浙江省臺州市2024屆高二數(shù)學第二學期期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線上的點到直線的最短距離為()A． B． C． D．2．在某項測量中，測量結果，且，若在內取值的概率為,則在內取值的概率為（）A． B． C． D．3．古代“五行”學認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五種不同屬性的物質任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰，則這樣的排列方法有A．5種 B．10種C．20種 D．120種4．雙曲線的漸近線方程是A． B．C． D．5．一臺機器在一天內發(fā)生故障的概率為，若這臺機器一周個工作日不發(fā)生故障，可獲利萬元；發(fā)生次故障獲利為萬元；發(fā)生次或次以上故障要虧損萬元，這臺機器一周個工作日內可能獲利的數(shù)學期望是（）萬元．（已知，）A． B． C． D．6．指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，而是指數(shù)函數(shù)，所以是增函數(shù)，關于上面推理正確的說法是（）A．推理的形式錯誤 B．大前提是錯誤的 C．小前提是錯誤的 D．結論是真確的7．在下列命題中，①從分別標有1,2,……,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是；②的展開式中的常數(shù)項為2；③設隨機變量，若，則.其中所有正確命題的序號是（）A．② B．①③C．②③ D．①②③8．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．9．的二項式系數(shù)之和為（）．A． B． C． D．10．已知，，，則（）．A． B． C． D．11．若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2 B．3C．4 D．812．已知隨機變量，若，則，分別為（）A．和 B．和 C．和 D．和二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．用反證法證明命題：“定義在實數(shù)集上的單調函數(shù)的圖象與軸至多只有個交點”時，應假設“定義在實數(shù)集上的單調函數(shù)的圖象與軸__________”．14．已知棱長為的正方體中，，分別是和的中點，點到平面的距離為________________．15．已知向量與互相垂直，則________．16．從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為調查某小區(qū)居民的“幸福度”．現(xiàn)從所有居民中隨機抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉），若幸福度分數(shù)不低于8.5分，則稱該人的幸福度為“幸?！保?）求從這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸福”的概率；（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個小區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該小區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學期望和方差．18．（12分）長時間用手機上網(wǎng)嚴重影響著學生的健康，某校為了解A，B兩班學生手機上網(wǎng)的時長，分別從這兩個班中隨機抽取6名同學進行調查，將他們平均每周手機上網(wǎng)時長作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字）.如果學生平均每周手機上網(wǎng)的時長大于21小時，則稱為“過度用網(wǎng)”（1）請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計A，B兩班的學生平均每周上網(wǎng)時長的平均值；（2）從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個數(shù)據(jù)，求恰有1個數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率；（3）從A班、B班的樣本中各隨機抽取2名學生的數(shù)據(jù)，記“過度用網(wǎng)”的學生人數(shù)為，寫出的分布列和數(shù)學期望E.19．（12分）設函數(shù).（I）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的值域.20．（12分）設函數(shù).（1）化簡：；（2）已知：，求的表達式；（3），請用數(shù)學歸納法證明不等式.21．（12分）已知在平面直角坐標系內,點在曲線(為參數(shù),)上運動.以為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為（1）寫出曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;（2）若與相交于兩點,點在曲線上移動,試求面積的最大值.22．（10分）設，．（Ⅰ）如果存在x1，x2∈[0,2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；（Ⅱ）如果對于任意的都有f(s)≥g(t)成立，求實數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：設拋物線上點，由點到直線距離公式，得點A到直線的距離，由二次函數(shù)的性質，可求最小距離.詳解：設拋物線上的任意一點，由拋物線的性質點A到直線的距離易得由二次函數(shù)的性質可知，當時，最小距離.故選B.點睛：本題考查拋物線的基本性質，點到直線距離公式，考查學生轉化能力和計算能力.2、B【解題分析】

根據(jù)，得到正態(tài)分布圖象的對稱軸為，根據(jù)在內取值的概率為0.3，利用在對稱軸為右側的概率為0.5，即可得出答案．【題目詳解】∵測量結果，∴正態(tài)分布圖象的對稱軸為，∵在內取值的概率為0.3，∴隨機變量在上取值的概率為，故選B．【題目點撥】本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義、概率的基本性質等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．3、B【解題分析】

根據(jù)題意，可看做五個位置排列五個數(shù)，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根據(jù)相克原理，1不與2,5相鄰，2不與1,3相鄰，依次類推，用分布計數(shù)原理寫出符合條件的情況.【題目詳解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不與2,5相鄰，2不與1,3相鄰，所以以“1”開頭的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”兩種，同理以其他數(shù)開頭的排法都是2種，所以共有種．選B.【題目點撥】本題考查分步計數(shù)原理的應用，考查抽象問題具體化，注重考查學生的思維能力，屬于中檔題.4、B【解題分析】

由雙曲線方程求得，由漸近線方程為求得結果.【題目詳解】由雙曲線方程得：，漸近線方程為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查雙曲線漸近線的求解，屬于基礎題.5、C【解題分析】

設獲利為隨機變量，可得出的可能取值有、、，列出隨機變量的分布列，利用數(shù)學期望公式計算出隨機變量的數(shù)學期望.【題目詳解】設獲利為隨機變量，則隨機變量的可能取值有、、，由題意可得，，則.所以，隨機變量的分布列如下表所示：因此，隨機變量的數(shù)學期望為，故選C.【題目點撥】本題考查隨機變量數(shù)學期望的計算，解題的關鍵就是根據(jù)已知條件列出隨機變量的分布列，考查運算求解能力，屬于中等題.6、B【解題分析】分析:指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，這個說法是錯誤的，要根據(jù)所給的底數(shù)的取值不同分類說出函數(shù)的不同單調性，有演繹推理的定義可知，大前提錯誤。詳解：指數(shù)函數(shù)是R上的增函數(shù)，這個說法是錯誤的，若,則是增函數(shù)，若,則是減函數(shù)所以大前提是錯誤的。所以B選項是正確的。點睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調性和演繹推理，意在考查三段論的推理形式和指數(shù)函數(shù)的圖像性質，屬于基礎題。7、C【解題分析】

根據(jù)二項式定理，古典概型，以及正態(tài)分布的概率計算，對選項進行逐一判斷，即可判斷.【題目詳解】對①：從9張卡片中不放回地隨機抽取2次，共有種可能；滿足2張卡片上的數(shù)奇偶性不同，共有種可能；根據(jù)古典概型的概率計算公式可得，其概率為，故①錯誤；對②：對寫出通項公式可得，令，解得，即可得常數(shù)項為，故②正確；對③：由正態(tài)分布的特點可知，故③正確.綜上所述，正確的有②③.故選：C.【題目點撥】本題考查古典概型的概率計算，二項式定理求常數(shù)項，以及正態(tài)分布的概率計算，屬綜合性基礎題.8、D【解題分析】

利用函數(shù)的奇偶性排除選項，利用特殊值定義點的位置判斷選項即可．【題目詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，排除選項B，當x=2時，f（2）=＜0，對應點在第四象限，排除A，C；故選D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，考查數(shù)形結合以及計算能力．9、B【解題分析】由題意得二項式系數(shù)和為．選．10、C【解題分析】試題分析：因為所以選C．考點：比較大小11、D【解題分析】

利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關于的方程，即可解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，故選D．【題目詳解】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．【題目點撥】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)．12、C【解題分析】

利用二項分布的數(shù)學期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性質可求出和的值.【題目詳解】，，.，，由期望和方差的性質可得，.故選：C.【題目點撥】本題考查均值和方差的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、至少有個交點【解題分析】分析：反證法證明命題，只否定結論，條件不變。詳解：命題：“定義在實數(shù)集上的單調函數(shù)的圖象與軸至多只有個交點”時，結論的反面為“與軸至少有個交點”。點睛：反證法證明命題，只否定結論，條件不變，至多只有個理解為，故否定為.14、1【解題分析】

以D點為原點，的方向分別為軸建立空間直角坐標系，求出各頂點的坐標，進而求出平面的法向量，代入向量點到平面的距離公式，即可求解．【題目詳解】以為坐標原點，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，所以，，，設

是平面的法向量，則，即，令，可得，故，設點在平面上的射影為，連接，則是平面的斜線段，所以點到平面的距離．【題目點撥】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應用，對于利用空間向量求解點到平面的距離的步驟通常為：①求平面的法向量；②求斜線段對應的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉化為點到平面的距離求解．著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.15、1【解題分析】

兩向量垂直，其數(shù)量積的等于0.【題目詳解】【題目點撥】本題考查兩向量垂直的數(shù)量積表示，屬于基礎題．16、1【解題分析】試題分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率計算公式求出事件A的概率，同樣利用古典概型概率計算公式求出事件AB的概率，然后直接利用條件概率公式求解．解：P（A）=，P（AB）=．由條件概率公式得P（B|A）=．故答案為．點評：本題考查了條件概率與互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率計算公式，解答的關鍵在于對條件概率的理解與公式的運用，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）的分布列見解析；數(shù)學期望為；方差為【解題分析】

首先由莖葉圖統(tǒng)計出“幸?！钡娜藬?shù)和其他人數(shù)，再計算概率．由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸?！钡母怕蕿?，知道在該小區(qū)中任選一人該人幸福度為“幸?！钡母怕蕿?，再計算即可．【題目詳解】(1)由莖葉圖可知，抽取的16人中“幸?！钡娜藬?shù)有12人，其他的有4人；記“從這16人中隨機選取3人，至少有2人是“幸?！保睘槭录?由題意得(2)由莖葉圖知任選一人，該人幸福度為“幸福”的概率為，的可能取值為0,1,2,3,顯然則；；；；所以的分布列為0123【題目點撥】本題考查莖葉圖、樣本估計總體、分布列、數(shù)學期望，屬于基礎題．18、（1）19小時；22小時.（2）（3）分布列見詳解；.【解題分析】

（1）根據(jù)平均數(shù)計算公式，分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)即可；（2）根據(jù)二項分布的概率計算公式即可求得；（3）根據(jù)題意寫出的取值范圍，再根據(jù)古典概型概率計算公式求得對應概率，寫出分布列，根據(jù)分布列求得期望.【題目詳解】（1）A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計A班學生每周平均上網(wǎng)時間19小時；B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為，由此估計B班學生每周平均上網(wǎng)時間22小時.（2）因為從A班的6個樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取1個的數(shù)據(jù)，為“過度用網(wǎng)”的概率是，根據(jù)二項分布的概率計算公式：從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回的抽取2個的數(shù)據(jù)，恰有1個數(shù)據(jù)為“過度用網(wǎng)”的概率：.（3）的可能取值為0,1,2,3,4.，，，，.的分布列是：01234P.【題目點撥】本題考查根據(jù)莖葉圖計算數(shù)據(jù)的平均值，離散型隨機變量的分布列求解以及根據(jù)分布列求解數(shù)學期望，屬綜合中檔題.19、（I）；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）將函數(shù)的解析式利用二倍角降冪公式、輔助角公式化簡，再利用周期公式可計算出函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）由，求出的取值范圍，再結合正弦函數(shù)的圖象得出的范圍，于此可得出函數(shù)在區(qū)間上的值域.【題目詳解】（Ⅰ），所以；（Ⅱ）因為，因為，所以，所以，所以的值域為.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的基本性質，考查三角函數(shù)的周期和值域問題，首先應該將三角函數(shù)解析式化簡，并將角視為一個整體，結合三角函數(shù)圖象得出相關性質，考查計算能力，屬于中等題．20、（1）；（2）；（3）證明見解析.【解題分析】

（1）利用組合數(shù)公式化簡后可得出結果；（2）由（1）得出，令可得，化簡得出，代入函數(shù)的解析式，利用二項式定理進行化簡得出，于此可得出的表達式；（3）先由（2）中的結論，結合組合數(shù)的性質得出，然后再用數(shù)學歸納法證明出不等式成立即可.【題目詳解】（1）；（2）由（1）得，令可得，即，所以，，因此，；（3），所以，，即，①，②①②得，，下面用數(shù)學歸納法證明.（i）當時，則有，結論成立；（ii）假設當時，，那么當時，，所以當時，結論也成立.根據(jù)（i）（ii）恒成立.【題目點撥】本題考查組合數(shù)的性質與計算、以及二項式定理的逆向應用，同時也考查了利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式，證明時要適當利用放縮法進行證明，考查推理能力，綜合性較強，屬于難題.21、(Ⅰ)曲線的標準方程：；直線的直角坐標方程為：(Ⅱ)【解題分析】試題分析：(Ⅰ)對于曲線，理平方關系消去參數(shù)即可；對于極坐標方程利用三角函數(shù)的和角公式后再化成直角坐標方程，再利用消去參數(shù)得到直線的直角坐標方程．(Ⅱ)欲求面積的最大值，由于一定，故只要求邊上的高最大即可，根據(jù)平面幾何的特征，當點在過圓心且垂直于的直線上時，距離最遠，據(jù)此求面積的最大值即可．試題解析：(Ⅰ)消參數(shù)得曲線的標準方程：.由題得：，即直線的直角坐標方程為：