專題04與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)及函數(shù)方程綜合應(yīng)用思維導(dǎo)圖核心考點聚焦考點一、判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性考點二、已知復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍考點三、求復(fù)合函數(shù)的值域考點四、求復(fù)合函數(shù)的最值考點五、與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的不等式問題考點六、判斷復(fù)合函數(shù)的奇偶性考點七、零點問題考點八、函數(shù)嵌套問題考點九、共零點問題考點十、等高線問題知識點一、根式的概念和運算法則1、次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數(shù)時，正數(shù)的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個，是負(fù)數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時，正數(shù)的偶次方根有兩個，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．2、兩個等式（1）當(dāng)且時，；（2）知識點二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：知識點三、有理數(shù)指數(shù)冪的運算1、有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）（2）（3）當(dāng)，為無理數(shù)時，是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)仍適用．2、指數(shù)冪的一般運算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運算．負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運算性質(zhì)．在化簡運算中，也要注意公式：，，，，的運用，能夠簡化運算．知識點四、無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（，為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點：①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．（2）定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴充到了實數(shù)范圍．知識點五、實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)①．②．③．知識點六、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：時圖象時圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時，，圖象都經(jīng)過點③，即時，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時，時，⑤時，時，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識點七、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時，（底大冪大）時，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：知識點八、對數(shù)概念1、對數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作：．其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識點詮釋：對數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即；（2）1的對數(shù)為0，即；（3）底的對數(shù)等于1，即．3、兩種特殊的對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，．以e（e是一個無理數(shù)，）為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，簡記為．4、對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．知識點九、對數(shù)的運算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的和；推廣：（2）兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)；知識點十、對數(shù)公式1、對數(shù)恒等式：2、換底公式同底對數(shù)才能運算，底數(shù)不同時可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個重要的結(jié)論：．知識點十一、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，知識點十二、底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響1、底數(shù)制約著圖象的升降．如圖知識點詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題時，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時，隨a的增大，對數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸．（見下圖）知識點十三、反函數(shù)1、反函數(shù)的定義設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個函數(shù)（即對任意的一個，都有唯一的與之對應(yīng)），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因為自變量的取值范圍即定義域都是B，對應(yīng)法則都為．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．知識點十四：函數(shù)的零點1、函數(shù)的零點（1）一般地，如果函數(shù)在實數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個函數(shù)的零點.知識點詮釋：①函數(shù)的零點是一個實數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個實數(shù)時，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點也就是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根．歸納：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．（2）二次函數(shù)的零點二次函數(shù)的零點個數(shù)，方程的實根個數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點兩個不相等的實根兩個零點兩個相等的實根一個二重零點無實根無零點（3）二次函數(shù)零點的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點時（不是二重零點），函數(shù)值變號.②相鄰兩個零點之間的所有的函數(shù)值保持同號.引伸：對任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點的判定（1）利用函數(shù)零點存在性的判定定理如果函數(shù)在一個區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即，則這個函數(shù)在這個區(qū)間上，至少有一個零點，即存在一點，使，這個也就是方程的根.1、與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，主要是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)復(fù)合成的新函數(shù)，求新函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值、值域等問題，一般采用換元思想，把復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)化成簡單的初等函數(shù)．考點剖析考點一、判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例1．（2023·寧夏吳忠·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于，其開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.例2．（2023·廣東佛山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，又函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.故選：A.例3．（2023·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于函數(shù)，解得或，故函數(shù)的定義域為，函數(shù)的開口向上，對稱軸為；函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D例4．（2023·河北邢臺·高一邢臺市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，解得，故函數(shù)的定義域為，令，其在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：A.考點二、已知復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍例5．（2023·全國·高三校聯(lián)考期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，令，解得或，則的定義域為，因為二次函數(shù)的對稱軸為，則其在單調(diào)遞增，而外函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為，故選：B.例6．（2023·四川德陽·高一四川省德陽中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知的值城為，且在上是增函數(shù)，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由為定義在上的減函數(shù)，故在上恒成立，且在上是減函數(shù)，則，，故.故選：A.例7．（2023·遼寧沈陽·高一沈陽市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知函數(shù)由復(fù)合而成，在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的同增異減性，可知需為R上的增函數(shù)，故，∴，∴或，故選：D.例8．（2023·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知函數(shù)由復(fù)合而成，在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，故由在區(qū)間上是減函數(shù)，可知在區(qū)間上是增函數(shù)，故，即實數(shù)的取值范圍是，故選：B考點三、求復(fù)合函數(shù)的值域例9．（2023·貴州六盤水·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的值域；(2)若關(guān)于x的方程有解，求a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故值域為；（2）令得，，由于，故a的取值范圍是.例10．（2023·寧夏吳忠·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的值域；(2)解不等式．【解析】（1）因為的定義域為，則，令，則，又，，開口向上，對稱軸為，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域為.（2）因為，所以由得，得或，得或，所以不等式的解集為或.例11．（2023·山西·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)（且，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，.(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求在上的值域.【解析】（1）因為的圖象經(jīng)過點，，所以，兩式相減得，又且，解得或（舍去），則.（2）由（1）得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則，，故在上的值域為.例12．（2023·黑龍江綏化·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若的值域為，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）令，.的值域為能取的一切值，所以.（2）因為在內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)也為單調(diào)函數(shù)，且時，當(dāng)在內(nèi)單調(diào)遞增時，即函數(shù)的對稱軸且，解得；當(dāng)在內(nèi)單調(diào)遞減時，即函數(shù)的對稱軸且，此時無解；綜上所訴：實數(shù)的取值范圍為.例13．若在內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在內(nèi)也為單調(diào)函數(shù)，解題時還需注意函數(shù)定義域.考點四、求復(fù)合函數(shù)的最值例14．（2023·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求時，的解析式；(2)若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則時，則，所以.（2）當(dāng)，則，對于，即，整理得，令，可得，原題意等價于存在，使得成立，且的圖象開口向上，對稱軸，可知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取到最大值32，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.例15．（2023·河南·高一濟(jì)源高中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且．(1)求的值；(2)證明：在上單調(diào)遞增；(3)求在上的最小值．【解析】（1）依題意，，兩邊平方并化簡得，所以.（2）任取，，由于在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.（3），令，由于在上單調(diào)遞增，所以，即，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.綜上所述，時，最小值為；時，最小值為；時，最小值為.例16．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，且）．(1)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且點在函數(shù)的圖象上，求實數(shù)的值；(2)已知函數(shù)，．若的最大值為8，求實數(shù)的值．【解析】（1）因為函數(shù)，且）的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以（，且），因為點在函數(shù)的圖象上，所以，解得，或（舍去）；（2），．令．①當(dāng)時，由，有，二次函數(shù)的對稱軸為，所以最大值為，解得或（舍去）；②當(dāng)時，由，有，二次函數(shù)的對稱軸為，所以最大值為，解得或（舍去），綜上，實數(shù)的值為或2．例17．（2023·山東德州·高一德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，m為實數(shù)，(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；(2)求函數(shù)的最大值的解析式.【解析】（1），當(dāng)時，.當(dāng)，即時，函數(shù)的最大值是.（2），令，.則討論對稱軸.若，即時，在上單調(diào)遞減，.若，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即.若，即時，在上單調(diào)遞增，.綜上，.考點五、與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的不等式問題例18．（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為.【答案】【解析】因為，是恒成立的，所以的定義域為R，，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時，為遞增函數(shù)，又為遞增函數(shù)，在其定義域上為增函數(shù)，故為增函數(shù)，而，所以在R上為增函數(shù)，所以可化為，所以，即，解得，故答案為：.例19．（2023·上海奉賢·高一?？计谀┎坏仁降慕饧癁椋敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)函數(shù)，則應(yīng)有，解得，所以，定義域為.又，所以，由，可得.因為以及均在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，所以，.綜上所述，.所以，不等式的解集為.故答案為：.例20．（2023·浙江杭州·高一學(xué)軍中學(xué)校考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的最小值為．【答案】【解析】因為關(guān)于的不等式在上有解，所以關(guān)于的不等式在上有解，所以，，因為，所以，令，則，，令，，因為對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，則，即實數(shù)的最小值為.故答案為：例21．（2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十九中學(xué)校考階段練習(xí)）不等式與不等式是同解不等式，則【答案】【解析】因為在上單調(diào)遞增，則，即，即，解得，因為也是的解，所以，解得，此時，即，解得，滿足題意，故故答案為：.例22．（2023·遼寧阜新·高一?？计谀┎坏仁降慕饧癁椋敬鸢浮俊窘馕觥吭谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，兩個函數(shù)圖象交于點，觀察圖象知，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式成立，所以不等式的解集為.故答案為：考點六、判斷復(fù)合函數(shù)的奇偶性例23．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則．【答案】【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，即，解得：或（舍去），故，因為，，則所以，又，所以.故答案為：例24．（2023·陜西西安·高一高新一中?？茧A段練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為．【答案】/【解析】由題意，定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則.故答案為：.例25．（2023·湖北恩施·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則．【答案】【解析】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則對任意的實數(shù)恒成立，即，對任意實數(shù)恒成立，可得對任意實數(shù)恒成立，可得，即經(jīng)驗證，此時為上的奇函數(shù)，滿足題意．故答案為：．例26．（2023·山西·高一校聯(lián)考期中）若為偶函數(shù)，則.【答案】【解析】設(shè)，定義域為，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又因為為偶函數(shù)所以函數(shù)為奇函數(shù)，得.故答案為：.考點七、零點問題例27．（2023·浙江溫州·高一浙江省平陽中學(xué)校聯(lián)考期中）若不等式的解集為，則函數(shù)的零點為（

）A．和 B．和 C．2和 D．和【答案】D【解析】因為的解集為，所以方程的兩根分別為和2，且，則，解得，故函數(shù)，則與軸的交點坐標(biāo)為和，所以零點為和.故選：D.例28．（2023·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【解析】令，由得或，所以或，當(dāng)時，或，當(dāng)時，則或，解得，所以函數(shù)的所有零點之和為.故選：D.例29．（2023·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，的零點分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，得，即；因為，易知在上單調(diào)遞增，又因為，所以；，易知在上單調(diào)遞增，又因為，，所以；所以.故選：B.考點八、函數(shù)嵌套問題例30．已知函數(shù)若方程有4個不同的零點，且，則（

）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】A【解析】由題意，方程有4個不同的零點，即曲線與直線有4個不同的交點，如下圖因為，所以由圖知，且，可得：，∴，解得：，則，∴.故選：A.例31．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有且只有2個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知函數(shù)，有2個不同的零點；令，得，有2個對應(yīng)的根，根據(jù)判別式法則有與兩種情況：當(dāng)時，即，得，即，解得，即，此時無解，所以此種情況不符題意；當(dāng)時，即，得；設(shè)的實根為：和，不妨設(shè)，則，則方程與一共有兩個不等實根．進(jìn)一步可知：方程和有且僅有一個方程有兩個不等實根．即和中一個方程有兩不等實根，另一個方程無實根．因為，所以，即，即，則，設(shè)，則，則，所以，解得，，，即．故選：B.考點九、共零點問題例32．若關(guān)于的方程有三不等的實數(shù)根，，，且滿足其中兩根，，則的取值范圍是A． B．， C． D．【解析】解：設(shè)，滿足其中兩根，，，（1），，，即，，，當(dāng)時，有一個根，不滿足題意，故，，即，解得，故選：．例33．（2023?永州校級月考）已知函數(shù)，且（1）（2）（3），則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：由（1）（2）（3），得，解得，則，由（1），得．即．故選：．考點十、等高線問題例34．已知函數(shù)，若存在四個實數(shù)a，b，c，d，滿足，，則的取值范圍為（

）A．(0，+∞) B． C． D．【答案】C【解析】依題意，可得的圖象如圖所示：所以時，與的圖象有四個交點，又因為，由圖象及函數(shù)性質(zhì)知:，易知:，，所以，又因為，所以，則.故選：C.例35．已知函數(shù)，若存在四個實數(shù)，，，，滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，由的圖象可知所以時，與的圖象有四個交點，不妨假設(shè)，由圖象及函數(shù)性質(zhì)知：，易知：，，所以，，則．故選：C過關(guān)檢測一、單選題1．（2023·廣東佛山·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則t在上遞減，在上遞增，又在R上遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：B2．（2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)中，對任意實數(shù)，，即函數(shù)的定義域為R，，即函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，有，則，顯然在上都遞減，因此在上遞減，在上遞減，而函數(shù)在上遞減，從而函數(shù)在上遞減，則在上遞增，不等式，于是，兩邊平方整理得，解得，所以不等式的解集.故選：C3．（2023·浙江杭州·高一學(xué)軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，則在上單調(diào)遞增且恒大于，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C4．（2023·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，因為為增函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，且，所以，解得，故選：C5．（2023·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，因為外層函數(shù)為上的減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，解得.故選：A.6．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由且，得為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則得，又，解得．故選：C．7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知定義在上的是單調(diào)函數(shù)，且對任意恒有，則函數(shù)的零點為（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】根據(jù)題意，對任意，都有，即．因為是定義在上的單調(diào)函數(shù)，所以為定值，令，，則，由，得，，在上單調(diào)遞增，所以是唯一解，則．由得，即函數(shù)的零點為．故選：A8．（2023·云南昆明·高一云南師大附中?？茧A段練習(xí)）若二次函數(shù)的兩個零點為2，3，則二次函數(shù)的零點是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的兩個零點為2，3，，，令，得或，故選：B．二、多選題9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)和在上的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．方程有且只有6個不同的解 B．方程有且只有3個不同的解C．方程有且只有5個不同的解 D．方程有且只有4個不同的解【答案】ACD【解析】A選項，令，結(jié)合圖象可得有3個不同的解，，，不妨設(shè)，則可知，，，由圖可知有2個不同的解，有2個不同的解，有2個不同的解，即有6個不同的解，A正確；B選項，令，結(jié)合圖象可得有2個不同的解，，不妨設(shè)，則可知，，由圖可知有1個解，有3個不同的解，即有4個不同的解，B錯誤；C選項，令，結(jié)合圖象可得有3個不同的解，，且，，，由圖可知有1個解，有3個不同的解，有1個解，即有5個不同的解，C正確；D選項，令，結(jié)合圖象可得有兩個不同的解，不妨設(shè)，則可知，，由圖可知有2個不同的解，有2個不同的解，即有4個不同的解，D正確．故選：ACD．10．（2023·四川成都·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．在上是減函數(shù)【答案】BC【解析】因為的定義域為：，則，，所以是奇函數(shù)，故A錯誤；B正確.，令，則在上單調(diào)遞減，又因為在定義域上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在在上是增函數(shù)，故C正確；D錯誤.故選：BC.11．（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），則（

）A．函數(shù)至多有2個零點 B．，使得是R上的增函數(shù)C．當(dāng)時，的值域為 D．當(dāng)時，方程有且只有1個實數(shù)根【答案】AD【解析】當(dāng)時，，符合條件，故是函數(shù)的一個零點，當(dāng)時，令，由韋達(dá)定理知，兩個根之和為，故方程不可能有兩個正根，也不可能有一正根，一個根為零，若方程有一負(fù)根和一正根，則，解得，即方程至多有一個正根，綜上可知，函數(shù)至多有2個零點，故A正確；因為函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，故在上單調(diào)遞減，則不存在，使得是R上的增函數(shù)，故B錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，故在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，則函數(shù)的值域為，不符合題意，故C錯誤；當(dāng)時，，令，則方程，可化為，若，則，解得，若，則，解得或者，均不符合條件，故只有，即，此時只有為其根，故時，方程有且只有1個實數(shù)根，則D正確，故選：AD.12．（2023·陜西商洛·高一?？茧A段練習(xí)）給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．函數(shù)的最大值為B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是C．若，則的徝為1D．已知定義在上的奇函數(shù)在內(nèi)有1010個零點，則函數(shù)的零點個數(shù)為2021【答案】CD【解析】對于A選項，，是R上的減函數(shù)，，即的最小值為，故A錯誤；對于B選項，由題意可得，即或，即函數(shù)的定義域為，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的增區(qū)間為，故B錯誤；對于C選項，由，解得，，，，則，故C正確；對于D選項，因為定義在R上的奇函數(shù)在內(nèi)有1010個零點，所以函數(shù)在內(nèi)也有1010個零點，又，所以函數(shù)的零點個數(shù)為2021，故D正確.故選：CD.三、填空題13．（2023·湖北襄陽·高一襄陽五中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是.【答案】【解析】因為，所以其定義域為，又，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，因為和在上均單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又，所以可化為，所以，則，則或，解得或，所以不等式的解集為，故答案為：.14．（2023·河南開封·高一河南大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a為正實數(shù)，且函數(shù)是奇函數(shù)．則的值域為．【答案】【解析】由題意，解得，故，經(jīng)檢驗，符合題意，又，故，，故.故答案為：15．（2023·廣東茂名·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，并且當(dāng)時，，那么．【答案】【解析】，所以.故答案為：16．（2023·河北·高一河北師范大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）寫出一個函數(shù)的解析式，滿足：①是定義在上的偶函數(shù)；②時，，則