.（2021?江蘇模擬）己知數(shù)列｛q｝中，4=1,%=3，其前"項(xiàng)和S”滿足

5?+1+S,i=25?+2（〃..2,”eN*）?

（1）求數(shù)列伍“｝的通項(xiàng)公式：

（2）若2=%+2%，求數(shù)列應(yīng)｝的前〃項(xiàng)和7；.

10.（2021?江蘇模擬）（1）寫出一個(gè)等差數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，使｛叫滿足①a尸0,②｛￡｝

是等差數(shù)列，其中S“是｛4｝的前〃項(xiàng)和.（寫出一個(gè)就可以，不必證明）

（2）對(duì)于⑴中的｛4｝,設(shè)2=2"可，求數(shù)列出｝的前九項(xiàng)和7；.

11.（2021?蘇州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO），中，已知〃個(gè)圓C「C,與x

軸和直線/:j=V3（x+I）均相切，且任意相鄰兩圓外切，其中圓

G:（x-4）2+（y-e）2=/（掇由n,ieN）,-1<an<...<a2<a,=8>/?>0,々>0）.

（1）求數(shù)列｛”,｝的通項(xiàng)公式；

（2）記〃個(gè)圓的面積之和為S,求證：S<—n.

8

12.（2021?揚(yáng)州一模）已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S”,4=1,

條件①：an+l=an+!"'■,條件②：5?+1=an+l.

請(qǐng)?jiān)谏厦娴膬蓚€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，完成下列兩問(wèn)的解答:

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)〃=log2%,+1，記數(shù)列⑸也｝的前〃項(xiàng)和為（，求

13.（2021?淮安模擬）已知數(shù)列其前”項(xiàng)和為S,,且滿足q=2,5?+1=2a?+l.

（1）求S“；

（2）求滿足S“>/（〃..2）的最小整數(shù)

14.（2021?如皋市模擬）已知數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和為S“,已知%=3q=3,且當(dāng)n..2,neN*

時(shí)，S,“+2a,i+3S,i=4S”.

（1）證明數(shù)列5向-《,｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)〃=烏士，求數(shù)列他7｝的前〃項(xiàng)和7；.

4+丹

15.（2021?江蘇模擬）在①q=1,an+l=—^-；②4+3生+54+…+（2〃-1）4=〃：③

2%+1

_L+_L+…+_1=〃2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答：

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求｛；；；：）］："｝的前〃項(xiàng)和T“.

16.（2021?南京三模）已知等差數(shù)列｛《,｝滿足：4+3,%，4成等差數(shù)列，且4,%，4

成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛a,,｝的通項(xiàng)公式；

（2）在任意相鄰兩項(xiàng)應(yīng)與伏=1,2,…）之間插入2"個(gè)2,使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一

個(gè)新的數(shù)列｛4｝.記S"為數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和，求滿足S“<500的”的最大值.

Ia

17.（2021?常州一模）已知數(shù)列｛〃“｝滿足：??+l=ja?-l.

（1）求證數(shù)列僅“-2｝是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列出｝滿足或=2"2.q,求電｝的最大值.

18.（2021?江蘇模擬）設(shè)｛4｝是集合｛2'+2”0,,s<t,且s,feZ）中所有的數(shù)從小到大排

列成的數(shù)列，即q=3,a,=5,%=6,4=9,as=10,a6=12,....將｛a“｝各項(xiàng)按照

上小下大、左小右大的原則寫成如下的三角形數(shù)表.

（1）寫出該三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)（不必說(shuō)明理由），并求即1（）;

（2）設(shè)｛2｝是該三角形數(shù)表第n行的n個(gè)數(shù)之和所構(gòu)成的數(shù)列，求出“｝的前〃項(xiàng)和5?.

3

56

91012

19.（2021?常州一模）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q（qxl）,前”項(xiàng)和為5,.

o

（1）若q=1,5=—S,求〃3的值；

683

（2）若am+am+2=|a,?+1，且S2,“=9S,“，加wM,求m的值?

20.（2021?錫山區(qū)校級(jí)三模）若數(shù)列｛4｝滿足q=1,且存在常數(shù)4>1,使得對(duì)任意的"eN*

都有44麴3"，則稱數(shù)列&｝為'飛控?cái)?shù)列

k

（1）若公差為"的等差數(shù)列｛4｝是“2控?cái)?shù)列”，求d的取值范圍；

（2）已知公比為虱［x1）的等比數(shù)列｛b?｝的前n項(xiàng)和為S,,,數(shù)列｛b?｝與S.都是“火控?cái)?shù)列”，

求q的取值范圍（用人表示）.

21.（2021?蘇州模擬）設(shè)他“｝是等比數(shù)歹I」，公比大于0,｛"｝是等差數(shù)列，已知a,=1,

%=生+2，。5="+2b6.

（1）求｛a,,｝和他,｝的通項(xiàng)公式：

（2）設(shè)數(shù)歹IJ&｝滿足q=°2=1，c,="其中火eN*,求數(shù)歹IJ｛%（Cy—1）｝的

前〃項(xiàng)和.

22.（2021?江蘇模擬）已知數(shù)列｛4｝滿足a,=3,an+l=2an-n+l.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛%｝滿足%=二，求數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和7；.

+1）（，+1）

23.（2021?南通模擬）已知數(shù)列｛”“｝滿足：S?=2an-4n,設(shè)仇,=《,+4,c?=—.

b,

（1）求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛c“｝其前"項(xiàng)和為7；,如果7；,,,他對(duì)任意的〃GN*恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍.

24.（2021?江蘇模擬）數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5.，4=1,對(duì)任意的〃有4>0,

（1）求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛〃,｝,4=-|，V"wN*,2向（加-2）=°用，求數(shù)列0｝的通項(xiàng)公式.

25.（2021?無(wú)錫一模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為2,前〃項(xiàng)和為S,,,正項(xiàng)等比數(shù)列他“｝的首項(xiàng)

為1,且滿足％=2b-,,Ss=b2+b4.

（1）求數(shù)列｛《,｝,｛b?｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)q=（-1）"log,S?+log3h?,求數(shù)列｛c“｝的前26項(xiàng)和.

26.（2021?江蘇模擬）在①也-5+1）%=/+〃，②35.=（〃+2）q,,③7；”="士圓也

n

這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答下列題目.

設(shè)首項(xiàng)為2的數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，前〃項(xiàng)積為7；,且_______.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)2=（-l）Z，求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.

27.（2021?濱?？h校級(jí)模擬）已知數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為S“，S?=2"+'-2,數(shù)列｛2｝滿足

偽=2,=6,數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列.

n

（1）求｛%｝與｛"｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)%=出+,，數(shù)列｛或｝的前"