第36講直線、平面垂直的判定及性質【練基礎】1．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n2．若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是()A．若α⊥β，m⊥β，則m∥αB．若m∥α，n⊥m，則n⊥αC．若m∥α，n∥α，m?β，n?β，則α∥βD．若m∥β，m?α，α∩β＝n，則m∥n3．已知平面α和直線a，b，若a∥α，則“b⊥a”是“b⊥α”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個互相垂直的平面，則下列命題正確的是()A．若m?α，則m⊥βB．若m?α，n?β，則m⊥nC．若m?α，m⊥β，則m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α5．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直線m⊥平面β，還需要補充以下的條件是()A．m?α B．m∥αC．m⊥l D．m?α且m⊥l6．若α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題正確的是()A．若α∩β＝m，n?α，m⊥n，則α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，則m⊥nC．若m不垂直于平面α，則m不可能垂直于平面α內的無數(shù)條直線D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β7．在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是()A．① B．①②C．②③ D．④8.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點H在()A．直線AC上 B．直線AB上C．直線BC上 D．△ABC內部9.如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是()A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PAB10.一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個面均為直角三角形．如圖，在四面體P-ABC中，設E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點，連接AE，AF，EF(此外不再增加任何連線)，則圖中直角三角形最多有()A．6個 B．8個C．10個 D．12個【練提升】1．已知直線m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，給出下列命題：①若α∥β，則m⊥l；②若α⊥β，則m∥l；③若m⊥l，則α⊥β；④若m∥l，則α⊥β.其中正確的命題是()A．①④ B．③④C．①② D．①③2．(多選)如圖，線段AB為圓O的直徑，點E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.則()A．DF∥平面BCEB．異面直線BF與DC所成的角為30°C．△EFC為直角三角形D．VC-BEF∶VF-ABCD＝1∶43．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.4．若α，β是兩個相交平面，m為一條直線，則下列命題中，所有真命題的序號為________．①若m⊥α，則在β內一定不存在與m平行的直線；②若m⊥α，則在β內一定存在無數(shù)條直線與m垂直；③若m?α，則在β內不一定存在與m垂直的直線；④若m?α，則在β內一定存在與m垂直的直線．5．在矩形ABCD中，AB＜BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結論：①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結論的序號是________．6．在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC，BF上移動，若CM＝BN，則MN長度的最小值為________．7.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.8．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB＝2，∠A1AB＝60°.(1)求證：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，且AC⊥B1C1，求該三棱柱的體積．第36講直線、平面垂直的判定及性質【練基礎】1．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n【答案】C【解析】因為α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.2．若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是()A．若α⊥β，m⊥β，則m∥αB．若m∥α，n⊥m，則n⊥αC．若m∥α，n∥α，m?β，n?β，則α∥βD．若m∥β，m?α，α∩β＝n，則m∥n【答案】D【解析】選項A中，m與α的關系是m∥α或m?α，故A不正確；選項B中，n與α之間的關系是n與α相交或n∥α，故B不正確；選項C中，α與β的關系是α∥β或α與β相交，故C不正確；選項D中，由線面平行的性質可得命題正確．故選D.3．已知平面α和直線a，b，若a∥α，則“b⊥a”是“b⊥α”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)空間中直線與平面之間的位置關系，由a∥α，b⊥α，可得b⊥a，反之不成立，可能b與α相交或平行．∴“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件．故選B.4．已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個互相垂直的平面，則下列命題正確的是()A．若m?α，則m⊥βB．若m?α，n?β，則m⊥nC．若m?α，m⊥β，則m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α【答案】C【解析】對于A：若m?α，則m與平面β可能平行或相交，所以A錯誤；對于B：若m?α，n?β，則m與n可能平行、相交或異面，所以B錯誤；對于C：若m?α，m⊥β，則m∥α，C正確；對于D：α∩β＝m，n⊥m，則n不一定與平面α垂直，所以D錯誤．5．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，要得到直線m⊥平面β，還需要補充以下的條件是()A．m?α B．m∥αC．m⊥l D．m?α且m⊥l【答案】D【解析】選項A、B、C的條件都不能得到直線m⊥平面β.而補充選項D后，可以得到直線m⊥平面β.理由是：若兩平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面．故選D.6．若α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題正確的是()A．若α∩β＝m，n?α，m⊥n，則α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，則m⊥nC．若m不垂直于平面α，則m不可能垂直于平面α內的無數(shù)條直線D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β【答案】D【解析】對于選項A，直線n是否垂直于平面β未知，所以α不一定垂直β，選項A錯誤；對于選項B，由條件只能推出直線m與n共面，不能推出m⊥n，選項B錯誤；對于選項C，命題“若m不垂直于平面α，則m不可能垂直于平面α內的無數(shù)條直線”的逆否命題是“若直線m垂直于平面α內的無數(shù)條直線，則m垂直平面α”，這不符合線面垂直的判定定理，選項C錯誤；對于選項D，因為n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，選項D正確．故選D.7．在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是()A．① B．①②C．②③ D．④【答案】A【解析】在①中，設平面BCD上的另一個頂點為A1，連接BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，則CD⊥平面ABA1，故CD⊥AB，②③④均不能推出AB⊥CD.故選A.8.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點H在()A．直線AC上 B．直線AB上C．直線BC上 D．△ABC內部【答案】B【解析】連接AC1，如圖．∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC在平面ABC內，∴根據(jù)面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，則根據(jù)面面垂直的性質定理知，在平面ABC1內一點C1向平面ABC作垂線，垂足必落在交線AB上．故選B.9.如圖，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，則圖中與平面PCD垂直的平面是()A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PAB【答案】C【解析】由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四邊形ABCD為矩形得CD⊥AD，從而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故選C.10.一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個面均為直角三角形．如圖，在四面體P-ABC中，設E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點，連接AE，AF，EF(此外不再增加任何連線)，則圖中直角三角形最多有()A．6個 B．8個C．10個 D．12個【答案】C【解析】為使題圖中有盡可能多的直角三角形，設四面體P-ABC為“鱉臑”，其中PA⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC.又AE⊥PB，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC.又EF⊥PC，知四面體P-AEF也是“鱉臑”，則題圖中的10個三角形全是直角三角形，故選C.【練提升】1．已知直線m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，給出下列命題：①若α∥β，則m⊥l；②若α⊥β，則m∥l；③若m⊥l，則α⊥β；④若m∥l，則α⊥β.其中正確的命題是()A．①④ B．③④C．①② D．①③【答案】A【解析】對于①，若α∥β，m⊥α，l?β，則m⊥l，故①正確．對于④，若m∥l，m⊥α，則l⊥α，又l?β，所以α⊥β.故④正確．故選A.2．(多選)如圖，線段AB為圓O的直徑，點E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.則()A．DF∥平面BCEB．異面直線BF與DC所成的角為30°C．△EFC為直角三角形D．VC-BEF∶VF-ABCD＝1∶4【答案】BD【解析】對A項，因為AB∥EF，AB∥CD，所以EF∥CD，所以四邊形CDFE確定一個平面．由于CD，EF的長度不相等，則DF，CE不平行，即DF與平面BCE有公共點，故A錯誤；對B項，連接OF，OE，OE與BF交于點G.因為OB∥EF，OB＝EF，OB＝OF＝1，所以四邊形OBEF為菱形，則BE＝OF＝1，所以△OBE為等邊三角形．由于點G為OE的中點，則∠OBG＝eq\f(1,2)∠OBE＝30°.因為AB∥CD，所以異面直線BF與DC所成的角為∠ABF＝∠OBG＝30°，故B正確；對C項，由于四邊形OBEF為菱形，則BF＝2BG＝2eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\r(3).由面面垂直的性質以及線面垂直的性質可知，BC⊥BE，BC⊥BF，所以CF＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，CE＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).又EF2＋CE2＝3≠CF2，所以△EFC不是直角三角形，故C錯誤；對D項，因為BF＝eq\r(3)，BE＝1，EF＝1，所以S△BEF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(3),4).由面面垂直的性質可知，BC⊥平面BEF，所以VC-BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×1＝eq\f(\r(3),12).過點F作AB的垂線，垂足為H，則FH＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(\r(3),2)，根據(jù)面面垂直的性質可知HF⊥平面ABCD，則VF-ABCD＝eq\f(1,3)×2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，所以VC-BEF∶VF-ABCD＝1∶4，故D正確，故選B、D.3．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.【解析】∵△PAB≌△PAD，∴PB＝PD，∴△PDC≌△PBC，當BM⊥PC時，有DM⊥PC，此時PC⊥平面MBD，∴平面MBD⊥平面PCD.故填BM⊥PC(或DM⊥PC)．【答案】BM⊥PC(或DM⊥PC)4．若α，β是兩個相交平面，m為一條直線，則下列命題中，所有真命題的序號為________．①若m⊥α，則在β內一定不存在與m平行的直線；②若m⊥α，則在β內一定存在無數(shù)條直線與m垂直；③若m?α，則在β內不一定存在與m垂直的直線；④若m?α，則在β內一定存在與m垂直的直線．【解析】若m⊥α，如果α，β互相垂直，則在平面β內存在與m平行的直線，故①錯誤；若m⊥α，則m垂直于平面α內的所有直線，故在平面β內一定存在無數(shù)條直線與m垂直，故②正確；若m?α，則在平面β內一定存在與m垂直的直線，故③錯誤，④正確．【答案】②④5．在矩形ABCD中，AB＜BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折的過程中，給出下列結論：①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結論的序號是________．【解析】假設AC與BD垂直，過點A作AE⊥BD于E，連接CE.則eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AE⊥BD,BD⊥AC))?BD⊥平面AEC?BD⊥CE，而在平面BCD中，CE與BD不垂直，故假設不成立，①不正確．假設AB⊥CD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在這樣的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假設成立，②正確．假設AD⊥BC，∵CD⊥BC，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，即△ABC為直角三角形，且AB為斜邊，而AB＜BC，故矛盾，假設不成立，③不正確．綜上，填②.【答案】②6．在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC，BF上移動，若CM＝BN，則MN長度的最小值為________．【解析】過M作MQ⊥AB于Q，連接QN，如圖所示．∵平面ABCD⊥平面ABEF，且交線為AB，∴MQ⊥平面ABEF，又QN?平面ABEF，∴MQ⊥QN.設CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，則AM＝NF＝eq\r(2)－a，∵MQ⊥AB，∴MQ∥BC，∴eq\f(MQ,BC)＝eq\f(AM,AC)＝eq\f(AQ,AB)，又知CM＝BN，AM＝NF，AC＝BF，∴eq\f(AQ,AB)＝eq\f(AM,AC)＝eq\f(NF,BF)，∴QN∥AF，且QN＝eq\f(\r(2),2)a.同理，QM＝1－eq\f(\r(2),2)a.在Rt△MQN中，MN＝eq\r(QN2＋QM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)a))2)＝eq\r(a2－\r(2)a＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2)))2＋\f(1,2))，∵0<a<eq\r(2)，∴當a＝eq\f(\r(2),2)時，MN取得最小值eq\f(\r(2),2).即MN長度的最小值為eq\f(\r(2),2).【答案】eq\f(\r(2),2)7.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE