Qq初高中數(shù)學(xué)銜接教材

現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在以下“脫節(jié)”

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。

2.因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為"1”的涉及不多，而且對三

次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的

解題技巧。

4.初中教材對二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。

配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是

高中數(shù)學(xué)必須掌握的基此題型與常用方法。

5.二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類

題目僅限于簡單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被

視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門的講授。

6.圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其圖像的上、下；左、右

平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對稱問題必須掌握。

7.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中這局部內(nèi)容視為重難點(diǎn)。

方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何局部很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定

理等）初中生大都沒有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。

目錄

11數(shù)與式的運(yùn)算

11.1絕對值

11.2乘法公式

11.3二次根式

11.4分式

12分解因式

21一元二次方程

21.1根的判別式

21.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

22二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)尸的圖像和性質(zhì)

22.2二次函數(shù)的三種表示方式

22.3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用

23方程與不等式

23.1二元二次方程組解法

23.2一元二次不等式解法

31相似形

31.1.平行線分線段成比例定理

31.2相似形

32三角形

32.1三角形的“四心〃

32.2幾種特殊的三角形

33圓

33.1直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系

33.2點(diǎn)的軌跡

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1,絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零.即

a,。>0,

|。|=<0,a=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對值的幾何意義：|a-4表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)匕之間的距離.

例1解不等式：上一1+,一3]>4.

解法一：由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得x=3；

①假設(shè)x<l,不等式可變?yōu)橐?％-1)一。-3)>4,

即一2x+4>4,解得x<0,

又xVl,

：.x<Q；

②假設(shè)l〈x<2,不等式可變?yōu)?x—l)—(x—3)>4,

即1>4,

.??不存在滿足條件的X；

③假設(shè)xN3,不等式可變?yōu)?x—l)+(x—3)>4,

即2x-4>4,解得x>4.

又后3,\點(diǎn)3之間的距離|PB|,即|PB|=|x-3|.

所以，不等式

由網(wǎng)=2,可知

點(diǎn)P在點(diǎn)C(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)。(坐標(biāo)為4)的右側(cè).

x<0,或x>4.

練習(xí)

1.填空：

(1)假設(shè)兇=5,那么；假設(shè)兇=卜4|,那么4.

⑵如果同+設(shè)=5,且a=—1,那么八；假設(shè)|「d=2,那么c=.

2.選擇題：

以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是)

(A)假設(shè)同=例，那么a=b(B)假設(shè)同>例,那么a>力

(C)假設(shè)那么同〈網(wǎng)(D)假設(shè)時(shí)=網(wǎng)，那么。=功

3.化簡：|x-5|-|2x-13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了以下一些乘法公式:

[1]平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b~；

〔2〕完全平方公式(a±h)2=a2±lab+b2.

我們還可以通過證明得到以下一些乘法公式:

(1〕立方和公式(a+h)(a2-ah+b2)=a3+h3；

〔2〕立方差公式(a-l>)(a2+ab+b2')=ai-bit

〔3〕三數(shù)和平方公式(a+b+c)--ci~+h~+c-+2(ab+he+ac)；

3+加3=/+2+3帥2+匕3；

〔4〕兩數(shù)和立方公式3ab

〔5〕兩數(shù)差立方公式(a—b)'—ci^—3crb+3ctb~—b'.

對上面列出的五個(gè)公式,有興趣的同學(xué)可以自己去證明.

例1計(jì)算：(X4-l)(x-l)(x2-X4-l)(x2+X+1).

解法一：原式=，-1)[(九2+1)2一%2]

=(x2-l)(x4+X2+1)

=x6—1.

解法二：原式二(1+1)(爐-x+l)(x-l)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

例2a+〃+c=4,ab+bc+ac=4,求。？+/+c?的值.

解：Q?+h~+=(Q+Z?+c)"—2(〃Z?+he+cic)=8.

練習(xí)

1.填空：

(1)-a2--b2^(-h+-a)(〕；

9423

(2)(4m+)2=16m2+4m+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4/?2+c2+().

2.選擇題：

(1)假設(shè)/+―+%是一個(gè)完全平方式，那么左等于)

2

1，

(A)m2(B)—m2(C)—m2(D)—m~

4316

⑵不管a,力為何實(shí)數(shù)，2a-4。+8的值（)

[A）總是正數(shù)（B）總是負(fù)數(shù)

（C）可以是零（D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

1.1.3.二次根式

一般地，形如右（a20）的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為

無理式.例如3a+y/^+b+2b,41+/等是無理式,而后2+豐%+1,x2+y/2xy+y2,必等

是有理式.

1.分母〔子〕有理化

把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化.為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化

因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互

為有理化因式，例如血與36與JZ,G+而與6-指，26-30與26+3夜，等等.一

般地，與?,aG+t>6與a6-l>6,a4+b與a4一人互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過程；而分子有理化

那么是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過程

_在二次根式的化簡與運(yùn)算過程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式

&、歷=/茄（。20,。20）；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進(jìn)行

運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡的根底上去括號(hào)與合并同類二次根式.

2.二次根式的意義

a,a>09

-a,a<0.

例1將以下式子化為最簡二次根式：

(1)V12&；(2)Vo^(a>0)；⑶,4/心<0).

解：⑴卮=2回；

(2)\Ja2b-|a|4b-a>Jb(a>0)；

⑶\l^x6y-2^x^y[y--2x3yfy(x<0).

例2計(jì)算：6+(3-6).

解法一：73-(3-73)=

百(G-1)

行(3+6)

(3-V3)(3+V3)V3-1

36+3V3+1

(百-1)(6+1)

9-3

3(6+1)6+1

6

V3+1

解法二：十（3—J5）=----尸

3-V3

例3試比擬以下各組數(shù)的大?。?/p>

（1）疵一JT1和而一JI6；（2）-3—272-76.

V6+4

灰而（疵yn）（m+vn~）i

1-至+而~y/U+yfU

VTT-Vio(Vn-Vio)(Vn+Vio)i

VTI-初=

Vn+VioVn+Vio

又屈+而>VTT7W,

V12-VTT<VH-VIO.

⑵?：2丘一屈=2叵—娓(20—")(20+")2

一1―272+V6-272+76

又4>2y[2,

.?.優(yōu)+4>#+2位，

-?=<-y/6.

V6+4

例4化簡：(G+夜)2叫(6-五嚴(yán)5.

解：(6+3)2叫(6-應(yīng))2°°5

=(6+V2)2004?(6-V2)2004.(6-3)

=[(G+>/2).(V3-V2)]2004.(^-72)

-12O(M-(V3-V2)=V3-V2.

(2){x?T—；—2(0<x<1).

例5化簡：(1)，9-41；

解:(1)原式=55+4行+41

(2)原式=x——

=7(^)2+2x2x75+22X

VO<x<l,

=J(2一⑹2

**?—>1>X,

=|2-75|=75-2.X

所以，原式=L-X.

X

例6A年金/二省+f,求3f_5孫+3丁的值.

V3+V26-0

解：?.?“+丁=延堂+夕漁=(6一偽2+(昌揚(yáng)2=10,

J3+J2V3-V2

所京五忑F

???3/一+3y2=3(x+y)2—11盯=3x1()2-11=289.

練習(xí)

填空:

(2)假設(shè)1(5—4)@一3)2=(%-3)>/^,那么x的取值范圍是；

⑶4724-6V54+3796-2A/150=；

/A?,而力V5Jx+l—Jx—l,Jx+1+Jx—1

(4)假設(shè)x二二一,那么i...——7^=+-7=——,^==_________________________

25/%+1+yX—1>/—+1-yJx-\

2.選擇題：

成立QQ群416652117的條件是)

(A)xw2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

假設(shè)人=也三業(yè)EZ,求a+。的值.

3.

a+1

4.比擬大?。?—小^5-^4(填“,或"V").

1.1.4.分式

1.分式的意義

AAA

形如2的式子，假設(shè)8中含有字母，且6/0,那么稱￡■為分式.當(dāng)例加時(shí)，分式4具有以下性質(zhì):

BBB

AAxM

1S~BxM

AA+M

~B~

上述性質(zhì)被稱為分式的根本性質(zhì).

2.繁分式

a

像后‘中這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式-

n+p

例1假設(shè)5x+4=二A+—B乙，求常數(shù)的值.

x(x+2)xx+2

隨??A工BA(<xH-2)+Bx(A+3)x+2A5尤+4

x尤+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)

A+B=5,

2A=4,

解得A=2,B=3.

例2(1)試證：一?—=-一一—

(其中〃是正整數(shù))；

〃(〃+1)n〃+1

111

-1x22x39^10；

(3)證明：對任意大于1的正整數(shù)〃，有」一+」—+—+―'—<-.

2x33x4〃(〃+1)2

1_(?+1)-?_1

〔1〕證明：

nrt+1〃(/7+1)+

-------=--------［其中〃是正整數(shù))成立QQ群416652117.

〃(〃+1)nn+\

〔2〕解：由⑴可知

111

----+H----+

1x29x10

111

〔3〕證明:----------F3^4+??.+

2x3〃(〃+1)

_J1、A1、/1、

=(5一寸(丁J…+(丁Q)

_11

2〃+1

又佗2,且〃是正整數(shù)，

???圭一定為正數(shù)，

111

------1F???H

2x33x4-------〃("+1)

例3設(shè)0=￡,且e>l,2c2—5〃。+為2=0,求e的值.

a

解：在2c2—5ac+2“2=0兩邊同除以“2,得

2e2—5e+2=0,

/.(2<?—l)(e—2)=0,

，e=；<1,舍去；或e=2.

二e=2.

練習(xí)

1.填空題：

對任意的正整數(shù)〃，一］—=一(--——)；

幾(〃+2)n九+2

2.選擇題：

假設(shè)生2=2,那么巴=

)

x+y3y

546

(A)1(B)-(C)一(D)

455

3.正數(shù)滿足/一>2=2孫，求二2：的值.

x+y

計(jì)算一L+11

4.H--------F??.H------------

1x22x33x499x100

習(xí)題L1

A組

1.解不等式：

(1)|x-1|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x-1|+|x+1|>6.

2.x+y=l,求j?+y3+3盯的值.

3.填空：

(1)(2+廚8(2_廚9=.

(2)假設(shè)J(l-a)2+J(l+a)2=2,那么。的取值范圍是

11111

B組

i.填空:

--b^~,那么13，一曲展

⑴

233cr+5ab—2b~

(2)假設(shè)爐+盯—2y2=0,那么r+3平/二二

x+V

611+6附/土

2.：x=-,y=-，求一產(chǎn)—7='的值.

2■3G+6

C組

1.選擇題：____________

(1)假設(shè)J-a-6-2而=。-口,那么)

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<0

⑵計(jì)算aLJ■等于)

Va

(A)4~a(B)4a(C)-4-a(D)-4a

2.解方程2(/+!)-3(x+')—1=0.

xx

c、―1111

3.計(jì)算：-----1------------1----------F-—I----------

1x32x43x59x11

1111

4.試證：對任意的正整數(shù)”，有---------------1----------------F???H----------------------------<4-

1x2x32x3x4〃(幾+1)(〃+2)

1.1.1.絕對值

1.(1)±5；±4(2)±4；一1或32.D3.3x-18

1.1.2.乘法公式

,、11,,、11

1.(1)—a——h(2)—⑶4ab—2ac—4bc

3224

2.(1)D(2)A

1.1.3.二次根式

1.⑴百-2(2)3<x<5⑶-876⑷6

2.C3.14.>

1.1.4.分式

1.12.B3.V2-199

100

習(xí)題1.1

A組

1.(1)》<-2或3>4(2)-4<x<3⑶x<-3,或x>3

2.13.(1)2-73⑵-]<?<1(3)V6-1

B組

1.(1)-(2)或一12.4.

725

C組

.,,.1c36

1.(1)C(2)C2.X]——,=23.—

?2.55

4.提示：-----1---------=-[―J----------------]---------]

〃(〃+1)(〃+2)2〃(〃+1)(〃+1)(〃+2)

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及

待定系數(shù)法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)/-3x+2；(2)N+4x-12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-\+x-y.

解：(1)如圖1.2—1,將二次項(xiàng)爐分解成圖中的兩個(gè)x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成一1與一2的乘積,

而圖中的對角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為一3x,就是/-3x+2中的一次項(xiàng)，所以，有

/一3x+2=(x—l)(x—2).

-2

6

圖1.2-1圖1.2-2圖1.2-3圖1.2-4

說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1.2-1中的兩個(gè)x用1來表示(如圖

1.2—2所示).

(2)由圖1.2-3,得

/+4x—12=(x—2)(x+6).

(3)由圖1.2—4,得

x2-(tz+b)xy+aby2—(x-ay)(x-by)x-1

y1

(4)xy-\+x-y=xy+(x—y)—1

圖1.2-5

=(x-l)0，+l)(如圖1.2—5所示).

2.提取公因式法與分組分解法

例2分解因式：

(1)+9+3x)+3x；(2)2x2

解：(1)X3+9+3X2+3X=(X3+3X2)+(3X+9)=X2U+3)+3(X+3)

=(x+3)(x2+3).

或

X3+9+3X2+3%=(X3+3X2+3X+1)+8=(X+1)3+8=(X+1)3+23

=[(x+1)+2][(x+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(x2+3).

(2)2x2+xy-y2-^x+Sy-6-lx1+(y-4)x-y?+5y-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2%-y+2)(x+y-3).

或

2x2+xy-y2-4x+5j-6=(2x2+Ay-y2)-(4x-5j)-6

=(2x-y)(x+y)-(4x—5y)—6

=(2x-y+2)(x+y_3).

3.關(guān)于x的二次三項(xiàng)式or2+bx+c(存0)的因式分解.

假設(shè)關(guān)于x的方程or?+云+c=O(awO)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是西、々，那么二次三項(xiàng)式

ax2+bx+c(a/0)就可分解為。(%-玉)(%-%2)-

例3把以下關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：

(1)+2x—1；(2)x2+4xy—4y^.

解：(1)令/+2%-1=0,那么解得玉=-1+0,&=-1-近,

：.x2+2x-l=[x-(-l+V2)][%-(-l-V2)]

=(x+l-揚(yáng)(X+1+揚(yáng).

(2)令爐+4肛-4丁=0,那么解得％=(—2+20)y,玉=(一2—20)y

x2+4xy-4y2=[x+2(l->/2)y][x+2(l+V2)y].

練習(xí)

1.選擇題：

多項(xiàng)式2/-xy-15y2的一個(gè)因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)/+6x+8；(2)8a3—b3；

⑶X2—2x—1；(4)4(x-y+l)+y(y-2x).

習(xí)題1.2

1.分解因式：

(1)a3+l；(2)4X4-13X2+9；

(3)b2+c2+2ab+2ac+2bc；(4)3/+5盯一2y2+x+9y-4.

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(1)x~—5x+3；(2)X2-2V2X-3；

⑶3x2+4xy-y2；(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12.

3.AA8C三邊a,b,c滿足=aZ?+Z?c+ca,試判定AABC的形狀.

4.分解因式：4+x—(辟一a).

1.2分解因式

1.B

2.[1)(x+2)(x+4)(2)(2a-h\4a2+2ab+b2)

⑶(x-l-V2)(%-l+V2)⑷(2-y)(2x-y+2).

習(xí)題1.2

1.[1)(a+l)(?2-?+l)(2)(2x+3)(2x—3)(x+l)(x—l)

(3)(Z?+c)(b+c+2a)(4)(3y—y+4)(x+2y—1)

(2)—y/2,—V5j(x—>/2+A/5j；

(4)(x-3)(x+l)(x-1-V^)(x-1+.

3.等邊三角形

4.(x—a+l)(x+a)

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

我們知道，對于一元二次方程以2+bx+c=0(存0),用配方法可以將其變形為

2a4/,

因?yàn)榇?,所以，4”>0.于是

(1)當(dāng)。2—4時(shí)>0時(shí),方程①的右端是一個(gè)正數(shù),因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

_-b±\lb2-4ac

X|,2-----------------------：

2a

(2)當(dāng)左-4m=0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根

b

X\—X1————；

la

(3〕當(dāng)。2—4在<0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊+一定大于或等于零，因

2a

此，原方程沒有實(shí)數(shù)根.

由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(厚0)的根的情況可以由b2~4ac來判定，我們把b2~4ac

叫做一元二次方程以z+法+c：。［〃/))的根的判別式，通常用符號(hào)“△〃來表示.

綜上所述，對于一元二次方程〃X2+3X+C=0(Q#)),有

(1)當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

-b±\lb2-4ac

x\,2=--------------；

2a

(2)當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

b

x\=%2=——;

2a

(3)當(dāng)AV0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

例1判定以下關(guān)于X的方程的根的情況(其中。為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根.

(1)A2—3x+3=O；(2)%2—ar—1=0；

(3)x2—ax+(tz-1)=0；(4)x2—2x4-67=0.

解：11)??2=32—4'1乂3=—3<0,.??方程沒有實(shí)數(shù)根.

(2)該方程的根的判別式Aj22—4xlx(T)=〃2+4>0,所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根

a+Ja2+4a—dci~+4

x=--------------,x,=--------------.

122

(3)由于該方程的根的判別式為

△=層一4x1x(。-1)=。2-4。+4=(&-2)2,

所以，

①當(dāng)。=2時(shí)，A=0,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

X|=M=1；

②當(dāng)時(shí)，A>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

X1=1?X2=Cl-1.

(3)由于該方程的根的判別式為

A=22—4xlx(/=4—4a=4(l—a),

所以

①當(dāng)A>0,即4(1一.)>0,即。<1時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

玉=1+J1—a,=1-J1—a；

②當(dāng)A=O,即。=1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

Xl—X2—1；

③當(dāng)△<(),即4>1時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

說明：在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著。的取值的變化而變化，于是，在解題過程

中，需要對“的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論.分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非

常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來解決問題.

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理〕

假設(shè)一元二次方程以2+版+c=0("①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在以下關(guān)系：

hr

如果。3+法+。=0(存0)的兩根分別是Xl，X29那么修+必=---，XvX2=—-這一關(guān)系也被稱為

cia

韋達(dá)定理.

特別地，對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2+px+q=0,假設(shè)加，及是其兩根，由韋達(dá)定理可知

X|+x2=-P，XvX2=q,

即p——(X|+X2),(1~X\"X2>

所以，方程/+*+4=0可化為(xi+及)程/+。氏+4=0的兩

根，出k的值，再由方程解出另一個(gè)根.但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由

于了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根

之和求出人的值.

解法一：Y2是方程的一個(gè)根，

.,.5x22+jtx2-6=0,

"=一7.

3

所以，方程就為59-lx—6=0>解得的=2,X2———.

5

所以，方程的另的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于根的方程，從而解得機(jī)的值.但在解題中需要

特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零.

解：設(shè)幻，念是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得

xi+x2=-2(/?-2),XI-X2=?I2+4.

；X|2+X22—X].X2=21,QQ群557619246

(X1+X2)2—3Xl-X2=21,

BP[—2(/7；—2)]2—3(m2+4)—21,

化簡，得m2—\6m~\l=0,

解得m——\,或力=17.

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，方程為N+6X+5=0,A>0,滿足題意；

當(dāng)機(jī)=17時(shí)，方程為d+30犬+293=0,A=302-4xlx293<0,不合題意，舍去.

綜上，,“=17.

說明：(1)在此題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對應(yīng)的〃，的范圍，然后再由

“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21"求出，"的值，取滿足條件的〃，的值即可.

(1)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式△是否大于或大于

零.因?yàn)?，韋達(dá)定理成立QQ群416652117的前提是一元大方向個(gè)數(shù)分別為x,利用二元方程求解出這

兩個(gè)數(shù).也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解.

解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x,y,

那么x+y=4,①

xy=~\2.②

由①，得y=4~x,

代入②，得

x(4-x)=-12,

即/一4工一12=0,

??X\=12,12=6?

%=-2,4=6,

或<

J=6,)2=-2

因此，這兩個(gè)數(shù)是一2和6.

解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程

x2-4x-12=0

的兩個(gè)根.

解這個(gè)方程，得

QQ群557619246

X\=-2,也=6.

所以，這兩個(gè)數(shù)是一2和6.

說明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來解題）要比解法一簡捷.

例5假設(shè)X1和X2分別是一元二次方程2^+5%-3=0的兩根.

（1）求|為一科的值;

（2）求」r+—I的值；

不公

⑶%13+%23.

解：..”I和X2分別是一元二次方程2^+5^-3=0的兩根，

,53

??X.+X-=—,x,x^=

5Q7S

11xj+xj(玉+々)-2%尤(-2『-2X(-2)了+3

--1--=-----.-----=-2----2-~37

2222一9

Xjx2%1-x2（王引?~9

4

(3)jfl3+JC23=(X1+X2)(X^—X\X2+%22)=+X2)[(Xj+^2)2-3X1X2]

55—3215

=（一不岡（一二）2_3、（_；）］=一丁.

2228

說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問題,

為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：

設(shè)X1和垃分別是一元二次方程以2+力無+c=0（存0）,那么

-b-yjb2-4ac

-h+yjb2-4ac-h—yJb2-4ac_2y/h2-4ac

_yjb2-4ac_VZ

\a\\a\

于是有下面的結(jié)論：

假設(shè)xi和*2分別是一元二次方程ax2+〃*+c=0（存0）,那么|xi—必|='豆（其中A=Z>2—4ac）.

\a\

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論.

例6假設(shè)關(guān)于x的一元二次方程/—x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

解：設(shè)X2是方程的兩根，那么

%i%2—4<0,①

且A=(-l)2-4(a-4)>0.②

由①得a<4,

17

由②得a<Y.

...a的取值范圍是a<4.

練習(xí)

1.選擇題：

(1)方程V—26履+3%2=0的

習(xí)題2.1

A組

1.選擇題：

(1)關(guān)于x的方程/+丘一2=0的一個(gè)根是1,那么它的另一個(gè)根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)以下四個(gè)說法：

①方程/+〃-7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；

②方程/一2x+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；

7

③方程33一7=0的兩根之和為0,兩根之積為--；

3

④方程3爐+2%=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.

其中正確說法的個(gè)數(shù)是()

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

(3)關(guān)于x的一元二次方程or2—5x+/+a=0的一個(gè)根是0,那么。的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：

(1)方程立+4x—1=0的兩根之和為一2,那么々=.

(2)方程源一X一4=0的兩根為a,p,那么0(2+儼=.

(3)關(guān)于x的方程(一ar—3a=0的一個(gè)根是一2,那么它的另一個(gè)根是

(4)方程?1=0的兩根為xi和X2，那么|xi一及|=.

3.試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程序/一(2,〃+l)x+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相

等的實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根

4.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程爐一7》一1=0各根的相反數(shù).

B組

1.選擇題：

假設(shè)關(guān)于x的方程/+(R—1)x+k+\=0的兩根互為相反數(shù)，那么k的值為

()

(A)1,或一1(B)