專題30圓

考點一：垂徑定理

知識回顧

1.圓的定義：

定義①：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點0旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形

叫做圓。固定的端點0叫做圓心，線段OA叫做半徑.以0點為圓心的圓，記作，讀作“圓0”.

定義②：圓可以看做是所有到定點0的距離等于定長r的點的集合。

2.與圓有關的概念：

弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等。

連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，

圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半

圓的弧叫做劣弧。

3.垂徑定理：

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

4.垂徑定理的推論：

推論1:平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

垂徑定理和勾股定理相結合，構造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。

微專題

1.（2022?青海）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點。為圓心的圓的一部分，如果C是OO中弦

AB的中點，CO經(jīng)過圓心O交。。于點。，并且AB=4〃?，CD=6m,則。0的半徑長為m.

D

ACB

【分析】連接04如圖，設OO的半徑為，7”，根據(jù)垂徑定理的推論得到在Rt^AOC中利用

勾股定理得到2?+(6-r)2=J,然后解方程即可.

【解答】解：連接0A,如圖，設。。的半徑為

是。。中弦A8的中點，C￡>過圓心，

J.CDA.AB,4c=8C=LB=2MJ,

2

在RtZ\40C中，\'OA=nn,0C=(6-r)m,

22+(6-r)2=i2,

解得r=改，

3

即O。的半徑長為也■，〃.

3

故答案為：也.

3

2.(2022?牡丹江)。。的直徑C￡)=10,AB是。。的弦，AB_LCC,垂足為M,OM-.OC=3：5,則AC

的長為.

【分析】連接OA，由ABVCD,設OC=5x,0M=3x,則￡>M=2x,根據(jù)CD=10可得OC=5,OM=3,

根據(jù)垂徑定理得到AM=4,然后分類討論：當如圖1時，CM=8；當如圖2時，CM=2,再利用勾股定

理分別計算即可.

【解答】解：連接OA,

設OC=5x,OM=3x,則0M=2JG

VC￡>=10,

.,.OM=3,OA=OC=5t

TABI.CO,

：.AM=BM=—AB,

2

在RtZkOAM中，OA=5,

4加=甚2_0M2=752-32=4，

當如圖1時，CA/=OC+OM=5+3=8,

在RtAACM中，AC=dhM2KM2=742+82=期；

當如圖2時，CM=OC-OM=5-3=2,

在RtzXACM中，AC={AM2+HC2=^42+22=2^[5-

綜上所述，AC的長為4&或2遍.

故答案為：4代或2遍.

3.(2022?長沙)如圖，A、&C是00上的點，OCLAB,垂足為點￡>,且。為OC的中點，若。4=7,

則BC的長為.

C

【分析】根據(jù)已知條件證得△AOO絲△BCD(SAS),則8C=OA=7.

【解答】解：：OA=OC=7,且。為OC的中點，

：.OD=CD,

'：OC±AB,

：.ZODA=ZCDB=90°,AD=BD,

在△400和△8C￡>中，

'OD=CD

<ZADO=ZBDC

AD=BD

:.l\A0D%"BCD(SAS),

：.BC=OA=1.

故答案為：7.

4.（2022?自貢）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦AB長20厘米，弓形高CD

為2厘米，則鏡面半徑為厘米.

D

-I-

【分析】根據(jù)題意，弦A8長20厘米，弓形高CO為2厘米，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可以求得圓的半

徑.

【解答】解：如圖，點。是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC,則點C,點。，點。三點共線，

由題意可得：OC_LA8,AC=—AB=\0（厘米），

2

設鏡面半徑為x厘米，

由題意可得：7=1。2+（x-2）2

.,?鏡面半徑為26厘米，

故答案為：26.

5.（2022?黑龍江）如圖，在。。中，弦AB垂直平分半徑OC,垂足為。，若。。的半徑為2,則弦AB的

長為__________

【分析】連接由A8垂宜平分。C,求出。。的長，再利用垂徑定理得到。為A6的中點，在直角

三角形AOD中，利用垂徑定理求出AD的長,即可確定出AB的長.

【解答】解：連接OA,由48垂直平分OC,得到0。=工0。=1,

2

■:0C1.AB,

為48的中點，

貝IJ>4B=2AD=25/OA2-OD2=2^22-12=2?.

故答案為：2M.

6.（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內有個圓形花壇O,點C在弦AB上，AC=11,BC=2\,OC=13,則這

個花壇的面積為.（結果保留TT）

【分析】根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出0產，再根據(jù)圓面積的計算方法進行計算即可.

【解答】解：如圖，連接08,過點。作OOLA5于。，

'.'ODLAB,0。過圓心，AB是弦，

（AC+BC）=」X（11+21）=16,

222

：.CD=BC-BD=2\-16=5,

在RtACOD中，0。2=。。2_C￡>2=[32-52=144,

在RtZ\80￡>中，0解=0￡>2+8￡>2=144+256=400,

；?ITXOB2=400n,

（2022?遵義）數(shù)學小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28°,求北緯28°緯線的長度.

小組成員查閱相關資料，得到如下信息:

信息一：如圖1,在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線；

信息二：如圖2,赤道半徑0A約為6400千米，弦BC〃OA,以BC為直徑的圓的周長就是北緯28°緯

線的長度：

（參考數(shù)據(jù)：7TA3,sin28020.47,cos280弋0.88,tan28°-0.53）

根據(jù)以上信息，北緯28°緯線的長度約為千米.

圖1圖2

【分析】根據(jù)垂徑定理，平行線的性質，銳角三角函數(shù)的定義求解.

【解答】解：作OKLBC,則NBKO=90°,

'JBC//OA,乙4。8=28°,

,.?/8=乙4。8=28°,

在RtZXBOK中，08=04=6400.

/.BK=OBXcosB?6400X0.88=5632,

北緯28°的緯線長C=2ir?BK

-2X3X5632

=33792（千米）.

故答案為：33792.

8.（2022?黃石）如圖，圓中扇子對應的圓心角a（a<180°）與剩余圓心角p的比值為黃金比時，扇子

會顯得更加美觀，若黃金比取0.6,則0-a的度數(shù)是

【分析】根據(jù)己知，列出關于a，0的方程組，可解得a,0的度數(shù)，即可求出答案.

___=nA

【解答】解：根據(jù)題意得：B-

,a+B=360°

解得尸=135。，

\8=225。

.??B-a=225°-135°=90°,

故答案為：90°.

考點二：圓周角定理:

知識回顧

1.圓心角、弦以及弧之間的關系：

①定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

②推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應

的其余各組量都分別相等。

說明：同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指

同為優(yōu)弧或劣弧。

2.圓周角的定義：

頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

3.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。

4.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

5.圓的內接四邊形：

①定義：四個頂點都在圓上的四邊形叫做圓的內接四邊形。

②性質：I：圓內接四邊形的對角互補。

II：圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角。

.■、

微專題

9.（2022?襄陽）已知的直徑AB長為2,弦AC長為血，那么弦AC所對的圓周角的度數(shù)等于

【分析】首先利用勾股定理逆定理得N4OC=90°,再根據(jù)一條弦對著兩種圓周角可得答案.

【解答】解：如圖,

,：OA=OC=i,AC=V2>

：.OA2+OC2=AC2,

：.ZAOC=90°,

AZADC=45°,

/.ZAD'C-135°,

故答案為：45°或135°.

10.（2022?日照）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示

的測量，測得AB=12aw,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為

B.。-

?【分析】連接AC,根據(jù)/ABC=90°得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出AC即可.

【解答】解：連接AC,

-----

VZASC=90°,且NABC是圓周角,

；.AC是圓形鏡面的直徑,

由勾股定理得：^C=VAB2+BC2=V122+52=13（cm）,

所以圓形鏡面的半徑為衛(wèi)cm,

2

故答案為：

13C/7/

2

11.（2022?永州）如圖，AB是OO的直徑，點C、。在。。上，ZADC=30°,則NBOC=度.

【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半求出

/40C的度數(shù)，根據(jù)平角的定義即可得到N80C=180°-NAOC的度數(shù).

【解答】解：：NAOC是眾所對的圓周角，

：.ZAOC=2ZADC=2X30Q=60°,

AZBOC=1800-ZAOC=180°-60°=120°.

故答案為：120.

12.（2022?蘇州）如圖，A8是。。的直徑，弦CO交A8于點E,連接4C,AD.若NB4C=28°,則

【分析】如圖，連接BC,證明NAC8=90°,求出NA8C,可得結論.

D

是直徑，

-8=90°,

：.ZABC^90°-ZCAB=62°,

ABC=62°,

故答案為：62.

13.（2022?湖州）如圖，已知4?是。O的弦，ZAOB=\20°,OCLAB,垂足為C,OC的延長線交。。

于點。.若/4PO是AB所對的圓周角，則NAP。的度數(shù)是.

【分析】由垂徑定理得出俞=俞，由圓心角、弧、弦的關系定理得出NA0/）=N80。，進而得出NA。/）

=60°,由圓周角定理得出NAPQ=^NAOQ=30°,得出答案.

2

【解答】解：：OC_LAB,

?■?AD=BD-

NAOD=NBOD,

,.?乙4。8=120°,

工/AOB=60。，

2

AZAPD=^ZAOD=^X60°=30°,

22

故答案為：30°.

14.（2022?徐州）如圖，A、B、C點在圓。上，若/ACB=36°,則NAO8=.

，

B

【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半即可得出結論.

【解答】解：VZACB=^ZAOB,NAC8=36°,

2

AZA0B=2XZACB=12°.

故答案為：72°.

15.（2022?錦州）如圖，四邊形ABC￡＞內接于。0,AB為。。的直徑，ZADC=130°,連接AC,則/BAC

的度數(shù)為.

【分析】利用圓內接四邊形的性質和/AOC的度數(shù)求得N8的度數(shù)，利用直徑所對的圓周角是宜角得到

ZACB=90°,然后利用直角三角形的兩個銳角互余計算即可.

【解答】解：：四邊形A8C。內接于。0，/4DC=130°,

AZB=180°-ZADC=180°-130°=50°,

為。。的直徑，

AZACB=90°,

/C4B=90°-N8=90°-50°=40°,

故答案為：40°.

16.（2022?雅安）如圖，NCCE是。。內接四邊形ABC。的一個外角，若NDCE=72°,那么NBOQ的

度數(shù)為.

【分析】根據(jù)鄰補角的概念求出N8C。，根據(jù)圓內接四邊形的性質求出根據(jù)圓周角定理解答即可.

【解答】解：：NOCE=72°,

/.ZBCD=180°-NOCE=108°,

；四邊形ABCD內接于。。，

AZA=180°-ZBCD=72°,

由圓周角定理，得N2O￡?=2/A=144°,

故答案為：144°.

17.（2022?甘肅）如圖，。。是四邊形A8c。的外接圓，若NA8C=110°,則NA￡）C=

B

【分析】根據(jù)圓內接四邊形的對角互補即可得到結論.

【解答】解：,四邊形ABC。內接于。0,ZABC=110°,

/.ZADC=180°-ZABC=180°-110°=70°,

故答案為：70.

考點三：切線

知識回顧

1.點與圓的位置關系：

點與圓的位置關系有3種.設。。的半徑為，點P到圓心的距離OP=d,則有：

①點P在圓外廠

②點P在圓上od=r

①點P在圓內odVr

2.三角形的外接圓與外心：

經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓。圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫

做三角形的外心。

3.直線與圓的位置關系：

設。。的半徑為r,圓心0到直線/的距離為d,直線和圓的三種位置關系：

①相離：一條直線和圓沒有公共點。直線/和。。相離=">廠。

②相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的

公共點叫切點。直線/和。0相切0d=r。

③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線。直線/

和。0相交=d<ro

4.切線的性質：

①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。

③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

運用切線的性質進行計算或證明時，常常作的輔助線是連接圓心和切點，通過構造直角三角形或

相似三角形解決問題。

5.切線的判定：

經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作

該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知

條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡

單地說成“有交點，作半徑，證垂直”。

微專題

18.（2022?常州）如圖，ZiABC是0。的內接三角形.若/4BC=45°,AC=&,則的半徑是

【分析】連接AO并延長交。。于點。，連接C。，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得乙4。。=90°,再

利用同弧所對的圓周角相等可得NAOC=45°,然后在RtZLAC。中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出

的長，從而求出。。的半徑，即可解答.

【解答】解：連接A。并延長交。。于點連接CD,

*B

是OO的直徑,

-0=90°,

；/A8C=45°,

，/4OC=/A8C=45°,

；.。0的半徑是1.

故答案為：1.

19.（2022?黑龍江）如圖，在。0中，AB是。。的弦，。0的半徑為3a".C為。。上一點，N4c8=60°,

則AB的長為cm.

【分析】連接4。并延長交OO于點/），根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NA8O=90°,再利用同弧

所對的圓周角相等可求出NA￡>B=60°,然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解

答.

【解答】解：連接AO并延長交。。于點。，

'：AD是。O的直徑，（A

../8/）=9。。，7'/

VZACB=60°,

c

.?./AO8=/ACB=60°,

在RtZ\A8。中，AD=6cm,

：.AB=AD'sm60Q=6X亞=3?（cm）,

2

故答案為：3M.

20.（2022?玉林）如圖，在5X7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1,點O,A,B,C,D,E均在格點上，

點O良XNBC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除aABC外把你認為外心也是O的三角形都寫

出來

【分析】由網(wǎng)格利用勾股定理分別求解OA，OB,OC,OD,0E,根據(jù)三角形的外心到三角形頂點的距

離相等可求解.

【解答】解：由圖可知：

OA=yj12+22=V51

OB=yj12+22=V5，

OC=V12+22=V5'

OD=yjl2+22=V5）

OE=yjl2+32=V10，

OA=OB=OC=OD/OE,

△AC￡>,△BCD的外心都是點。，

故答案為：△A8D,△4CD,△BCD.

21.（2022?涼山井I）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，。0是△ABC的外接圓，點A,B,。在格點上，

則cosZACB的值是_______.

11111111

11T111

111111

'/l11111l\1

；A\J:::\7,B\

11?11

'__-J-

【分析】先連接AD，BD,然后根據(jù)題意，可以求得cosNADB的值,再根據(jù)圓周角定理可以得到NACB

=NADB,從而可以得到cos乙4cB的值.

【解答】解：連接A。，BD,和8。相交于點力，

,：AD是。。的直徑，

，，：：：ND

/.ZABD=90°,

F-1???

1?1?1

11111111

?.?A8=6,BD=4,

，

/MD-^AB2+BD2=而=2>/13

：.cosZADB=—=—,

AD2V1313

,/ZACB=ZADB,

：.cosZACB的值是漢亙，

13

故答案為：aZ亙.

13

22.（2022?資陽）如圖，ZVIBC內接于。0,AB是直徑，過點A作O。的切線AD若N5=35°,則N

D4C的度數(shù)是度.

【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得N54C=55°,再根據(jù)切線的性質可得/840=90°,即

可求解.

【解答】解：為宜徑,

AZC=90",

；/B=35°,

：.ZBAC=55°,

與00相切，

J.ABLAD,即/&4。=90",

AZCAD=90°-ZBAC=35°.

故答案為：35.

23.（2022?衢州）如圖，AB切。。于點8,AO的延長線交。。于點C,連結BC.若NA=40°,則/C

的度數(shù)為.

【分析】連接。8,先根據(jù)切線的性質求出NAO8，再根據(jù)O8=OC,NA0B=/C+N。8c即可解決問

題.

??SB是OO切線，

:.OB人AB,

：.ZABO=90Q,

VZA=40°,

AZAOB=90°-ZA=50°,

YOC=OB,

：.ZC=ZOBCf

?.*ZAOB=ZC+ZOBC,

：.ZC=25°.

故答案為：25°.

24.（2022?鹽城）如圖，AB.AC是。0的弦，過點A的切線交CB的延長線于點。，若N3AO=35°,

則NC=________

【分析】連接A。并延長交。。于點，連接8E,根據(jù)切線的性質可得/。4。=90°,從而求出NH4E

=55°,然后利用直徑所對的圓周角是直角可得NA3E=90°,從而利用直角三角形的兩個銳角互余可

求出NE的度數(shù)，最后根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可解答.

【解答】解：連接OA并延長交OO于點E,連接8E,

???4。與。。相切于點A,

/.ZOAD=90°,

VZBAD=35°，

：.ZBAE=ZOAD-ZBAD=55°,

是G)0的直徑,

AZAB￡=90"，

：.Z￡=90°-ZBA￡=35°,

；./C=/E=35°,

故答案為：35.

25.（2022?上海）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把

這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑

為.

【分析】根據(jù)題意畫出相應的圖形，利用圓周角定理、直角三角形的邊角關系以及三角形的面積公式進

行計算即可.

【解答】解：如圖，???圓與三角形的三條邊都有兩個交點，截得的三條弦相等，

圓心O就是三角形的內心，

...當。0過點C時，且在等腰直角三角形A8C的三邊上截得的弦相等，即CG=CF=DE,此時最

大，

過點。分別作弦CG、CF、DE的垂線，垂足分別為P、N、M,連接OC、04、0B,

,:CG=CF=DE,

：.OP=OM=ON,

'：ZC=90°,AB=2,AC=BC,

：.AC=BC=^-X2=V2?

2

由S^AOC+S^BOC+S^AOB=S^ABCy

：.OP+^BC-ON+^AB-OM=S^ABC=—AC-BC,

2222

設0M=x,則OP=ON=x,

近x+?x+2x=近乂賤,

解得X=血-1,

即OP=ON=42-1.

在RtZkCON中，OC=&ON=2-&,

故答案為：2-J，.

A

26.（2022?泰州）如圖，布與。。相切于點A,P0與相交于點B,點C在AmB上，且與點A、B不

重合.若/P=26°,則NC的度數(shù)為

【分析】連接A0并延長交。。于點。，連接。B,由切線的性質得出4P=90°,由/P=26°,求

出Z4OP=64°,由圓周角定理即可求出ZC=NO=32°.

【解答】解：如圖，連接A。并延長交。。于點Q,連接。8,

?.?川與。。相切于點A,

AZOAP=90°,

VZP=26°，

：.ZAOP=90°-ZP=90°-26°=64°,

：.ZD=^-ZAOP=—X640=32。，

22

??,點C在京上，且與點A、B不重合，

：.ZC=ZD=32°,

故答案為：32.

27.（2022?寧波）如圖，在△A8C中，AC=2,BC=4,點。在BC上，以08為半徑的圓與AC相切于點

A.。是8c邊上的動點，當△AC/）為直角三角形時，AO的長為.

【分析】根據(jù)切線的性質定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可.

【解答】解：連接過點A作8c于點

?.?圓與AC相切于點4

：.OALAC,

由題意可知：。點位置分為兩種情況，

①當NC4。為90°時，此時。點與。點重合，設圓的半徑=r,

：.OA=r,OC=4-r,

\'AC=2,

在RlAAOC中，根據(jù)勾股定理可得：J+4=(4-r)2,

解得：r=3,

2

即AO=AO=旦：

2

②當NAQC=90°時，AC-MAC,

0C

'：AO=^~,AC=2,OC=4-r=2

22

；.AD=^-,

5

綜上所述，A。的長為旦或反，

25

故答案為：旦或旦.

25

28.(2022?金華)如圖，木工用角尺的短邊緊靠。。于點A,長邊與。0相切于點8,角尺的直角頂點為

C.已知AC=6cm,CB=8cm,則。。的半徑為cm.

【分析】連接OA，OB,過點A作AOLO8于點，利用矩形的判定與性質得到8O=AC=6a〃，AD=

BC=Scm,設。。的半徑為si,在RtZXOAO中，利用勾股定理列出方程即可求解.

【解答】解：連接OA,0B,過點A作于點。，如圖，

；長邊與。。相切于點8,

.\OBLBC,

'：ACLBC,AD±OB,

四邊形AC8D為矩形,

??BD=AC=6cm,AD=BC=Sctn.

設OO的半徑為rem,

則OA=OB=rcm,

：.OD=OB-BD=(r-6)cm,

在RtAOAD中，

VAD2+OZ)2=OA2,

/.82+(r-6)2=E

解得：r=2§_.

3

故答案為：—.

3

29.（2022?湖北）如圖，點P是。O上一點，A8是一條弦，點。是APB上一點，與點。關于A8對稱,

AO交。。于點E,CE與AB交于點尸，且8r>〃CE.給出下面四個結論:

①CC平分NBCE；②BE=BD；?AE1=AF-AB,④8。為。。的切線.

其中所有正確結論的序號是

c

【分析】根據(jù)題意可得A8是CO的垂直平分線，從而可得4D=AC,8￡>=8C,再利用等腰三角形和平

行線的性質可得CD平分N8CE,即可判斷①；根據(jù)圓內接四邊形對角互補和平角定義可得NOE8=N

ACB,再利用SSS證明△AQB絲ZXACB,然后利用全等三角形的性質可得NAQ8=/ACB,從而可得/

DEB=NADB,即可判斷②；根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得/AE尸W/ABE,從而可得△AEF與aABE

不相似，即可判斷③；連接OB,交EC于點H,利用①②的結論可得8E=BC,從而可得嬴=黃，然

后利用垂徑定理可得/O”E=90°,最后利用平行線的性質可求出/。8。=90°,即可解答.

【解答】解：?.?點C與點。關于A8對稱,

...A8是CD的垂直平分線，

：.AD=AC,BD=BC,

：.NBCD=NBDC,

\'BD//CE,

：.ZBDC=ZDCE,

：.NDCE=/BCD,

，C￡)平分/8CE；

故①正確；

四邊形ACBE是OO的內接四邊形，

AZACB+ZAEB^ISO°,

；NAEB+NDEB=180",

:.NDEB=NACB,

'：AD=AC,BD=BC,AB=AB,

.?.△408絲△ACB(SSS),

，ZADB^ZACB,

：.ZDEB=ZADB,

：.BD=BE,

故②正確；

"：AC^AE,

.'?AC^AE.

ZAEF^ZABE,

：./XAEF與△A8E不相似，

故③不正確；

連接08，交EC于點H,

,:BD=BE,BD=BC,

:.BE=BC,

.'.OB±CE,

：.NOHE=90",

'."BD//CE,

:.NOHE=NOBD=90°,

：。8是。。的半徑，

：.BD為。。的切線，

故④正確；

所以給出上面四個結論，其中所有正確結論的序號是：①②④,

故答案為：①②④.

考點四：三角形的內切圓與內心

知識回顧

1.相交弦定理：

圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

幾何語言：若弦AB,CD交于點、P,則

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

幾何語言：若A8是直徑，CD垂直A8于點P,則PC2=po2=pA.pB。

2.弦切角定理：

(1)弦切角的定義：如圖像/ACP這樣，頂點在圓上，一邊和圓相交，另

一邊和圓相切的角叫做弦切角。

(2)弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半。

等于這條弧所對的圓周角。即NPCA=NPBC。

3.切線長定理:

（1）切線長定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線

（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分

兩條切線的夾角。

4.切割線定理：

從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

幾何語言：

VPT切。0于點T,PBA是。。的割線

.?.PT2=PA?PB（切割線定理）。

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

幾何語言：

VPBA,PDC是。。的割線

；.PD?PC=PA?PB

由上可知：PT2=PA叩B=PC叩D。

5.三角形的內切圓與內心：

內切圓與內心的概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做

三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點。

微專題

30.（2022?恩施州）如圖，在RtAABC中,ZC=90°,3c=4,3c=3,。。為RtZ\ABC的內切圓，則

圖中陰影部分的面積為（結果保留TT）.

【分析】根據(jù)題意，先作出相應的輔助線，然后求出內切圓的半徑，再根據(jù)圖形可知：陰影部分的面積

=^ABC的面積-正方形CEOD的面積-。。面積的旦，代入數(shù)據(jù)計算即可.

【解答】解：作O/)_LAC于點/),作。E_LCB于點E,作。尸J_A8于點F，連接04、OC、08,如圖,

VZC=90°,OD=OE=OF,

四邊形CE0D是正方形，

'：AC=4,8c=3,/C=90°,

,AB=VAC2+BC2=V42+32=5)

丁SAABC=S&AO1SACOB+SABOA，

.4X3.4-0D3*0E5-0F

..------------------+---------p-------*

2222

解得OO=OE=OF=1,

二圖中陰影部分的面積為：絲三-1X1-nXl2xl=5-3m

244

故答案為：5-STT.

31.(2022?泰州》如圖，AABC中,3c=90°,3c=8,BC=6,。為內心,過點。的直線分別與AC、

AB邊相交于點。、E.若。E=CQ+8E,則線段CO的長為.

【分析】連接B。，CO,結合內心的概念及平行線的判定分析可得當CE=C￡)+BE時，DE//BC,從而利

用相似三角形的判定和性質分析計算.

【解答】解：如圖，過點O的直線分別與AC、A8邊相交于點。、E,連接80,CO,

為△48C的內心，

???。0平分NAC3,30平分NA8c

,ZBCO=ZACO,ZCBO=ZABO,

當CO=。。時，則NOC￡>=NCO。，

:,NBC0=NC0D,

:?BC〃DE,

：.ZCBO=ZBOEf

：.BE=OE,

貝ljDE=CD+BE,

設CO=OD=x,BE=0E=y,

在RtAABC中,?4B=VAC2+BC2=I0,

，AD_DE8-x_x+y

.?，而冠即

<,

AEDE10_y_8_x

AB=BC110-8

'x=2

解得5，

y^2

：.CD=2,

過點。作￡>'E'±AB,作￡>E〃BC,

K

Li

X

CD'DA

???點。為△ABC的內心,

：.OD=OE'，

在和RtZkOE'E中，

‘NOE'E=ZODDZ

?OE'=0D，

ZEOEZ=ZD?OD

：./^ODD'烏△06E(ASA),

：.OE=OD',

：.D'E'=DE=CD+BE=CD'+BE'=2+a=a，

22

在△40'E'和△ABC中，

fZA=ZA

IZDZEzA=ZBCA'

.?.△40'E's^ABC,

.AD，D，E，

??---------------------，

ABBC

9_

.ADZ~2

??--------=----,

106

解得：AD'=生，

2

：.CD'=AC-AD'=A,

2

故答案為：2或上.

2

32.(2022?黔東南州)如圖，在aABC中，ZA=80°,半徑為3的的00是AABC的內切圓，連接08、

0C,則圖中陰影部分的面積是an1.(結果用含TT的式子表示)

【分析】根據(jù)角A的度數(shù)和內切圓的性質，得出圓心角。0E的度數(shù)即可得出陰影部分的面積.

【解答】解：???NA=80°,。。是△A8C的內切圓，

.,.ZDO￡=180°-(yZABC+yZACB:*=180°-(180°-ZA)=130°,

E=130腎32=普兀（而），

故答案為：生兀.

4

33.(2022?宜賓)我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個

大正方形(如圖所示).若直角三角形的內切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積

【分析】如圖，設內切圓的圓心為O,連接0￡、OD,則四邊形EOOC為正方形，然后利用內切圓和直

角三角形的性質得到AC+8C=A8+6,(fiC-AC)2=49,接著利用完全平方公式進行代數(shù)變形，最后解

關于AB的一元二次方程解決問題.

【解答】解：如圖，設內切圓的圓心為O,連接OD,

則四邊形EOOC為正方形，

/.OE=OD=3=JC+B*2,

2

：.AC+BC-AB=6,

：.AC+BC=AB+6,

：.(.AC+BC)2=(48+6)2,

BC2+AC2+2BCXAC=AB2+1248+36,

而BC2+AC2=AB2,

.?.2BCXAC=12AB+36①，

,小正方形的面積為49,

二(BC-AC)2=49,

.?.BC2+AC2-2BCXAC=49②，

把①代入②中得

AB1-85=0,

(.AB-17)(48+5)=0,

；.A8=17(負值舍去)，

大正方形的面積為289.

故答案為:289.

AB

考點五：正多邊形與圓

知識回顧

1.正多邊形與圓的關系

把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多

邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓。

2.正多邊形的有關概念

①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。

②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。

④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

Z----------------------------------------------------------S

微專題

34.（2022?長春）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲.如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等

邊三角形ABC和等邊三角形。EF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形.若AB=27厘米，則這個

正六邊形的周長為厘米.

【分析】根據(jù)對稱性和周長公式進行解答即可.

【解答】解：由圖象的對稱性可得，AM=MN=BN=—AB=9(厘米)，

3

正六邊形的周長為9X6=54（厘米），A

故答案為：54.工

D

35.（2022?營口）如圖，在正六邊形ABCQEF中,連接AC,CF,則NACF=_________度.

AF

CD

【分析】設正六邊形的邊長為1,正六邊形的每個內角為120°,在△A8C中，根據(jù)等腰三角形兩底角

相等得到NBAC=30°，從而NCA尸NBAC=120°-30°=90°,過點B作助WL4C于點何，

根據(jù)含30。的直角三角形的性質求出根據(jù)勾股定理求出4M,進而得到AC的長，根據(jù)tan/ACF

=鯉=工=乂&即可得出NACF=30°.

AC^33

【解答】解：設正六邊形的邊長為1,

正六邊形的每個內角=(6-2)X180°4-6=120°,

\'AB=BC,ZB=120°,

.\ZBAC=ZBCA=^-X(180°-120°)=31y,

2

V尸=120°,

：.ZCAF=ZBAF-ZBAC=\20a-30°=90'f

如圖，過點B作BMLAC于點M,則AM=C41（等腰三角形三線合一），

'：ZBMA=90°,ZBAM=30°,

：.BM=^AB=.^,

22

?=JAB2_BM2Tl2-(y)2=喙’

：.AC=2AM=y/3,AF

D

'：lanZACF=AF=1

AC7T

，/AC尸=30°,

故答案為：30.

36.（2022?呼和浩特）如圖,從一個邊長是a的正五邊形紙片上剪出一個扇形，這個扇形的面積為（用

含n的代數(shù)式表示）；如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，圓錐的底面圓直徑為.

【分析】先求出正五邊形的內角的度數(shù)，根據(jù)扇形面積的計算方法進行計算即可；扇形的弧長等于圓錐

的底面周長，可求出底面直徑.

【解答】解：???五邊形A8C0E是正五邊形,

/BC￡)=」'5-2)xX。_=108

5

扇形=108冗Xa2=3兀工；

36010

又?.?弧8。的長為曰生生=&工亙，即圓錐底面周長為旦生

18055

...圓錐底面直徑為之生，

5

故答案為：周片!

37.（202