單位：物理電子學(xué)院主講人：王剛

Email:buncan_wang@126.com計(jì)算機(jī)仿真原理與應(yīng)用§3離散事件系統(tǒng)仿真方法離散事件系統(tǒng)示例例：?jiǎn)稳死戆l(fā)店系統(tǒng)，設(shè)上午9:00開(kāi)門(mén)，下午5:00關(guān)門(mén)。顧客到達(dá)時(shí)間一般是隨機(jī)的，為每個(gè)顧客服務(wù)的時(shí)間長(zhǎng)度也是隨機(jī)的。系統(tǒng)的狀態(tài)：服務(wù)臺(tái)的狀態(tài)(忙或閑)、顧客排隊(duì)等待的隊(duì)列長(zhǎng)度。狀態(tài)量的變化也只能在離散的隨機(jī)時(shí)間點(diǎn)上發(fā)生。

系統(tǒng)：一些具有特定功能、相互之間以一定的規(guī)律聯(lián)系著的物體所組成的總體．

系統(tǒng)邊界：為了限制所研究問(wèn)題涉及的范圍，用系統(tǒng)邊界把所研究的系統(tǒng)與影響系統(tǒng)的環(huán)境區(qū)分開(kāi)來(lái)。

實(shí)體：系統(tǒng)的對(duì)象、系統(tǒng)的組成元素都可以稱(chēng)為實(shí)體，是仿真系統(tǒng)中可單獨(dú)識(shí)別和刻劃的構(gòu)成要素。屬性：屬性反映實(shí)體的某些性質(zhì)，是實(shí)體特征的描述，用特征參數(shù)或變量表示，它可以是文字型、數(shù)字型或邏輯型?；顒?dòng)：實(shí)體在一段時(shí)間內(nèi)持續(xù)進(jìn)行的操作或過(guò)程。通常用于表示兩個(gè)可以區(qū)分的事件之間的過(guò)程。標(biāo)志著系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。狀態(tài)：系統(tǒng)的狀態(tài)是指在某一時(shí)刻實(shí)體及其屬性值的集合。事件：事件是引起離散事件系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化的行為。進(jìn)程：由若干個(gè)有序事件及若干有序活動(dòng)組成，描述了它所包括的事件及活動(dòng)間的相互邏輯關(guān)系及時(shí)序關(guān)系。專(zhuān)用術(shù)語(yǔ)仿真策略：要將系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)換為計(jì)算機(jī)模型，首先要從總體上確定仿真模型的控制邏輯和仿真時(shí)鐘推進(jìn)機(jī)制，即確定仿真策略。仿真策略是仿真模型的核心，反映了仿真模型的本質(zhì)，從根本上決定了仿真模型的結(jié)構(gòu)。迄今為止，離散事件系統(tǒng)形成了三種基本仿真策略：事件調(diào)度法（eventschedule，ES)

活動(dòng)掃描法（activityscanning，AS)

進(jìn)程交互法（ProcessInteractive，PI)

事件調(diào)度法由蘭德公司在1963年提出。在美國(guó)廣泛采用，歐洲不很流行?；舅枷耄簩⑹录套鳛榉抡婺Ｐ偷幕灸Ｐ蛦卧?，按照事件發(fā)生的先后順序不斷執(zhí)行相應(yīng)的事件例程。每一個(gè)有確定發(fā)生時(shí)間的事件，都有一個(gè)事件例程，用事件例程來(lái)處理事件發(fā)生后對(duì)實(shí)體狀態(tài)所產(chǎn)生的影響，并安排后續(xù)事件。事件調(diào)度法用事件的觀(guān)點(diǎn)分析真實(shí)系統(tǒng)，通過(guò)定義事件及每個(gè)事件的發(fā)生，引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化，按時(shí)間順序，在每個(gè)事件發(fā)生時(shí)，確定并執(zhí)行有關(guān)的邏輯關(guān)系。按這種策略建立模型時(shí)，所有的事件均放在事件表中，模型中設(shè)有一個(gè)時(shí)間控制器，從事件表中選擇最早發(fā)生的事件并將仿真時(shí)鐘改到該事件發(fā)生的時(shí)間，然后調(diào)用與該事件相應(yīng)的事件處理模塊。這樣，事件的選擇與處理不斷地進(jìn)行，直到仿真終止或程序事件產(chǎn)生為止。

事件調(diào)度法的仿真策略

（1）初始化<1>置仿真的開(kāi)始時(shí)間t0和結(jié)束時(shí)間tf。<2>置實(shí)體的初始狀態(tài)。<3>置初始事件及其發(fā)生時(shí)間ts。（2）仿真時(shí)鐘TIME＝ts（3）確定在當(dāng)前時(shí)鐘TIME下發(fā)生的事件類(lèi)型Ei，i=1,2,…,n，并按規(guī)則排序。（4）如果TIME≤tf，執(zhí)行｛caseEiofE1：執(zhí)行E1的事件例程，產(chǎn)生后續(xù)事件類(lèi)型及發(fā)生時(shí)間；

……En：執(zhí)行En的事件例程，產(chǎn)生后續(xù)事件類(lèi)型及發(fā)生時(shí)間。endcase｝否則，轉(zhuǎn)（6）。

事件調(diào)度法的仿真策略

（5）將仿真時(shí)鐘TIME推進(jìn)到下一個(gè)最早事件發(fā)生時(shí)間。這一步體現(xiàn)了仿真時(shí)鐘的推進(jìn)機(jī)制，是將仿真時(shí)鐘推進(jìn)到下一個(gè)最早事件的發(fā)生時(shí)刻。它與連續(xù)系統(tǒng)仿真中的時(shí)間推進(jìn)方法――固定時(shí)間增量法不同，反映了離散事件系統(tǒng)狀態(tài)僅在離散時(shí)刻點(diǎn)上發(fā)生變化的特點(diǎn)，這種時(shí)間推進(jìn)方法在離散事件系統(tǒng)仿真中普遍采用，稱(chēng)為下一事件增量法，簡(jiǎn)稱(chēng)事件增量法。（6）仿真結(jié)束。

1．系統(tǒng)建模由觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)確定隨機(jī)變量的分布和參數(shù)。一般可用流程圖或網(wǎng)格圖的方式描述，反映臨時(shí)實(shí)體在系統(tǒng)內(nèi)部歷經(jīng)的過(guò)程、永久實(shí)體對(duì)臨時(shí)實(shí)體的作用以及它們相互之間的邏輯關(guān)系。2．確定仿真算法兩個(gè)方面內(nèi)容：如何產(chǎn)生所需求的隨機(jī)變量；采用什么方法對(duì)離散事件系統(tǒng)仿真。確定仿真策略。3．建立仿真模型仿真時(shí)鐘在各種算法中的推進(jìn)方法。根據(jù)仿真算法建立仿真系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)模型（變量定義及程序流程）。4．設(shè)計(jì)仿真程序?qū)崿F(xiàn)仿真模型。5．仿真結(jié)果分析每次仿真結(jié)果只是隨機(jī)變量的一次取樣，仿真結(jié)果的可信度？

離散事件系統(tǒng)仿真步驟已知的基本信息：等待區(qū)足夠大；排隊(duì)規(guī)則先進(jìn)先出FIFO；到達(dá)間隔服從負(fù)指數(shù)分布

1＝1/10（臺(tái)/天）；修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布

2＝1/15（臺(tái)/天）；仿真時(shí)間長(zhǎng)度為365天。編程序求解：機(jī)器的平均等待時(shí)間；機(jī)器的平均逗留時(shí)間；修理臺(tái)利用率。

入口出口等修機(jī)器被修機(jī)器修理區(qū)隊(duì)列等待區(qū)

修理臺(tái)

實(shí)例：機(jī)器修理車(chē)間的仿真

這是一個(gè)典型的單服務(wù)員單隊(duì)列的排隊(duì)系統(tǒng)仿真模型。這類(lèi)排隊(duì)系統(tǒng)主要包括兩個(gè)要素：顧客（即服務(wù)對(duì)象）和服務(wù)員（即服務(wù)設(shè)備）。該系統(tǒng)由到達(dá)模式、服務(wù)模式、并行服務(wù)員數(shù)目、系統(tǒng)容量、排隊(duì)規(guī)則來(lái)表示。由命題可知，被修理的機(jī)器為“顧客”，而修理臺(tái)為“服務(wù)員”。該排隊(duì)系統(tǒng)的到達(dá)模式用機(jī)器到達(dá)間隔時(shí)間的負(fù)指數(shù)分布表示；服務(wù)模式由修理時(shí)間的負(fù)指數(shù)分布表示；系統(tǒng)中并行服務(wù)員數(shù)目為1；系統(tǒng)容量足夠大；排隊(duì)規(guī)則采用先進(jìn)先出FIFO方式。系統(tǒng)描述

系統(tǒng)建模

采用事件調(diào)度法，具體的仿真步驟如下：1）初始化：給出當(dāng)前仿真時(shí)鐘、系統(tǒng)狀態(tài)量及統(tǒng)計(jì)量的初始值；2）掃描事件表，將當(dāng)前仿真時(shí)鐘增加到下一個(gè)最早發(fā)生事件的時(shí)間上；3）處理該事件，相應(yīng)地改變系統(tǒng)狀態(tài)；4）收集統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)；5）若仿真時(shí)間未結(jié)束，則返回2，否則，執(zhí)行下一步；6）分析收集的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，產(chǎn)生報(bào)告。通過(guò)分析可知，該仿真模型只存在兩類(lèi)事件：第一類(lèi)事件為“到達(dá)事件”；第二類(lèi)事件為“離開(kāi)事件”。那么下一事件的類(lèi)型由變量EVTFLAG給出。仿真模型的總體結(jié)構(gòu)圖如下頁(yè)所示，其中INIT為系統(tǒng)初始化子程序；TIMEDV為時(shí)間推進(jìn)子程序；ARRIVE為到達(dá)事件處理子程序；DEPART為離開(kāi)事件處理子程序；REPORT為報(bào)告生成子程序。

仿真模型的總體結(jié)構(gòu)圖

主程序：仿真開(kāi)始INIT子程序：系統(tǒng)初始化TIMEDV子程序：時(shí)間推進(jìn)，確定下一個(gè)最早發(fā)生事件的類(lèi)型變量EVTFLAG的值。執(zhí)行到達(dá)事件子程序ARRIVE執(zhí)行離開(kāi)事件子程序DEPARTEVTFLAG=1EVTFLAG=2仿真結(jié)束嗎？REPORT子程序：打印報(bào)告仿真結(jié)束YN建模變量說(shuō)明

變量說(shuō)明系統(tǒng)狀態(tài)NUMQNUMR當(dāng)前時(shí)刻等待隊(duì)列中的機(jī)器數(shù)當(dāng)前時(shí)刻正在接受修理的機(jī)器數(shù)（0或1）實(shí)體屬性和集合WQAT[Q]WQAT[1]Q等待隊(duì)列中第Q－1個(gè)機(jī)器的到達(dá)時(shí)間現(xiàn)在正在接受修理的機(jī)器的到達(dá)時(shí)間等待隊(duì)列中元素索引將來(lái)事件表EVT[I]EVTFLAG類(lèi)型為I的下一事件發(fā)生時(shí)間，I=1,2下一事件類(lèi)型標(biāo)志（1或2）已知條件SEEDEATIERTTIMEFMIN產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的種子到達(dá)間隔時(shí)間均值修理時(shí)間均值仿真停止時(shí)間EVT[1]和EVT[2]的最小值（最早發(fā)生事件的時(shí)間值）仿真變量CLOCK仿真時(shí)鐘當(dāng)前時(shí)間累積統(tǒng)計(jì)量BTLETLQTVALSND到當(dāng)前時(shí)間為止修理臺(tái)工作的總時(shí)間上一事件發(fā)生時(shí)間當(dāng)前隊(duì)列中機(jī)器數(shù)與時(shí)間區(qū)間的乘積（機(jī)器等待的總時(shí)間）時(shí)間區(qū)間，當(dāng)前時(shí)間與上一事件發(fā)生時(shí)間之差到當(dāng)前時(shí)間為止已離開(kāi)的機(jī)器在系統(tǒng)中逗留的總時(shí)間到當(dāng)前時(shí)間為止已離開(kāi)的機(jī)器總數(shù)結(jié)果量P＝B/CLOCKW=S/NDWQ=TLQ/ND修理臺(tái)利用率機(jī)器在系統(tǒng)中平均逗留時(shí)間機(jī)器在隊(duì)列中平均等待時(shí)間到達(dá)事件的處理流程

CLOCK=t到達(dá)事件發(fā)生NUMR=1?NUMR=1NUMQ=NUMQ+1產(chǎn)生到達(dá)間隔時(shí)間AT，在t+AT安排新的到達(dá)事件產(chǎn)生修理時(shí)間RT，在t+RT安排新的離開(kāi)事件。收集統(tǒng)計(jì)轉(zhuǎn)向時(shí)間推進(jìn)子程序，繼續(xù)仿真NY離開(kāi)事件的處理流程

CLOCK=t離開(kāi)事件發(fā)生NUMQ

1?NUMR=0NUMQ=NUMQ-1產(chǎn)生修理時(shí)間RT，在t+RT安排新的離開(kāi)事件。收集統(tǒng)計(jì)轉(zhuǎn)向時(shí)間推進(jìn)子程序，繼續(xù)仿真NY計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

由已知條件可知：到達(dá)間隔時(shí)間服從

1＝1/10（臺(tái)/天）的負(fù)指數(shù)分布；修理時(shí)間服從

2＝1/15（臺(tái)/天）的負(fù)指數(shù)分布；仿真時(shí)間長(zhǎng)度為365天。故到達(dá)間隔時(shí)間均值EATI＝1/

1=10（天）；修理時(shí)間均值ERT＝1/

2＝15（天）；仿真結(jié)束時(shí)間TIME＝365（天）。給定隨機(jī)數(shù)發(fā)生器種子SEED＝113，則仿真結(jié)果機(jī)器在系統(tǒng)中平均逗留時(shí)間為33天；機(jī)器在隊(duì)列中平均等待時(shí)間為40天；修理臺(tái)利用率為78.9%。基本思想：針對(duì)待求問(wèn)題，根據(jù)物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，或人為構(gòu)造一合適的依賴(lài)隨機(jī)變量的概率模型，使某些隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)量為待求問(wèn)題的解，進(jìn)行大統(tǒng)計(jì)量（N→∞）的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)方法或計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法。

理論依據(jù)：

大數(shù)定理：均勻分布的算術(shù)平均收斂于真值中心極限定理：置信水平下的統(tǒng)計(jì)誤差兩個(gè)例子：

Buffen投針實(shí)驗(yàn)求π射擊問(wèn)題（打靶游戲）蒙特卡羅方法概述---基本思想Buffon投針實(shí)驗(yàn)(1777年）求π:N→∞大數(shù)定理蒙特卡羅方法概述---基本思想２．針與平行線(xiàn)垂直方向夾角為α，則相交概率為：一些人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果列于下表：實(shí)驗(yàn)者年份投計(jì)次數(shù)π的實(shí)驗(yàn)值沃爾弗(Wolf)185050003.1596史密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189411203.1419拉查里尼(Lazzarini)190134083.14159291.設(shè)r表示射擊運(yùn)動(dòng)員彈著點(diǎn)到靶心的距離，ｇ(r)表示擊中r處相應(yīng)的得分?jǐn)?shù)（環(huán)數(shù)），f(r)為該運(yùn)動(dòng)員彈著點(diǎn)的分布密度函數(shù)，它們反映運(yùn)動(dòng)員的射擊水平。該運(yùn)動(dòng)員的射擊成績(jī)?yōu)椋海?用概率語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，<g>是隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望，即３.假設(shè)該運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了Ｎ次射擊，每次射擊的彈著點(diǎn)依次為r1，r2，…，rN，則Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值代表了該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)射擊問(wèn)題（打靶游戲）４.用Ｎ次試驗(yàn)所得成績(jī)的算術(shù)平均值作為數(shù)學(xué)期望<g>的估計(jì)值。例如，設(shè)射擊運(yùn)動(dòng)員的彈著點(diǎn)分布為環(huán)數(shù)78910概率0.10.10.30.5用計(jì)算機(jī)作隨機(jī)試驗(yàn)（射擊）的方法為，選取一個(gè)隨機(jī)數(shù)ξ，按右邊所列方法判斷得到成績(jī)。這樣，就進(jìn)行了一次隨機(jī)試驗(yàn)（射擊），得到了一次成績(jī)ｇ(r)，作Ｎ次試驗(yàn)后，得到該運(yùn)動(dòng)員射擊成績(jī)的近似值

收斂性:大數(shù)定理作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如果X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限期望值（E(X)<∞），則

即隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單子樣的算術(shù)平均值，當(dāng)子樣數(shù)Ｎ充分大時(shí)，以概率1收斂于它的期望值E(X)。由前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機(jī)變量X的簡(jiǎn)單子樣X(jué)1，X2，…，XN的算術(shù)平均值：f(x)是X的分布密度函數(shù)。則當(dāng)N充分大時(shí)，有如下的近似式蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問(wèn)題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN獨(dú)立同分布，且具有有限非零的方差σ2

，即其中α稱(chēng)為置信度，1－α稱(chēng)為置信水平。這表明，不等式近似地以概率1－α成立，且誤差收斂速度的階為：O(N-1/2)蒙特卡洛法中的誤差---中心極限定理上式中λα與置信度α是一一對(duì)應(yīng)的，根據(jù)問(wèn)題的要求確定出置信水平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以確定出λα

。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε定義為給出幾個(gè)常用的α與λα

的數(shù)值：α0.50.050.003λα

0.67451.963兩點(diǎn)說(shuō)明：(1)MC方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計(jì)算方法是有區(qū)別的。(2)誤差中的均方差σ是未知的，必須使用其估計(jì)值來(lái)代替，在計(jì)算所求量的同時(shí)，可計(jì)算出估計(jì)值。（2）減小估計(jì)的均方差σ，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當(dāng)于N增大四倍的效果。

減小方差的各種技巧:（1）增大試驗(yàn)次數(shù)N。在σ固定的情況下，要把精度提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，試驗(yàn)次數(shù)N需增加兩個(gè)數(shù)量級(jí)。因此，單純?cè)龃驨不是一個(gè)有效的辦法。顯然當(dāng)給定置信度α（λα）后，誤差ε由σ和N決定。要減小ε：

效率:一般來(lái)說(shuō)，降低方差的技巧，往往會(huì)使觀(guān)察一個(gè)子樣的時(shí)間增加。在固定時(shí)間內(nèi)，使觀(guān)察的樣本數(shù)減少。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀(guān)察一個(gè)子樣的費(fèi)用（使用計(jì)算機(jī)的時(shí)間）兩者來(lái)衡量。這就是MC方法中效率的概念。它定義為σ2c

，其中c是觀(guān)察一個(gè)子樣的平均費(fèi)用。顯然σ2c越小，方法越有效。（1）能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點(diǎn)及物理實(shí)驗(yàn)過(guò)程蒙特卡羅方法的優(yōu)點(diǎn)從這個(gè)意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實(shí)驗(yàn)，甚至可以得到物理實(shí)驗(yàn)難以得到的結(jié)果。用蒙特卡羅方法解決實(shí)際問(wèn)題，可以直接從實(shí)際問(wèn)題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)。它具有直觀(guān)、形象的特點(diǎn)。（2）受幾何條件限制小計(jì)算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分：無(wú)論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個(gè)點(diǎn)：因此，在具有隨機(jī)性質(zhì)的問(wèn)題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會(huì)有原則上的困難。其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。得到積分的近似值：（3）收斂速度與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，MC方法的誤差為O(N-1/2)

，與問(wèn)題本身的維數(shù)無(wú)關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時(shí)間及估計(jì)量計(jì)算時(shí)間的變化，不影響誤差。這一特點(diǎn)，決定了蒙特卡羅方法對(duì)多維問(wèn)題的適應(yīng)性。而一般數(shù)值方法，比如計(jì)算定積分時(shí)，計(jì)算時(shí)間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且由于分點(diǎn)數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當(dāng)數(shù)量的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計(jì)算高維積分時(shí)難以克服的問(wèn)題。（4）具有同時(shí)計(jì)算多個(gè)方案與多個(gè)未知量的能力（2）使用蒙特卡羅方法還可以同時(shí)得到若干個(gè)所求量。（1）對(duì)于那些需要計(jì)算多個(gè)方案的問(wèn)題，使用蒙特卡羅方法有時(shí)不需要像常規(guī)方法那樣逐個(gè)計(jì)算，而可以同時(shí)計(jì)算所有的方案，其全部計(jì)算量幾乎與計(jì)算一個(gè)方案的計(jì)算量相當(dāng)。例如對(duì)于屏蔽層為均勻介質(zhì)的幾何平板，要計(jì)算若干種厚度的穿透概率時(shí)，只需計(jì)算最厚的一種情況，其他厚度的穿透概率在計(jì)算最厚一種情況時(shí)稍加處理便可同時(shí)得到。例如在模擬粒子過(guò)程中，可以同時(shí)得到不同區(qū)域的通量、能譜、角分布等，而不像常規(guī)方法那樣，需要逐一計(jì)算所求量。（5）誤差容易確定根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計(jì)算所求量的同時(shí)計(jì)算出誤差（6）程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行蒙特卡羅方法計(jì)算時(shí)，程序結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，分塊性強(qiáng)，易于實(shí)現(xiàn)。（1）收斂速度慢（2）誤差具有概率性蒙特卡羅方法的收斂速度為O(N-1/2)

，一般不容易得到精確度較高的近似結(jié)果。對(duì)于維數(shù)少（三維以下）的問(wèn)題，不如其他方法好。由于蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下估計(jì)的，所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差?！?蒙特卡羅方法概述---MC缺點(diǎn)（3）計(jì)算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)例如在粒子輸運(yùn)問(wèn)題中:經(jīng)驗(yàn)表明，只有當(dāng)系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時(shí)（一般在十個(gè)平均自由程左右），蒙特卡羅方法計(jì)算的結(jié)果較為滿(mǎn)意。但對(duì)于大系統(tǒng)或小概率事件的計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果往往比真值偏低。在使用蒙特卡羅方法時(shí)，可以考慮把蒙特卡羅方法與解析（或數(shù)值）方法相結(jié)合，取長(zhǎng)補(bǔ)短，既能解決解析（或數(shù)值）方法難以解決的問(wèn)題，也可以解決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問(wèn)題。真隨機(jī)數(shù)：不可重復(fù)，物理方法產(chǎn)生。隨機(jī)數(shù)是實(shí)現(xiàn)由已知分布抽樣的基本量，在由已知分布的抽樣過(guò)程中，將隨機(jī)數(shù)作為已知量，用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法可以由它產(chǎn)生具有任意已知分布的簡(jiǎn)單子樣。由具有已知分布的總體中抽取簡(jiǎn)單子樣，在蒙特卡羅方法中占有非常重要的地位?？傮w和子樣的關(guān)系，屬于一般和個(gè)別的關(guān)系，或者說(shuō)屬于共性和個(gè)性的關(guān)系。隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和檢驗(yàn)蒙特卡羅模擬就是邊產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)邊進(jìn)行隨機(jī)模擬的方法準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)：不具隨機(jī)性質(zhì)，只要處理問(wèn)題能得到正確結(jié)果。如放射性衰變，電子設(shè)備的熱噪音，宇宙射線(xiàn)的觸發(fā)時(shí)間等。偽隨機(jī)數(shù)：可重復(fù)，數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生，必須通過(guò)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)區(qū)分：數(shù)列的隨機(jī)性和隨機(jī)數(shù)的分布一個(gè)完美的隨機(jī)數(shù)序列可能具有某種分布（如均勻分布，高斯分布等），但具有某種分布的數(shù)列卻可能完全不是隨機(jī)的。分布函數(shù)為：最簡(jiǎn)單、最基本，也是最重要的隨機(jī)數(shù)是在單一區(qū)間[0,1]上的均勻分布的隨機(jī)數(shù)，其分布密度函數(shù)為由于隨機(jī)數(shù)在蒙特卡羅方法中占有極其重要的位置，我們用專(zhuān)門(mén)的符號(hào)ξ表示。用ξ1，ξ2

，…代表相互獨(dú)立且具有相同單位均勻分布的隨機(jī)數(shù)序列。獨(dú)立性、均勻性是隨機(jī)數(shù)必備的兩個(gè)特點(diǎn)。如：擲篩子游戲，投擲硬幣

用來(lái)作為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器的物理源主要有兩種：一種是根據(jù)放射性物質(zhì)的放射性，另一種是利用計(jì)算機(jī)的固有噪聲。用物理方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列無(wú)法重復(fù)實(shí)現(xiàn)，不能進(jìn)行程序復(fù)算，給驗(yàn)證結(jié)果帶來(lái)很大困難。而且，需要增加隨機(jī)數(shù)發(fā)生器和電路聯(lián)系等附加設(shè)備，費(fèi)用昂貴。因此，該方法也不適合在計(jì)算機(jī)上使用。在計(jì)算機(jī)上用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的基本原理是：利用某些物理現(xiàn)象，在計(jì)算機(jī)上增加某些特殊設(shè)備，可以在計(jì)算機(jī)上直接產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。這些特殊設(shè)備稱(chēng)為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。（1）馮·諾伊曼平方取中法遞推公式：以十進(jìn)制數(shù)為例，平方取中法是把一個(gè)2S位的十進(jìn)制自平方后，去頭截尾只保留中間2S個(gè)數(shù)字，然后用102S來(lái)除，這樣就可以得到在[0,1]上均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)序列。例如，設(shè)十進(jìn)制數(shù)的2S=4，并取x1=6406，則有：相應(yīng)的偽隨機(jī)數(shù)序列是0.6406，0.3680，0.1354，0.8333，0.4388等具有周期性，有些數(shù)甚至?xí)o接著重復(fù)出現(xiàn)，很少使用。由Lehmer在1951年提出來(lái)的，它的一般形式是：對(duì)于任一初始值x0，偽隨機(jī)數(shù)序列由下面遞推公式確定：（2）Lehmer

線(xiàn)性同余法例如乘同余法x0稱(chēng)為種子，改變它的值就得到基本序列的不同區(qū)段隨機(jī)數(shù)。a---乘子，c---增量，m---模乘同余法具有在計(jì)算機(jī)上容易實(shí)現(xiàn)、快速等特點(diǎn)，所以乘同余法已被廣泛采用。偽隨機(jī)數(shù)的均勻性偽隨機(jī)數(shù)的獨(dú)立性均勻性是指在[0,1]區(qū)間內(nèi)等長(zhǎng)度子區(qū)間中隨機(jī)數(shù)的數(shù)量是一樣的。按先后順序出現(xiàn)的隨機(jī)數(shù)中，每個(gè)隨機(jī)數(shù)的取值與其相距一定間隔的隨機(jī)數(shù)取值之間無(wú)關(guān)。判斷偽隨機(jī)數(shù)序列是否滿(mǎn)足均勻和相互獨(dú)立的要求，要靠統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法實(shí)現(xiàn)。對(duì)于偽隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，一般包括兩大類(lèi)：均勻性檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)偽隨機(jī)數(shù)的均勻性將區(qū)間[0,1]分為K個(gè)子區(qū)間，統(tǒng)計(jì)隨機(jī)數(shù)落在第k

個(gè)子區(qū)間的實(shí)際頻數(shù)nk，它應(yīng)當(dāng)趨近于理論頻數(shù)mk計(jì)算統(tǒng)計(jì)量如果χ2

值很大，表示遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離理想值，因此要求χ2值盡可能小，但如果它趨于0則有可能N已進(jìn)入循環(huán)。通常求和中的每一項(xiàng)的大小約為1，因此χ2的值約為K

。K的取值不能太大也不能太小，太大反映不出“小區(qū)間”的均勻性，太小反映不出“大區(qū)間”的均勻性。限制條件（1）概率論中的Pearson定理說(shuō)明，上式的極限概率分布是χ2

分布給出了χ2≤x的概率。整數(shù)ν是系統(tǒng)自由度表示獨(dú)立測(cè)量的次數(shù)，由于存在一個(gè)限制條件，故ν=K-1給出了χ2>x的概率余函數(shù)因此，當(dāng)給定顯著水平α(或置信度1?α)后，由方程Q(χ2|υ)=α或P(χ2|υ）=1?α解出χα值，或從已有的χ2

表中查得χα值，如果由（1）式計(jì)算出來(lái)的χ小于

χα

，則認(rèn)為在此置信度下，偽隨機(jī)數(shù)序列在[0,1]中是均勻分布的。（1）順序相關(guān)法它用相鄰兩個(gè)隨機(jī)數(shù)的自相關(guān)函數(shù)（或相關(guān)系數(shù)）來(lái)標(biāo)識(shí)偽隨機(jī)數(shù)序列的獨(dú)立性情況，間距為l的自相關(guān)函數(shù)是相關(guān)系數(shù)越小，獨(dú)立性越好。（2）多維頻率檢驗(yàn)（1）將偽隨機(jī)數(shù)序列用任意一種辦法進(jìn)行組合，每S個(gè)隨機(jī)數(shù)作為S維空間中的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，于是可以構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)序列。（2）把S維空間中的單位方體分成為K個(gè)子方體，方體邊長(zhǎng)（3）統(tǒng)計(jì)落在第k個(gè)子方體中的實(shí)際頻數(shù)nk，它應(yīng)當(dāng)趨近于理論頻數(shù)：隨機(jī)數(shù)的獨(dú)立性統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)隨機(jī)變量的抽樣---離散型隨機(jī)變量X：｛x1,x2,x3,···,xN｝例如：x可取3個(gè)值x1,x2,x3，它們出現(xiàn)的幾率分別為2/8,5/8,1/8，則隨機(jī)數(shù)小于2/8時(shí)實(shí)現(xiàn)x1

，在區(qū)間2/8,7/8中時(shí)實(shí)現(xiàn)x2

，大于7/8時(shí)實(shí)現(xiàn)x3.概率密度f(wàn)：｛p1,p2,p3,···,pN｝如果從[0,1]區(qū)間中均勻抽樣得到的隨機(jī)數(shù)ξ

滿(mǎn)足下式時(shí)則物理量x取值為xn

。實(shí)際需要的大多數(shù)隨機(jī)變量并不是[0,1]區(qū)間均勻分布的，而是有各種不同形式分布密度函數(shù)的隨機(jī)變量。因此，對(duì)不均勻的隨機(jī)變量抽樣的關(guān)鍵問(wèn)題是如何從均勻分布的偽隨機(jī)變量樣本中，抽取符合所要求的分布密度函數(shù)的簡(jiǎn)單子樣。設(shè)連續(xù)型變量x在區(qū)間[a,b]中取值，可視為將上述的離散情形取連續(xù)極限:要求變量x，可由上式解析反解出x(ξ)

的函數(shù)表達(dá)式，即求反函數(shù)。這對(duì)一些簡(jiǎn)單的幾率密度函數(shù)解析表達(dá)式是很容易做到的。則求反函數(shù)后得隨機(jī)變量的抽樣---連續(xù)型累積函數(shù)注意（1-ξ）和

ξ同樣服從[0，1]的均勻分布一維：變換抽樣法的基本思想是將一個(gè)比較復(fù)雜的分布p(x)的抽樣，變換為已知的簡(jiǎn)單分布g(y)

的抽樣我們希望找到x?y

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得幾率密度守恒：變換抽樣法例如：黑體輻射的譜密度按頻率ω

表示時(shí)為當(dāng)希望將譜密度用波長(zhǎng)λ=2πcω

表示時(shí)，有顯然，當(dāng)g(y)

取[0,1]均勻分布時(shí)，問(wèn)題即化為：尋找y(x)

，使其導(dǎo)數(shù)為p(x)，然后在[0,1]區(qū)間中對(duì)變量y

抽樣得到均勻分布的隨機(jī)數(shù)，再由x(y)

關(guān)系得到對(duì)應(yīng)幾率密度函數(shù)p(x)的隨機(jī)抽樣x

。二維：有兩個(gè)變量x和y的聯(lián)合分布密度函數(shù)為p(x,y)，欲變換至變量u和v，它們的聯(lián)合分布密度函數(shù)為g(u,v)取聯(lián)合分布密度函數(shù)g(u,v)

為均勻分布：則我們的任務(wù)就是尋找變換式x=x(u,v),y=y(u,v)

，以使p(x,y)=|?(u,v)/?(x,y)|

對(duì)均勻隨機(jī)變量(u,v)

進(jìn)行抽樣，代入變換式得x

和y的抽樣。對(duì)于Gauss正態(tài)幾率分布的抽樣通過(guò)代換可以只考慮簡(jiǎn)單形式的分布現(xiàn)在我們?cè)噲D通過(guò)一個(gè)兩維聯(lián)合分布的抽樣獲得該一維分布的抽樣。u和v都是[0,1]區(qū)間中的均勻分布的隨機(jī)抽樣，則變換關(guān)系式為Jacobi行列式即兩維分布正為兩個(gè)獨(dú)立分布之