遼寧省部分重點中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則共軛復(fù)數(shù)()A． B． C． D．2．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件{兩個點數(shù)互不相同}，{出現(xiàn)一個5點}，則()A． B． C． D．3．某中學(xué)從4名男生和3名女生中推薦4人參加某高校自主招生考試，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A．34種 B．35種 C．120種 D．140種4．已知，，，記為，，中不同數(shù)字的個數(shù)，如：，，，則所有的的排列所得的的平均值為（）A． B．3 C． D．45．已知某同學(xué)在高二期末考試中，A和B兩道選擇題同時答對的概率為，在A題答對的情況下，B題也答對的概率為，則A題答對的概率為()A． B． C． D．6．已知定義域為R的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)有，且，若，則＝()A．2 B．4 C． D．7．已知：，且，，則A． B． C． D．8．若函數(shù)無極值點，則（）A． B． C． D．9．若函數(shù)為奇函數(shù)，則A． B． C． D．10．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()A． B． C． D．11．某班準(zhǔn)備從甲、乙、丙等6人中選出4人參加某項活動，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，那么不同的方法有（）A．18種 B．12種 C．432種 D．288種12．若命題是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至少有一個數(shù)字是奇數(shù)的三位偶數(shù)，這樣的三位數(shù)一共有______個.14．已知定點和曲線上的動點，則線段的中點的軌跡方程為________15．已知，則方程恰有2個不同的實根，實數(shù)取值范圍__________________.16．端午節(jié)小長假期間，張洋與幾位同學(xué)從天津乘到大連去旅游，若當(dāng)天從天津到大連的三列火車正點到達(dá)的概率分別為，，，假設(shè)這三列火車之間是否正點到達(dá)互不影響，則這三列火車恰好有兩列正點到達(dá)的概率是____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，其前項和為.（1）計算；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.18．（12分）為降低養(yǎng)殖戶養(yǎng)鴨風(fēng)險，某保險公司推出了鴨意外死亡保險，該保單合同規(guī)定每只幼鴨投保2元，若生長期內(nèi)鴨意外死亡，則公司每只鴨賠付12元.假設(shè)鴨在生長期內(nèi)的意外死亡率為0.15，且每只鴨是否死亡相互獨立.若某養(yǎng)殖戶養(yǎng)鴨3000只，都投保該險種.（1）求該保單保險公司賠付金額等于保費時，鴨死亡的只數(shù)；（2）求該保單保險公司平均獲利多少元.19．（12分）某輿情機構(gòu)為了解人們對某事件的關(guān)注度，隨機抽取了人進(jìn)行調(diào)查，其中女性中對該事件關(guān)注的占，而男性有人表示對該事件沒有關(guān)注.關(guān)注沒關(guān)注合計男女合計（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)補全列聯(lián)表；（2）能否有的把握認(rèn)為“對事件是否關(guān)注與性別有關(guān)”？（3）已知在被調(diào)查的女性中有名大學(xué)生，這其中有名對此事關(guān)注.現(xiàn)在從這名女大學(xué)生中隨機抽取人，求至少有人對此事關(guān)注的概率.附表：20．（12分）已知點為坐標(biāo)原點橢圓的右焦點為，離心率為，點分別是橢圓的左頂點、上頂點，的邊上的中線長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線交橢圓于兩點直線分別交直線于兩點，求．21．（12分）已知函數(shù)（1）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（2）設(shè)，求證：當(dāng)時，.22．（10分）在某中學(xué)高中某學(xué)科競賽中，該中學(xué)100名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示．（1）求這100名考生的競賽平均成績（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表）；（2）記70分以上為優(yōu)秀，70分及以下為合格，結(jié)合頻率分布直方圖完成下表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該學(xué)科競賽成績與性別有關(guān)？合格優(yōu)秀合計男生18女生25合計100附：．0.0500.0100.0053.8416.6357.879

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其共軛復(fù)數(shù)即可.詳解：由題意可得：，則其共軛復(fù)數(shù).本題選擇B選項.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2、A【解題分析】由題意事件A={兩個點數(shù)都不相同}，包含的基本事件數(shù)是36?6=30，事件B:出現(xiàn)一個5點，有10種，∴，本題選擇A選項.點睛：條件概率的計算方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，然后利用公式進(jìn)行計算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，然后求概率值.3、A【解題分析】分析：根據(jù)題意，選用排除法，分3步，①計算從7人中，任取4人參加志愿者活動選法，②計算選出的全部為男生或女生的情況數(shù)目，③由事件間的關(guān)系，計算可得答案．詳解：分3步來計算，

①從7人中，任取4人參加志愿者活動，分析可得，這是組合問題，共C74=35種情況；

②選出的4人都為男生時，有1種情況，因女生只有3人，故不會都是女生，

③根據(jù)排除法，可得符合題意的選法共35-1=34種；

故選A．點睛：本題考查計數(shù)原理的運用，注意對于本類題型，可以使用排除法，即當(dāng)從正面來解所包含的情況比較多時，則采取從反面來解，用所有的結(jié)果減去不合題意的結(jié)果．4、A【解題分析】

由題意得所有的的排列數(shù)為，再分別討論時的可能情況則均值可求【題目詳解】由題意可知，所有的的排列數(shù)為，當(dāng)時，有3種情形，即，，；當(dāng)時，有種；當(dāng)時，有種，那么所有27個的排列所得的的平均值為.故選：A【題目點撥】本題考查排列組合知識的應(yīng)用，考查分類討論思想，考查推理論證能力和應(yīng)用意識，是中檔題5、B【解題分析】分析：根據(jù)條件概率公式計算即可.詳解：設(shè)事件A：答對A題，事件B：答對B題，則，..故選：B.點睛：本題考查了條件概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】分析：令，可求得，再令，可求得，再對均賦值，即可求得.詳解：，令，得，又，再令，得，，令，得，故選B.點睛：本題考查利用賦值法求函數(shù)值，正確賦值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7、C【解題分析】分析：由題目條件，得隨機變量x的均值和方差的值，利用即可得出結(jié)論．．詳解：由題意，

故選：C．點睛：本題主要考查正態(tài)分布的參數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題，正態(tài)分布涉及到連續(xù)型隨機變量的分布密度，是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布，也是自然界最常見的一種分布．8、A【解題分析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)函數(shù)與極值的關(guān)系即得解.【題目詳解】由題得，因為函數(shù)無極值點，所以，即.故選：A【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.9、A【解題分析】分析：運用奇函數(shù)的定義，可得，再計算即可詳解：函數(shù)為奇函數(shù)，故選點睛：本題主要考查的是奇函數(shù)的定義，分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵10、B【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)概念求結(jié)果.詳解：因為，所以,所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,選B.點睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為11、D【解題分析】

根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進(jìn)行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，②將選出的4人全排列，安排4人的順序，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進(jìn)行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，若甲、乙、丙三人都參加，在a、b、c三人中任選1人，有3種情況，若甲、乙、丙三人有2人參加，在a、b、c三人中任選1人，有=9種情況，則有3+9=12種選法；②將選出的4人全排列，安排4人的順序，有A44=24種順序，則不同的發(fā)言順序有12×24=288種；故答案為：D．【題目點撥】（1）本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常見解法有：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.12、B【解題分析】因為命題是真命題，即不等式對恒成立，即恒成立，當(dāng)a＋2＝0時，不符合題意，故有，即，解得，則實數(shù)a的取值范圍是．故選：B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、54【解題分析】

運用排列組合，先求出偶數(shù)的可能一共有多少個，然后減去三個數(shù)字都是偶數(shù)的情況【題目詳解】當(dāng)個位是偶數(shù)的時候共有種可能三個數(shù)字都是偶數(shù)時，有種可能則滿足題意的三位數(shù)共有種故答案為【題目點撥】本題考查了排列組合的數(shù)字的排序問題，只要按照題目要求進(jìn)行分類求出一共的情況，然后減去不符合情況即可得出結(jié)果14、【解題分析】

通過中點坐標(biāo)公式，把點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到上，把點的坐標(biāo)代入曲線方程，整理可得點的軌跡方程?！绢}目詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，點，因為點是線段的中點，所以解得，把點的坐標(biāo)代入曲線方程可得，整理得，所以點的軌跡方程為故答案為：【題目點撥】本題考查中點坐標(biāo)公式，相關(guān)點法求軌跡方程的方法，屬于中檔題。15、【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有個交點時，求實數(shù)的取值范圍，并作出函數(shù)的圖象，考查當(dāng)直線與曲線相切以及直線與直線平行這兩種臨界位置情況，結(jié)合斜率的變化得出實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】問題等價于當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有個交點時，求實數(shù)的取值范圍．作出函數(shù)的圖象如下圖所示：先考慮直線與曲線相切時，的取值，設(shè)切點為，對函數(shù)求導(dǎo)得，切線方程為，即，則有，解得.由圖象可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象沒有公共點，在有一個公共點，不合乎題意；當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象沒有公共點，在有兩個公共點，合乎題意；當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象只有一個公共點，在有兩個公共點，不合乎題意；當(dāng)時，直線與函數(shù)在上的圖象只有一個公共點，在沒有公共點，不合乎題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故答案為.【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，或者利用參變量分離轉(zhuǎn)化為參數(shù)直線與定函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，若轉(zhuǎn)化為直線（不恒與軸垂直）與定函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，則需抓住直線與曲線相切這些臨界位置，利用數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行分析，考查分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于難題．16、【解題分析】設(shè)當(dāng)天從天津到大連的三列火車正點到達(dá)的事件分別為A，B，C，則，事件A，B，C相互獨立，∴這三列火車恰好有兩列正點到達(dá)的概率：，故答案為：0.398.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），證明見解析.【解題分析】

（1）由題可得前4項，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四項和的規(guī)律可猜想，由數(shù)學(xué)歸納法，即可做出證明，得到結(jié)論?！绢}目詳解】（1）計算，.（2）猜想.證明：①當(dāng)時，左邊，右邊，猜想成立.②假設(shè)猜想成立，即成立，那么當(dāng)時，，而，故當(dāng)時，猜想也成立.由①②可知，對于，猜想都成立.【題目點撥】本題主要考查了歸納、猜想與數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，其中解答中明確數(shù)學(xué)歸納證明方法：（1）驗證時成立；（2）假設(shè)當(dāng)時成立，證得也成立；（3）得到證明的結(jié)論．其中在到的推理中必須使用歸納假設(shè)．著重考查了推理與論證能力．18、（1）500只；（2）600元【解題分析】

（1）根據(jù)題意，得到保費的總額，再除以每只鴨賠付的金額，得到答案；（2）根據(jù)鴨在生長期內(nèi)的意外死亡率，得到需賠付的金額，然后根據(jù)總的保費，得到平均獲利.【題目詳解】（1），答：該保險公司賠付金額等于保費時，鴨死亡只數(shù)為只.（2）因為鴨在生長期內(nèi)的意外死亡率為0.15，所以需賠付的金額為，總保費為，所以得到平均獲利為.答：該保單保險公司平均獲利元.【題目點撥】本題考查求隨機變量的均值，屬于簡單題.19、（1）見解析（2）有的把握認(rèn)為“對事件是否關(guān)注與性別有關(guān)”（3）【解題分析】分析：（1）由題意，補全列聯(lián)表。（2）由列聯(lián)表，根據(jù)求得，結(jié)合臨界值表即可判斷把握性。（3）根據(jù)獨立事件的概率，求得3人中至少有2人關(guān)注此事的概率即可。詳解：（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表關(guān)注沒關(guān)注合計男女合計（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到的觀測值.所以有的把握認(rèn)為“對事件是否關(guān)注與性別有關(guān)”.（3）抽取的人中至少有人對此事關(guān)注的概率為.所以，至少有人對此事關(guān)注的概率為.點睛：本題綜合考查了列聯(lián)表及其獨立性檢驗中的求法，并根據(jù)臨界值表對所得結(jié)果進(jìn)行判斷；根據(jù)事件的獨立性，求得相應(yīng)的概率，考查知識點多，總體難度不大，屬于簡單題。20、（1）；（2）0.【解題分析】

（1）首先根據(jù)題意列出方程組，再解方程即可.（2）首先設(shè)直線的方程為：，，，則，，聯(lián)立方程，利用根系關(guān)系結(jié)合三點共線即可求出.【題目詳解】（1）如圖所示由題意得為直角三角形，且上的中線長為，所以．則，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）由題意，如圖設(shè)直線的方程為：，，，則，，聯(lián)立方程化簡得.則.由三點共線易得，化簡得，同理可得.．【題目點撥】本題第一問考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第二問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.21、(1)；(2)證明見解析【解題分析】

（1）解法一：求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)并通分，對分成兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最值，求得實數(shù)的取值范圍.解法二：將原不等式分離常數(shù)，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合洛必達(dá)法則，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.（2）解法一：先由（1）的結(jié)論，證得當(dāng)時成立.再利用導(dǎo)數(shù)證得當(dāng)時，也成立，由此證得不等式成立.解法二：將所要證明的不等式等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得，進(jìn)而證得，也即證得.【題目詳解】解：（1）【解法一】由得：①當(dāng)時，由知，在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，所以當(dāng)時，滿足題意；②當(dāng)時，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).這時當(dāng)時，，令，則即在上為減函數(shù)，所以即在上的最小值，此時，當(dāng)時，不可能恒成立，即有不滿足題意.綜上可知，當(dāng)，使恒成立時，的取值范圍是.【解法二】當(dāng)時，等價于令，則只須使設(shè)在上為增函數(shù)，