微積分發(fā)展史微積分的創(chuàng)建與解析幾何的發(fā)明一同，標(biāo)志著文藝復(fù)興后歐洲近代數(shù)學(xué)的興起。解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，它將變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，使運動與變化的定量表述成為能夠，從而為微積分的創(chuàng)建搭起了舞臺。微積分的思想萌芽，特別是積分學(xué)，部分可以追潮到古代。我們曾經(jīng)知道，面積和體積的計算自古以來不斷是數(shù)學(xué)家們感興趣的課題，在古代希措、中國和印度數(shù)學(xué)家們的著述中，不乏用無窮小過程計算特殊外形的面積、體積和曲線長的例子。前面曾經(jīng)引見過阿基米德、劉微和祖沖之父子等人的方法，他們的任務(wù)，確實是人們建立普通積分學(xué)的漫長努力的先驅(qū)。與積分學(xué)相比而言，微分學(xué)的來源那么要晚得多。刺激微分學(xué)開展的主要科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大極小值等問題。古希臘學(xué)者曾進(jìn)展過作曲線切線的嘗試，如阿基米德<論螺線>中給出過確定螺線在給定點處的切線的方法；阿波羅尼奧斯<圓錐曲線論>中討論過圓錐曲線的切線，等等。但一切這些都是基于靜態(tài)的觀念古代與中世紀(jì)中國學(xué)者在天文歷法研討中曾涉及到天體運動的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問題，如郭守敬<按時歷>中求“月離遲疾〞(月亮運轉(zhuǎn)的最快點和最慢點)、求月亮白赤道交點與黃赤道交點間隔的極值(郭守敬甚至稱之為“極數(shù)〞)等問題，但東方學(xué)者以慣用的數(shù)值手段(“招差術(shù)〞，即有限差分計算)來處置，從而逃避了延續(xù)變化率。總之，在17世紀(jì)以前，真正意義上的微分學(xué)研討的例子可以說是很稀有的。一、微積分的醞釀近代微積分的醞釀，主要是在17世紀(jì)上半葉這半個世紀(jì)。為了了解這一醞釀的背景，我們首先來賂微回想一下這一時期自然科學(xué)的普通情勢和天文、力學(xué)等領(lǐng)域發(fā)生的艱苦事件。首先是1608年，荷蘭眼鏡制造商里帕席發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡，不久伽利略將他制成的第一架天文望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)星空而作出了令世人驚奇不已的天文發(fā)現(xiàn)。望遠(yuǎn)鏡的發(fā)明不僅引起了天文學(xué)的新高漲，而且推進(jìn)了光學(xué)的研討。1619年，開普勒公布了他的最后一條行星運動定律。開普勒行星運動三大定律要意是：1。行星運動的軌道是橢圓，太陽位于該橢圓的一個焦點；2。由太陽到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等；3。行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方，與其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。

開普勒主要是經(jīng)過觀測歸納出這三條定律從數(shù)學(xué)上推證開普勒的閱歷定律，成為當(dāng)時自然科學(xué)的中心課題之一。1638年，伽利略的<關(guān)于兩門新科學(xué)的對話>出版。伽利略建立了自在落體定律、動量定律等，為動力學(xué)奠定了根底；他認(rèn)識到彈道的拋物線性質(zhì)，并斷言炮彈的最大射程應(yīng)在發(fā)射角為45度時到達(dá)，等等。伽利略本人竭力倡導(dǎo)自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化，他的著作激起了人們對他所確立的動力學(xué)概念與定律作準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)表述的宏大熱情。凡此一切，標(biāo)志著自文藝復(fù)興以來在資本主義消費力刺激下蓬勃開展的自然科學(xué)開場邁入綜合與突破的階段，而這種綜合與突破所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微分學(xué)的根本問題空前地成為人們關(guān)注的焦點。當(dāng)時，人們主要集中的焦點有：非勻速運動物體的速度與加速度使瞬時變化率問題的研討成為當(dāng)務(wù)之急；望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計需求確定透鏡曲面上任一點的法線，這又使求恣意曲線的切線問題變得不可逃避；確定炮彈的最大射程及尋求行星軌道的近日點與遠(yuǎn)日點等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題也亟待處理。與此同時，行星沿軌道運動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力的計算等又使積分學(xué)的根本問題——面積、體積、曲線長、重心和引力計算的興趣被重新激發(fā)起來。在17世紀(jì)上半葉，幾乎一切的科學(xué)巨匠都努力于尋求處理這些難題的新的數(shù)學(xué)工具，特別是描畫運動與變化的無限小算法，并且在相當(dāng)短的時期內(nèi)，獲得了迅速的進(jìn)展。代表性的任務(wù)有：1、開普勒與旋轉(zhuǎn)體體積；開普勒方法的要旨，是用無數(shù)個同維無限小元素之和來確定曲邊形的面積及旋轉(zhuǎn)體的體積。例如他以為球的體積是天數(shù)個小圓錐的體積的和，這些圓錐的頂點在球心，底面那么是球面的一部分；他又把圓錐看成是極薄的圓盤之和，并由此計算出它的體積，然后進(jìn)一步證明球的體積是半徑乘以球面面積的三分之一。2、卡瓦列里不可分量原理他在<用新方法促進(jìn)的延續(xù)不可分量的幾何學(xué)>中開展了系統(tǒng)的不可分量方法。以為線是由無限多個點組成；面是由無限多條平行線段組成；立體那么是由無限多個平行平面組成。他分別把這些元素叫做線、面和體的“不可分量〞。卡瓦列里利用這條原理計算出許多立體圖形的體積，他對積分學(xué)創(chuàng)建最重要的奉獻(xiàn)還在于在1639利用平固下的不可分量原理建立了等價于以下積分式子：3、笛卡兒的“圓法〞笛卡兒的這種代數(shù)方法在推進(jìn)微積分的早期開展方面有很大的影響，牛頓就是以笛卡兒圓法為起跑點而踏上研討微積分的道路的。笛卡兒圓法在確定重根時會導(dǎo)致極繁復(fù)的代數(shù)計算，1658年荷蘭數(shù)學(xué)家胡德提出了一套構(gòu)造曲線切線的方式法那么，稱為“朗德法那么〞。朗德法那么為確定笛卡兒圓法所需的重根提供了機(jī)械的算法，可以完成求任何代數(shù)曲線的切線斜率時所要進(jìn)展的計算。4、費馬求極大值和極小值方法按費馬的方法。設(shè)函數(shù)f(x)在點a處取極值，費弓用“a+e〞替代原來的未知量a，并使f(a+e)與f(a)逼近,即：f(a+e)～f(a)這里所提到的“e〞就是后來微積分學(xué)當(dāng)中的“〞

5、巴羅的“微分三角形〞巴羅是牛頓的教師。是英國劍橋大學(xué)第一任“盧卡斯數(shù)學(xué)教授〞，也是英國皇家學(xué)會的首批會員。當(dāng)巴羅發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識到牛頓的出色才干時，便于1669年辭去了盧卡斯教授的職位，引薦本人的學(xué)生——當(dāng)時才27歲的牛頓來擔(dān)任。巴羅讓賢，已成為科學(xué)史上的佳話。6、沃利斯的“無窮算術(shù)〞沃利斯另“一項重要的研討是計算四分之一單位圓的面積，并由此得到的無窮乘積表達(dá)式。并有以下猜測：二、牛頓的“流數(shù)術(shù)〞牛頓于1661年入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅，同時研討伽利賂、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學(xué)院至今還保管著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數(shù)學(xué)思想的構(gòu)成而言，笛卡兒的<幾何學(xué)>和沃利斯的<無窮算術(shù)>對他影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)建微積分之路。1665年8月，劍橋大學(xué)因瘟疫流行而封鎖，牛頓離校返鄉(xiāng)，隨后在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年，競成為牛頓科學(xué)生涯中的黃金歲月。制定微積分，發(fā)現(xiàn)萬有引力和顏色實際，……，可以說牛頓終身大多數(shù)科學(xué)發(fā)明的藍(lán)圖，都是在這兩年描畫的。1、流數(shù)術(shù)的初建牛頓對微積分問題的研討始于1664年秋，當(dāng)時他反復(fù)閱讀笛卡兒<幾何學(xué)>，對笛卡兒求切線的“圓法〞發(fā)生興趣并試圖尋覓更好的方法。就在此時，牛頓首創(chuàng)了小o記號表示x的無限小且最終趨于零的增量。1665年夏至1667年春，牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫期間，繼續(xù)討論微積分并獲得了突破性進(jìn)展。據(jù)他自述，1665年11月發(fā)明“正流數(shù)術(shù)〞(微分法)，次年5月又建立了〞反流數(shù)術(shù)〞(積分法)。1666年10月，牛頓將前兩年的研討成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以<流數(shù)簡論>著稱，<流數(shù)簡論>是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。2、流數(shù)術(shù)的開展<流數(shù)簡論>標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。牛頓于1667年春天回到劍橋，對本人的微積分發(fā)現(xiàn)未作宣揚(yáng)。他在這一年10月中選為三一學(xué)院成員，次年又獲碩士學(xué)位，并不是由于他在微積分方面的任務(wù)，而是由于在望遠(yuǎn)鏡制造方面的員獻(xiàn)。但從那時起直到1693年大約四分之一世紀(jì)的時間里，牛頓一直不渝努力改良、完善本人的微積分學(xué)說，先后寫成了三篇微積分論文，它們分別是：(1)1669年的<運用無限多項方程的分析>；(2)1671年的<流數(shù)法與無窮級數(shù)>；(3)1691年的<曲線求積術(shù)>。牛頓微積分學(xué)說最早的公開表述出如今1687年出版的力學(xué)名著<自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理>之中。因此<原理>也成為數(shù)學(xué)史上的劃時代著作。<原理>在創(chuàng)導(dǎo)首末比如法的同時保管了無限小瞬，這種做法經(jīng)常被以為自相矛盾而引起爭議。實踐上，在牛頓的時代，建立微積分嚴(yán)厲根底的時機(jī)尚不成熟，在這樣的條件下，牛頓在大膽發(fā)明新算法的同時，堅持對微積分根底給出不同解釋，闡明了他對微積分根底所存在的困難的深邃洞察和謹(jǐn)慎態(tài)度。<原理>被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就〞。全書從三條根本的力學(xué)定律出發(fā)，運用微積分工具，嚴(yán)厲地推導(dǎo)證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分運用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一新數(shù)學(xué)工具的威力。<原理>中的微積分命題雖然都采用了幾何方式來表達(dá)、證明，但正如牛頓本人后來解釋的那樣：發(fā)現(xiàn)原理中的絕大多救命題是依托運用了“新分析法〞，然后再“綜合地證明〞?，F(xiàn)實上，1664年參與巴羅主考的三一學(xué)院津貼生考試時，因歐氏幾何成果不佳差一點未能經(jīng)過。三、萊布尼茨的微積分在微積分的創(chuàng)建上，牛頓與萊布尼茨分享榮譽(yù)。萊布尼茨(1646——1716)出生于德國萊比錫一個教授家庭，早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時開場接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡以及巴羅等人的科學(xué)思。1667年獲阿爾持多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位，次年開場為緬因茨選帝侯效力，不久被派往巴黎任大使。萊布尼茨在巴黎居留了四年[1672—1676)，這四年對他整個科學(xué)生涯的意義，可以與牛頓在家鄉(xiāng)躲避瘟疫的兩年類比，萊布尼茨許多艱苦的成就包括創(chuàng)建微積分都是在這一時期完成或奠定了根底。1、特征三角形萊布尼茨在巴黎與荷蘭效學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯的結(jié)識、交往，激發(fā)了他對數(shù)學(xué)的興趣．他經(jīng)過卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作，了解并開場研討求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問題．與牛頓流數(shù)論的運動學(xué)背景不同，萊布尼茨創(chuàng)建微積分首先是出于幾何問題的思索，尤其是特征三角形的研討．特征三角形，也稱“微分三角形〞，在巴羅的著作中曾經(jīng)出現(xiàn)．帕斯卡在特殊情形下也運用過這種三角形．萊布尼茨在1673年提出了他本人的特征三角形．帕斯卡的“例子〞是下述的命題：“圓的一個象限的任何孤的正弦之和，等于界于兩端的兩個正弦之間的底線段乘以半徑．〞這里“正弦〞是指縱坐標(biāo)，而在所說的相中，每個縱坐標(biāo)都要乘以相應(yīng)的圓的無限小弧而不是乘以底的無限小段。從而得到一下結(jié)果：即有：2、分析微積分的建立早在1666年，萊布尼茨在<組合藝術(shù)>一書中討論過數(shù)列問題并得到許多重要結(jié)論。1684年萊布尼茨發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文<一種求極大與極小值和求切線的新方法>，刊登在<教師學(xué)報>上，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)．該文是萊布尼茨對本人1673年以來微分學(xué)研討的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號dx，dy。萊布尼茨假設(shè)橫坐標(biāo)x的微分dx是恣意的量，縱坐標(biāo)y的微