2022屆天津市各區(qū)高三年級二模數(shù)學(xué)分類匯編專題十八橢圓解答題【2022和平二?！恳阎c(diǎn)M是橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，，當(dāng)，的面積為5.（1）求橢圓C的方程：（2）設(shè)過點(diǎn)的直線和橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.【2022南開二模】已知橢圓：，其離心率為，若，分別為的左、右焦點(diǎn)，軸上方一點(diǎn)在橢圓上，且滿足，．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線交軸于點(diǎn)，若的面積是的面積的2倍，求直線的方程．【2022河西二?！恳阎獧E圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，且與軸垂直．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作斜率大于0直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸不重合，若與的面積比為，求直線的方程．【2022河北二?！恳阎c(diǎn)，橢圓：的離心率為和分別是橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時，求直線的方程．【2022河?xùn)|二模】橢圓C：的離心率，．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．【2020紅橋二模】已知橢圓：（）的離心率，點(diǎn)、之間的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)和，則是否存在常數(shù)，使得與共線？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.【2022濱海新區(qū)二?！恳阎獧E圓的離心率為，其左頂點(diǎn)A在圓上.直線AP與橢圓C的另一個交點(diǎn)為P，與圓O的另一個交點(diǎn)為Q.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線AP，使得？若存在，求出直線AP的斜率；若不存在，說明理由.【2022部分區(qū)二?！恳阎獧E圓的離心率為，左頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，過點(diǎn)A的直線與橢圓交于點(diǎn)，若，且（為原點(diǎn)），求的值.【2022耀華中學(xué)二?！恳阎本€：與直線：的距離為，橢圓：的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在（1）的條件下，拋物線：的焦點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸上某點(diǎn)對稱，且拋物線與橢圓在第四象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，求該切線方程并求該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.【2022天津一中五月考】已知點(diǎn)是離心率為的橢圓C：上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合.（1）求橢圓C的方程；（2）求證：直線AB、AD的斜率之和為定值；（3）面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由？2022屆天津市各區(qū)高三年級二模數(shù)學(xué)分類匯編專題十八橢圓解答題（答案及解析）【2022和平二?！恳阎c(diǎn)M是橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為橢圓C的上、下焦點(diǎn)，，當(dāng)，的面積為5.（1）求橢圓C的方程：（2）設(shè)過點(diǎn)的直線和橢圓C交于兩點(diǎn)A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，【分析】（1）根據(jù)焦距可求出c,再根據(jù)以及的面積可求出a,b，即得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程并和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)與的面積比值為5：7，得到相關(guān)等式，聯(lián)立根與系數(shù)的關(guān)系式化簡，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】由,由,,故,∴,∴,∴，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】假設(shè)滿足條件的直線存在，當(dāng)直線的斜率不存在時，不合題意，不妨設(shè)直線：，，，顯然，聯(lián)立，得，所以，因?yàn)镾△OAF2=即（3），由（1），（3），得（4），將（1）（4）代入（3）得，所以直線的方程為，故存在直線，使得與面積比值為5：7.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解以及直線和橢圓的位置關(guān)系，涉及到橢圓中的三角形面積問題，解答時一般思路是要將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，再將該關(guān)系式代入到相關(guān)等式中化簡，其中計(jì)算量大,多是關(guān)于字母參數(shù)的運(yùn)算，要求計(jì)算準(zhǔn)確，需要細(xì)心和耐心.【2022南開二?！恳阎獧E圓：，其離心率為，若，分別為的左、右焦點(diǎn)，軸上方一點(diǎn)在橢圓上，且滿足，．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，直線交軸于點(diǎn)，若的面積是的面積的2倍，求直線的方程．【答案】（1）（2），【分析】（1）依題意可得且，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，求出，再根據(jù)離心率及，求出、，即可得解；（2）由（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線方程，求出的坐標(biāo)，由的面積是的面積的2倍，可得或，即可求出，從而求出直線方程；【小問1詳解】解：因?yàn)?，所以，且又，所以，即，即，所以，又離心率，所以，，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：由（1）可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去整理得，解得或，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，從而點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)榈拿娣e是的面積的2倍，所以或，當(dāng)時，即，解得，所以直線的方程為；當(dāng)時，即，解得，所以直線的方程為；所以滿足條件的直線的方程為，【2022河西二模】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，且與軸垂直．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過作斜率大于0直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸不重合，若與的面積比為，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】(1)根據(jù)P的坐標(biāo)和⊥軸可得的值，根據(jù)可求a，再由、、之間的關(guān)系求出的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；(2)設(shè)直線的方程為，，，M在第一象限．聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)，以及面積比可得、關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出m的值，從而求出直線l的方程．【小問1詳解】由題意得，，，則，即，∴，故的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，，，不妨設(shè)M在第一象限．與橢圓方程聯(lián)立，，消去，得，，，∵，，與的面積比為，∴，整理得，∴，，即，解得，∵，∴，直線的方程為，即.【2022河北二模】已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為和分別是橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時，求直線的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或【分析】（Ⅰ）由的面積為，得出關(guān)系，再由離心率結(jié)合關(guān)系，求解即可得出橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)，由已知可得，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到的關(guān)系式，進(jìn)而得出的關(guān)系式，建立的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，由條件知，所以的面積為，①由得，從而，化簡得，②①②聯(lián)立解得，從而，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）當(dāng)軸時，不合題意，故設(shè)，將代入得．由題得，設(shè)，則因?yàn)?，所以，從而，整理得，，所以直線的方程為或．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要掌握根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求方法在相交弦中的應(yīng)用，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.【2022河?xùn)|二?！繖E圓C：的離心率，．（1）求橢圓C的方程；（2）如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)MN的斜率為m，BP的斜率為n，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由橢圓的離心率求得，由，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立后解出P點(diǎn)坐標(biāo)，兩直線方程聯(lián)立解出M點(diǎn)坐標(biāo)，由D，P，N三點(diǎn)共線解出N點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得到MN的斜率m，代入化簡整理即可得到為定值．【小問1詳解】由橢圓離心率，則，又，解得：，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】證明：因?yàn)椋琍不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)直線BP的方程為聯(lián)立整理得．則，故，則．所以又直線AD的方程為．聯(lián)立，解得由三點(diǎn)，共線，得，所以．的斜率為．則．為定值．【2020紅橋二?！恳阎獧E圓：（）的離心率，點(diǎn)、之間的距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)和，則是否存在常數(shù)，使得與共線？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式，結(jié)合平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)公式、平面共線向量的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)、之間的距離為，所以，因?yàn)闄E圓的離心率，所以有，而，因此組成方程組為：；【小問2詳解】設(shè)的方程為，與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)立為：，于是有，此時設(shè)，于是有，假設(shè)存在常數(shù)，使得與共線，因?yàn)?，，所以有，，因?yàn)?，所以，不滿足，因此不存在常數(shù)，使得與共線.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【2022濱海新區(qū)二?！恳阎獧E圓的離心率為，其左頂點(diǎn)A在圓上.直線AP與橢圓C的另一個交點(diǎn)為P，與圓O的另一個交點(diǎn)為Q.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線AP，使得？若存在，求出直線AP的斜率；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）不存在直線AP，理由見解析【分析】（1）由題意，左頂點(diǎn)A在圓上，可求得，根據(jù)離心率可求，又，即可求解橢圓方程；（2）直線與橢圓相交，設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出橢圓弦長，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，求解直線與圓相交的弦長，根據(jù)即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)闄E圓C的左頂點(diǎn)A在圓上，所以.又離心率為，所以，所以，所以，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，，顯然直線AP存在斜率，設(shè)直線AP的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，化簡得到，因?yàn)闉樯厦娣匠痰囊粋€根，所以，所以.由，因?yàn)閳A心到直線AP的距離為，所以因?yàn)?，代入得?顯然，所以不存在直線AP，使得.【2022部分區(qū)二?！恳阎獧E圓的離心率為，左頂點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，過點(diǎn)A的直線與橢圓交于點(diǎn)，若，且（為原點(diǎn)），求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意求出，從而可得出答案；（2）設(shè)直線與橢圓得另一個交點(diǎn)為，，易知直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得，再根據(jù)弦長公式求得，結(jié)合易知即可得出答案.【小問1詳解】解：由題意得，故，所以，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】解：設(shè)直線與橢圓得另一個交點(diǎn)為，設(shè)，因?yàn)?，則直線的方程為，聯(lián)立，消整理得，則，所以，則，所以，聯(lián)立，消整理得，則，所以，因?yàn)?，所以，解得，又，所?【2022耀華中學(xué)二?！恳阎本€：與直線：的距離為，橢圓：的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在（1）的條件下，拋物線：的焦點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸上某點(diǎn)對稱，且拋物線與橢圓在第四象限交于點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，求該切線方程并求該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.【答案】（1）；（2）切線方程，面積為.【分析】（1）求出兩平行直線間的距離，得到，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）由拋物線焦點(diǎn)，可得拋物線方程，聯(lián)立拋物線方程與橢圓方程，求得的坐標(biāo)，寫出拋物線在點(diǎn)處的切線為，再與拋物線方程聯(lián)立求得切線斜率，得到切線方程，分別求出切線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式得答案．【詳解】（1）兩平行直線間的距離，∴，離心率，故，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意，拋物線焦點(diǎn)為，故其方程為.聯(lián)立方程組，解得或（舍去），∴.設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為，聯(lián)立方程組，整理得，由，解之得，∴所求的切線方程為．即是.令，得；令，得.故所求三角形的面積為.【點(diǎn)睛】本題是圓錐曲線綜合題，考查了橢圓方程的求法，考查直線與拋物線、橢圓與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．【2022天津一中五月考】已知點(diǎn)是離心率為的橢圓C：上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合.（1）求橢圓C的方程；（2）求證：直線AB、AD的斜率之和為定值；（3）面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由？【答案】（1）（2）證明見解析（3）的面積存在最大值為．【分析】（1）由已知解方程組即可；（2）設(shè)出直線BD的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理解決；（3）將△ABD面積表示成，再利用基本不等式求得最值.【