平面向量與坐標(biāo)系中的向量運(yùn)算匯報(bào)人：XX2024-01-26XXREPORTING目錄向量基本概念與性質(zhì)平面直角坐標(biāo)系中的向量表示向量的加法、減法運(yùn)算及其性質(zhì)向量的數(shù)量積（點(diǎn)乘）運(yùn)算及其性質(zhì)向量的向量積（叉乘）運(yùn)算及其性質(zhì)坐標(biāo)系中向量運(yùn)算應(yīng)用舉例PART01向量基本概念與性質(zhì)REPORTINGXX向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。向量可以用小寫字母或大寫字母加箭頭表示，如$vec{a}$或$vec{AB}$，其中$vec{AB}$表示起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的向量。向量的定義及表示方法向量表示方法向量定義向量加法01向量加法滿足平行四邊形法則或三角形法則，即$vec{a}+vec=vec{c}$，其中$vec{c}$是以$vec{a}$和$vec$為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所表示的向量。向量減法02向量減法滿足三角形法則，即$vec{a}-vec=vec{c}$，其中$vec{c}$是以$vec$和$vec{a}$為鄰邊的三角形的第三邊所表示的向量。向量數(shù)乘03向量與實(shí)數(shù)的乘法滿足數(shù)乘的運(yùn)算法則，即$kvec{a}=vec$，其中$k$是實(shí)數(shù)，$vec{a}$和$vec$是共線的向量，且$|vec|=|k||vec{a}|$。向量的線性運(yùn)算規(guī)則向量的模向量的模是指向量的長(zhǎng)度，記作$|vec{a}|$，對(duì)于任意向量$vec{a}$，有$|vec{a}|geqslant0$，當(dāng)且僅當(dāng)$vec{a}=vec{0}$時(shí)，$|vec{a}|=0$。向量的方向角非零向量$vec{a}$與正$x$軸的夾角稱為向量$vec{a}$的方向角，記作$alpha$，其中$0leqslantalpha<2pi$。當(dāng)向量與$x$軸正方向相同時(shí)，其方向角為$0$；當(dāng)向量與$x$軸正方向相反時(shí)，其方向角為$pi$。向量的模與方向角單位向量長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量。對(duì)于任意非零向量$vec{a}$，都可以將其化為單位向量$frac{vec{a}}{|vec{a}|}$。零向量長(zhǎng)度為0的向量稱為零向量，記作$vec{0}$。零向量沒有方向，它與任意向量的夾角都是任意的。單位向量與零向量PART02平面直角坐標(biāo)系中的向量表示REPORTINGXX坐標(biāo)原點(diǎn)與坐標(biāo)軸選擇坐標(biāo)原點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，通常選擇兩條數(shù)軸的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，它是所有向量的起點(diǎn)。坐標(biāo)軸選擇在平面直角坐標(biāo)系中，通常選擇水平方向的數(shù)軸為x軸，豎直方向的數(shù)軸為y軸。根據(jù)實(shí)際需要，也可以選擇其他方向的數(shù)軸作為坐標(biāo)軸。點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P的位置可以用一個(gè)有序數(shù)對(duì)(x,y)來表示，其中x是點(diǎn)P到x軸的距離，y是點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離。這個(gè)有序數(shù)對(duì)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)。點(diǎn)的位置關(guān)系通過比較兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以判斷它們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中的位置關(guān)系，如上下、左右、斜向等。點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置表示在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)向量a可以用一個(gè)有序數(shù)對(duì)(x,y)來表示，其中x是向量a在x軸上的投影長(zhǎng)度（帶正負(fù)號(hào)），y是向量a在y軸上的投影長(zhǎng)度（帶正負(fù)號(hào)）。這個(gè)有序數(shù)對(duì)稱為向量a的坐標(biāo)。向量的坐標(biāo)表示向量a的方向由它的坐標(biāo)(x,y)決定。當(dāng)x>0時(shí)，向量a向右；當(dāng)x<0時(shí)，向量a向左；當(dāng)y>0時(shí)，向量a向上；當(dāng)y<0時(shí)，向量a向下。向量的方向向量在坐標(biāo)系中的表示方法ABCD向量間關(guān)系判斷依據(jù)向量相等如果兩個(gè)向量的坐標(biāo)相同，則這兩個(gè)向量相等。向量垂直如果兩個(gè)向量的點(diǎn)積為零，則這兩個(gè)向量垂直。向量共線如果兩個(gè)向量滿足其中一個(gè)向量是另一個(gè)向量的倍數(shù)（包括負(fù)數(shù)倍），則這兩個(gè)向量共線。向量平行如果兩個(gè)向量共線但不相等，則這兩個(gè)向量平行。PART03向量的加法、減法運(yùn)算及其性質(zhì)REPORTINGXX平行四邊形法則和三角形法則介紹以兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，這兩個(gè)向量的和就是與它們共點(diǎn)的那條對(duì)角線所表示的向量。平行四邊形法則把兩個(gè)向量平移至一個(gè)公共起點(diǎn)，它們的差就是以減向量的終點(diǎn)連接被減向量的終點(diǎn)所得的向量。三角形法則VS若向量A=(x1,y1)，向量B=(x2,y2)，則向量A+向量B=(x1+x2,y1+y2)。向量減法規(guī)則若向量A=(x1,y1)，向量B=(x2,y2)，則向量A-向量B=(x1-x2,y1-y2)。向量加法規(guī)則坐標(biāo)形式下向量加減法規(guī)則向量的加法和減法運(yùn)算在幾何上表現(xiàn)為向量的平移和連接，其結(jié)果仍然是一個(gè)向量。設(shè)向量A=(2,1)，向量B=(1,3)，則向量A+向量B=(3,4)，表示一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4)的向量；向量A-向量B=(1,-2)，表示一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)的向量。幾何意義示例分析幾何意義解釋及示例分析運(yùn)算性質(zhì)總結(jié)結(jié)合律負(fù)元律向量加法滿足結(jié)合律，即(A+B)+C=A+(B+C)。對(duì)任意向量A，存在負(fù)向量-A，使得A+(-A)=0。交換律零元律減法性質(zhì)向量加法滿足交換律，即A+B=B+A。存在零向量0，使得對(duì)任意向量A，有A+0=A。向量的減法可以轉(zhuǎn)化為加法，即A-B=A+(-B)。PART04向量的數(shù)量積（點(diǎn)乘）運(yùn)算及其性質(zhì)REPORTINGXX兩個(gè)向量a與b的數(shù)量積（又稱為點(diǎn)乘）是一個(gè)標(biāo)量，記作a·b。它的值等于a的模與b的模及它們夾角的余弦的乘積，即a·b=|a||b|cos<a,b>。數(shù)量積定義在平面直角坐標(biāo)系中，若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a·b=x1x2+y1y2。計(jì)算公式數(shù)量積定義及計(jì)算公式根據(jù)題目給出的信息，確定向量a和b的坐標(biāo)。確定向量a和b的坐標(biāo)使用數(shù)量積的計(jì)算公式，將向量a和b的坐標(biāo)代入公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算數(shù)量積計(jì)算完成后，得出向量a和b的數(shù)量積的值。得出結(jié)果坐標(biāo)形式下數(shù)量積計(jì)算步驟幾何意義數(shù)量積的幾何意義是向量a在向量b上的投影與向量b的模的乘積。當(dāng)兩個(gè)向量的夾角小于90度時(shí)，數(shù)量積為正；夾角等于90度時(shí)，數(shù)量積為零；夾角大于90度時(shí)，數(shù)量積為負(fù)。示例分析設(shè)向量a=(2,1)，向量b=(1,2)，則a·b=2*1+1*2=4。由于4>0，因此向量a和向量b的夾角小于90度。幾何意義解釋及示例分析零向量與任何向量的數(shù)量積為0。分配律：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)，(a+b)·c=a·c+b·c。交換律：a·b=b·a。結(jié)合律：(a·b)c=a(b·c)不成立。數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量。運(yùn)算性質(zhì)總結(jié)0103020405PART05向量的向量積（叉乘）運(yùn)算及其性質(zhì)REPORTINGXX向量積定義兩個(gè)向量$vec{a}$和$vec$的向量積（叉乘）是一個(gè)向量，記作$vec{a}timesvec$，其模等于$vec{a}$和$vec$的模與它們之間夾角的正弦值的乘積，方向垂直于$vec{a}$和$vec$所在的平面，遵循右手定則。要點(diǎn)一要點(diǎn)二計(jì)算公式$|vec{a}timesvec|=|vec{a}|cdot|vec|cdotsintheta$，其中$theta$為$vec{a}$和$vec$之間的夾角。向量積定義及計(jì)算公式計(jì)算向量積的坐標(biāo)形式$vec{a}timesvec=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$。驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果確保計(jì)算出的向量積滿足右手定則，即其方向垂直于$vec{a}$和$vec$所在的平面。坐標(biāo)形式下向量積計(jì)算步驟幾何意義向量積的模表示以$vec{a}$和$vec$為鄰邊的平行四邊形的面積；向量積的方向垂直于$vec{a}$和$vec$所在的平面，遵循右手定則。示例分析設(shè)$vec{a}=(1,0,0)$，$vec=(0,1,0)$，則$vec{a}timesvec=(0,0,1)$。這表示以$vec{a}$和$vec$為鄰邊的平行四邊形的面積為$0$（因?yàn)?vec{a}$和$vec$垂直），而向量積的方向垂直于$xOy$平面，即沿$z$軸正方向。幾何意義解釋及示例分析反交換律$vec{a}timesvec=-(vectimesvec{a})$。$(lambdavec{a})timesvec=lambda(vec{a}timesvec)=vec{a}times(lambdavec)$，其中$lambda$為實(shí)數(shù)。$(vec{a}+vec)timesvec{c}=vec{a}timesvec{c}+vectimesvec{c}$。$(vec{a}timesvec)timesvec{c}+(vectimesvec{c})timesvec{a}+(vec{c}timesvec{a})timesvec=mathbf{0}$。結(jié)合律分配律雅可比恒等式運(yùn)算性質(zhì)總結(jié)PART06坐標(biāo)系中向量運(yùn)算應(yīng)用舉例REPORTINGXX在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)兩點(diǎn)$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，則向量$vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。向量$vec{AB}$的模長(zhǎng)即為兩點(diǎn)間的距離，記作$d(A,B)$，計(jì)算公式為$d(A,B)=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。通過這個(gè)公式，我們可以方便地求出平面內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離。010203兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)過程中點(diǎn)公式推導(dǎo)過程030201在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)兩點(diǎn)$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)可以通過中點(diǎn)公式求得。中點(diǎn)公式為$M(frac{x_1+x_2}{2},frac{y_1+y_2}{2})$。這個(gè)公式的推導(dǎo)基于向量加法的性質(zhì)，即向量$vec{OM}=frac{1}{2}(vec{OA}+vec{OB})$，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)。01在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)兩點(diǎn)$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)定比分點(diǎn)，且$vec{AP}=lambdavec{PB}$，其中$lambda>0$。02線段定比分點(diǎn)公式為$P(frac{x_1+l