迎戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練——專(zhuān)題六十：相似

1.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q.

(1)請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形(相似比為1除外)；

(2)求BP：PQ：QR.

2.如圖，在銳角三角形板中，點(diǎn)。，￡分別在邊友；四上，ZGJL死于點(diǎn)G,AFLDE于點(diǎn)、F,NEAF=N

GAC.

(1)求證：AADEs2ABC；

(2)若AZ=3,A3=5,求差而值.

3.如圖，在位△儂?中，/a90°,嶺4cm,BO3cm.動(dòng)點(diǎn)”，〃從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1腐的速度

分別沿。、應(yīng)向終點(diǎn)48移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)夕出發(fā)，以每秒2防的速度沿物向終點(diǎn)4移動(dòng)，連接

PM,PN,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(單位：秒，0Vt<2.5).

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，以4P,〃為頂點(diǎn)的三角形與△胸相似？

(2)是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形在也的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

4.已知：如圖，D、E分別是△4BC的邊43、4C上的點(diǎn)，且/4EZ?=/ABG聯(lián)結(jié)BE、CD相交于點(diǎn)戶.

(1)求證：/_ABE=AACD\

B

5.(1)如圖1,已知AB，/,DELI,垂足分別為AE,且C是/上一點(diǎn)，NACD=90°,求證：

△CED;

(2)如圖2,在四邊形4BCD中，已知N4BC=90°,43=3,BC=4,GD=10,。4=5遂，求即的長(zhǎng).

6.如圖，點(diǎn)E是正方形4BCD的對(duì)角線4c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與/、C重合)，作用工/。交邊于點(diǎn)

F,連接亦BE交于點(diǎn)G.

(1)求證：匕CAFsXCBE,

(2)若AF平分NH4C,求證：AC=2A&AF.

B

7.如圖，E是邊長(zhǎng)為8的正方形488的邊4B上的點(diǎn)，且4E=2,EF[DE交BC于氐F.求線段b的

8.如圖，在正方形43co中，E為邊40的中點(diǎn)，點(diǎn)戶在邊CD上，且NBEF=90°,延長(zhǎng)母1交8C的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：XABESMEGB.

(2)若4B=6,求CG的長(zhǎng).

9.如圖，在△/0C中，點(diǎn)。、G在邊4c上，點(diǎn)E在邊8c上，DB=DC,EGUAB,AE.AD交于點(diǎn)尸,

BF=AG.

(1)求證：△*無(wú)△CGE;

(2)當(dāng)N4EG=NC1時(shí)，求證：A^=AG-AC.

10.已知：如圖，在△4BC中，點(diǎn)。在邊4C上，即的垂直平分線交G4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)瓦交8。于點(diǎn)尸,

聯(lián)結(jié)班，E]y=EA*EC.

(1)求證：AEBA=/_C\

(2)如果BD=CD,求證：A^=AJ>AC.

11.如圖，在等邊△4BC中，點(diǎn)。、E分別是邊8C、4c上的點(diǎn)，且即=8,連接BE、AD,相交于點(diǎn)F.

(1)求證：XABD^XBCE,

(2)圖中共有對(duì)相似三角形(全等除外).

并請(qǐng)你任選其中一對(duì)加以證明.你選擇的是

12.已知：點(diǎn)?在內(nèi)，且滿足(如圖)，ZAR&4-ZA4C=180°.

(1)求證：△尸C4;

(2)如果NARS=120°,ZASC=90°,求生的值；

PB

(3)如果NH4C=45°,且△4BC是等腰三角形，試求tan/PSC的值.

13.如圖，在。488中，尸是40上一點(diǎn)，且Af=3E＞戶，毋1與CD的延長(zhǎng)線交點(diǎn)E.

(1)求證：XABF^l\CEB,

(2)若△。石尸的面積為1,求。438的面積.

14.如圖，在正方形438中，在邊上取中點(diǎn)E,連接。E,過(guò)點(diǎn)E做石產(chǎn)LEO交43于點(diǎn)G、交AD

延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

(1)求證：XECEXDEF，,

(2)若8=4,求心的長(zhǎng).

15.如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形43G邊8C長(zhǎng)13cm,8C邊上的高40為6s,把它加工成正方

形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在48、AC1.

(1)求證：XAEF^XABC,

(2)求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng).

月

16.探究：如圖①，在正方形4BCD中，點(diǎn)E在邊上（點(diǎn)E不與點(diǎn)8、。重合），連結(jié)4E,過(guò)點(diǎn)E作

AELEF,石尸交邊8于點(diǎn)片求證：XABEOECF.拓展：如圖②，△4BC是等邊三角形，點(diǎn)。在邊

上（點(diǎn)。不與點(diǎn)AC重合），連結(jié)40,以40為邊作N4DE=N4BC,DE交邊AC于箴E,若46=

3,BD=x,CE=y,求了與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量x的取值范圍）.

17.如圖，在Rt^ABC中，N/=90°,AC=16an,AJ3=8an,動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，沿84方向運(yùn)動(dòng)；同

時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)/出發(fā)，沿4。方向運(yùn)動(dòng).如果點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s,點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,那么

運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，△4BC和△4DE相似？

18.如圖，在正方形438中，E是。上一點(diǎn)，連接過(guò)點(diǎn)。作。垂足為MOO經(jīng)過(guò)點(diǎn)

A,B,M,與40相交于點(diǎn)F.

(1)求證：XDFM，,

(2)若正方形4BCD的邊長(zhǎng)為5,。。的直徑為倔，求AE的長(zhǎng).

迎戰(zhàn)2021中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練——專(zhuān)題六十：相似參考答案

1.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q.

(1)請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形(相似比為1除外)；

(2)求BP：PQ：QR.

【答案】

解：(l)Z\BCPs/\BER,APCQ^APAB,APCQ^ARDQ,APAB^ARDQ.

(2)四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，

PC1

.*.BC=AD=CE,AC/7DE,.*.PB=PR,—

KtN

又：PC〃DR,/.△PCQ^ARDQ.

1點(diǎn)R是DE的中點(diǎn),ADR=RE.

PQPCPC1

二加=加=近=7..?QR=2PQ-

又：BP=PR=PQ+QR=3PQ,

ABP：PQ：QR=3：1：2.

2.如圖，在銳角三角形板中，點(diǎn)。，￡分別在邊/C,ABh,AG工BC于點(diǎn)G,AFLDE于點(diǎn)F,AEAF=A

GAC.

(1)求證：XADEsXABC；

(2)若4>=3,AB=59求第的值.

A

B

G

【答案】

（1）證明：在AABC中，；AG，BC于點(diǎn)G,AFLDE于點(diǎn)F,

...NAFE=NAGC=90°,

在4AEF和4ACG中，

■:NAFE=ZAGC,NEAF=ZGAC,

:.AAEF^AACG,:.NAEF=NC.（2分）

在△ADE和△ABC中，

VZAED=ZC,ZEAD=ZCAB,

.,.△ADE^AABC；（4分）

⑵解：由（1）知△ADES2\ABC,

.ADAE3

??礦而飛，6分）

AFAE3

又,.,△AEFs/iACG,二77=77=￡.（8分）

3.如圖，在RtAABC中,N390。，Agcm,BC=3cm.動(dòng)點(diǎn)〃，“從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒的速度

分別沿。、或向終點(diǎn)4B移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2c〃的速度沿的向終點(diǎn)/移動(dòng)，連接

PM,PN,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為亡（單位：秒，0<tV2.5）.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以/,P,〃為頂點(diǎn)的三角形與△被相似？

（2）是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形初歷的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】解：?如圖，在欣△胸中，/俏90°,AC-4an,BO3cm.

,根據(jù)勾股定理，得AB=JAC，+BC?=5cm.

(1)以4P,〃為頂點(diǎn)的三角形與△胸相似，分兩種情況：

z-x?,APAM5—2t4-t.3

①當(dāng)△陽(yáng)—△A胞時(shí)，一=——,即-----=——，解得/=一；

ACAB452

z-x1..AMA,P4—t5—2t...

②當(dāng)△加如△四C時(shí)，——-=——,即——=-----,解得夕0(不合題意，舍去).

ACAB45

3

綜上所述，當(dāng)1=—時(shí)，以4、只〃為頂點(diǎn)的三角形與△腑■相似.

2

(2)存在某一時(shí)刻t,使四邊形在％1的面積S有最小值.理由如下：

假設(shè)存在某一時(shí)刻大，使四邊形山訛'的面積S有最小值.

如圖，過(guò)點(diǎn)尸作皿5c于點(diǎn)〃則用〃4G

71

+y(0<r<2.5).

|>0,

」.s有最小值.

321

當(dāng)f=，時(shí)，S*小他=—.

25

321

答：當(dāng)1=二時(shí)，四邊形的面積S有最小值，其最小值是一.

25

4.已知：如圖，D、E分別是△4BC的邊/田、4C上的點(diǎn)，且NAEE>=//BC,聯(lián)結(jié)BE、8相交于點(diǎn)戶.

(1)求證：￡ABE=AACD-,

(2)如果ED=EC,求證:

【答案】(1)證明：???//￡￡>=NA8C,N/=N4,

XADE^XACB,

.AE=AB

"AD-AC)

?'Z.-A=Z.A,

：.XADC^XAEB,

：.AABE=￡ACD\

(2)證明：：ED=EC,

:.乙EDC=LECD,

：.AEDC=/.EBD,

,：ADEF=Z.DEB,

：.^EDP^^EBD,

.DF=EF=DE

■-BD-DE-BE，

(DF)』雪邁

BDDEBE'

.DF2_EF

,W'EB'

5.(1)如圖1,已知48，/,DE]_1,垂足分別為AE,且C是/上一點(diǎn)，AACD=90°,求證：△488

△CEO;

(2)如圖2,在四邊形4BCD中，已知N4BC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5娓,求助的長(zhǎng).

▼D

A

圖1圖2

【答案】證明：(1)DELJ,

\/_ABC=ACED=^°,Z.ACB^/_BAC=^°,

??/48=90°,

\/_ACB+/_DCE=^°,

\/_BAC=/_DCE,

??AABC^ACED;

(2)如圖，連接4G

/ZTWC=90°,

24C=7AB2+BC2=V32+42=5?

：AD=5-Js，CD=10,

?.4ACD滿足A(^+CI^=AI^,

?./48=90°,

如圖，過(guò)點(diǎn)。作。ELBC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

圖1圖2

由(1)得此時(shí)△4B8Z\CED,

.CE_DE_CD_

"AB"BC'AC"2

CE=6,Z>F=8,

在RtABDE中，BD=7BE2+DE2=V(4+6)2+82=2^"41-

6.如圖，點(diǎn)E是正方形43。的對(duì)角線4c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與4、。重合)，作ML/C交邊BC于點(diǎn)

F,連接4RBE交于點(diǎn)G.

(1)求證：WCAPsXCBR,

(2)若"平分NH4G求證：A(^=2A&AF.

AD

【答案】(1)證明：?.?四邊形AB8是正方形,

：.^ABC=90°,

■：EFLAC,

:"FEC=90°=2ABC,

又，：乙FCE=LACB,

:.XCEP^XCBA,

?CF=CE

?'在一示

又,：乙ACF=(BCE,

：.XCAF^XCBE:

(2),:XCAP^XCBE,

zCAF=zCBE,

?.?4F平分NH4G

：./_BAF=/_CAFy

：.LBAF=/_CBE,

：.zBAF￥zAFB=zCBE+ZAFB=90°,

即NABF=NBG^=90°,

■：ABAG=/.BAF,

：.XABF^XAGB,

.AB=AF

"AG-AB，

：.ABL=AG>AF,

?.,正方形4BCD中，A<^=2ABi,

：.A<^=2AG*AF

7.如圖，E是邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD的邊AB上的點(diǎn)，且4E=2,EF^DE交BC于氤F.求線段CF的

長(zhǎng).

D

【答案】解：???4BCD是正方形，

.?.//=25=90",

：.AADE+ADEA=()G°,

又EF1DE,

：.^AELH-Z.FEB=90°,

：.AADE=/_FEB,

/XADE^/XBEF.

.AD=AE

…瓦一麗’

?3=2

"6BF'

:.BF=—

2

■.BC=8,

iq

：.CF=BC-BF=—.

2

8.如圖，在正方形ABCD中，E為邊40的中點(diǎn)，點(diǎn)戶在邊8上，且/班產(chǎn)=90°,延長(zhǎng)哥■交8C的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

(1)求證：XAB所XEGB.

【答案】(1)證明：1.四邊形4BCD為正方形，且NBEG=90°,

乙A=LBEG,

■：AABE+AEBG=^°,AG+AEBG=90°,

：./_ABE=/_G,

：.XABEs&EGB：

(2)解：???AB=4D=6,萬(wàn)為AD的中點(diǎn)，

：.AE=DE=3.

在RtZkASE中，BE=VAB2+AE2=V62+32=3V5>

由(1)知，XABB^XEGB,

.AEBE

一而F'

即：號(hào)超

375GB

??.8G=15,

??.CG=BG-8C=15-6=9.

9.如圖，在△43C中，點(diǎn)。、G在邊47上，點(diǎn)石在邊3c上，DB=DC,EGHAB,AE.皿交于點(diǎn)區(qū)

BF=AG.

(1)求證：XBFE?XCGE,

(2)當(dāng)N"G=/C時(shí)，求證：A^=A&AC.

【答案】證明：(1)

:./_DBC=(DCB,

：EGIIAB,

.CE_CG

?.而而

\'BF=AG,

.CE_CG

:?△BFE~l\CGE\

(2),:l\BFE~XCGE,

:'(BEF=LGEC,ABFE=/_EGC,

'：/_AEG=/_C.乙GEB=/_AE8乙AEB=乙6乙EGC,

：?4AEB=ZEGC,

???(BEF=ZGEC=ZBFE=ZEGC,

：.BE=BF,EC=GC,

：.BE=AG,

??GEIIAB,

Z_AEG=/_BAE,

:,乙BAE=乙C、

又,??/4B—N4SC,

：.XABE^XCBA、

.AB_BE

?,而而

：.A^=AGBE=AOAG.

10.已知：如圖，在△4灰7中，點(diǎn)。在邊4C上，即的垂直平分線交”的延長(zhǎng)線于點(diǎn)瓦交8。于點(diǎn)尸,

聯(lián)結(jié)3石；Elf=EA?EC.

(1)求證：2EBA=2G

(2)如果即=8,求證：A&=AI>AC.

E

【答案】(1)證明：?.?&>!=E4?EG

.DE=EC

"EA-DE，

,:乙BEA=乙CEB,

:.XBABc叢CEB,

：./_EBA=-/_C.

(2)證明：?石戶垂直平分線段助，

:.EB=ED,

：.LEDB=LEBD,

AZC+-ZDBC=ZEBA+ZABD,

?：^EBA=/_C,

：.ADBC=/.ABD,

：DB=DC,

：.￡C=ADBC,

：.LABD=/.C,?：/_BAD=/.CAB,

：.l\BAD^l\CAB,

.AB=AD

"CA-AB，

：.A&=AJ>AC.

11.如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)。、E分別是邊BC、/C上的點(diǎn)，且m=CE,連接BE、AD,相交于點(diǎn)尸.

(1)求證：△4BZ運(yùn)△BCB;

(2)圖中共有對(duì)相似三角形(全等除外).

并請(qǐng)你任選其中一對(duì)加以證明.你選擇的是.

【答案】(1)證明：

???△48C是等邊三角形，

：.AC=BA,NAaD=NC=60°,

在△48。和△BCE中，

fAB=BC

'ZABD=ZC

BD=CE

^ABD^^BCE(&45);

(2)4對(duì)，分別是△JBOeZ\AEGXDBF^XDAB、XAFE^XACD、XAFB^XBAE,

選擇證明XAEP^XBEA、

???Z\ABC是等邊三角形，

：.AC=BA,^C=ABAJS=60°,AC=BC,

?：BD=CE,

.'.AE=CD,

：.i\ACD^f\BAE(&45),

：.ADAC=/LABE,

又,；NAEF=/B"

XAEP^XBEA.

12.已知：點(diǎn)尸在△49C內(nèi)，且滿足N4PS=N4PC(如圖)，/.APBV/_BAC=\^.

(1)求證：△E4Bs△尸&4;

(2)如果N4RB=120°,N4BC=90°,求上的值；

PB

(3)如果N84C=45°,且△ABC是等腰三角形，試求tan/PSC的值.

【答案】證明：(1)???ZABP^ZBAP^ZAPB=180°,AAPB\-/_BAC=\^,

：.AABPi-ABAP^Z.APB=AAPBi-ABAC,

即N4戍斗N必24N4PS=N升N847斗NC4P,

：.AABP=A.CAP,

又：4APB=NAPC,

：./\PAB^/\PCA.

(2)如圖1中，

?：^.APB^/_BAC=\^,￡APB=12G°,

：./LBAC=(>0°,

在△4BC中，???/4BC=90°,/_BAC=^,

???AB-^-AC.

又「APABs^PCA,

.PB_PA_AB_1

"PA"PC"AC

.PBPBPA10npe“

PCPAPC4PB

(3)?：/LBAC=45°,LAP&rABAC=\^,/_APB=LAPC,

：.￡APB=/_APC=\?>5°.

，N8PC=360°-Z.APB-ZAPC=360°-135°-135°=90°,

?/△PCMHPAB,

.PAPCAC

一而同K，

.PCPCPA/AC、2

PBPAPB、AB'

圖2

當(dāng)△45C是等腰三角形，且時(shí)，tan/PBC鼻=（黑'）2=1.

PBAD

②如圖3中，

A

B

圖3

當(dāng)△4BC是等腰三角形，且48=BC時(shí)，/_ACB=/_BAC=^,ZA8C=90°,易得苗=/科

?■?tanZPBC=1|-=(^-)2=2-

③如圖10-4,

圖4

當(dāng)△4BC是等腰三角形，且4C=8C時(shí)，NA5C=N84C=45°,N/C8=90°,易得設(shè)=爽,

AB2

Yan/PBC嗡=(零)29,

13.如圖，在。488中，戶是40上一點(diǎn)，且4f=3。?，班與CD的延長(zhǎng)線交點(diǎn)E

(1)求證：4ABis/\CEB;

(2)若△。用1的面積為1,求。4B8的面積.

【答案】解：(1)證明：..?四邊形4B8是平行四邊形，

：.AA=/LCABHCD,

：.AABF=/_E,

：.AABP^/XCEB;

(2)在。48co中，ADUBC,

：.XDEP^XCEB,

又，：XABF^XCEB,

：.XABPsHDEF,

?：AF=3DF,△口￡尸的面積為1,

:?SXAB產(chǎn)9■)

?：AD=BC=4DF,

:?S^CBE=16,

48co的面積=9+15=24.

14.如圖，在正方形4BCD中，在BC邊上取中點(diǎn)回連接。瓦過(guò)點(diǎn)E做EF_LED交AB于點(diǎn)G、交AD

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

(1)求證：&ECEHDEF,

(2)若8=4,求/尸的長(zhǎng).

【答案】(1)證明：.??四邊形4BCD是正方形，EFLED,

:.乙FED=乙C=9G,BCIIAD,

：.LCED=/.FDE,

：.^ECD^^DEF-,

(2)解：?.?四邊形488是正方形，

ZC=90°,AD=BC=CD=4,

YE為8C的中點(diǎn)，

：.CE=—BC=2,

2

在RtA7?CE中，由勾股定理得：DE=VCE2+DC2=V22+42=2^5，

???XECEXDEF,

.CE=DE

,'瓦一所’

.2_2A/5

"275DF'

解得：。產(chǎn)=10,

?.AD=4,

4F=。產(chǎn)-40=10-4=6.

15.如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC,邊長(zhǎng)13an,邊上的高40為6an,把它加工成正方

形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在4B、AC1.

(1)求證：△AEQZXA8G

(2)求這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng).

【答案】解：(1)..?正方形EGHF,

：.EFHBC,

：.△AEfboAASC,

(2)諛EG=EF=x

,：XAEP^XABC

.EF=AK

一而一百，

.x_6-x

"13-"

._78

??x~~,

19

?..正方形零件的邊長(zhǎng)為餐

16.探究：如圖①，在正方形/BCD中，點(diǎn)E在邊BC上（點(diǎn)E不與點(diǎn)8、。重合），連結(jié)4E,過(guò)點(diǎn)E作

AELEF,EF交邊CD于點(diǎn)、F,求證：XAB所〉ECF.拓展：如圖②，△4BC是等邊三角形，點(diǎn)。在邊

BCY（點(diǎn)。不與點(diǎn)8、。重合），連結(jié)AD,以AD為邊作N4DE=/4BGDE交邊AC于氐E,若4B=

3,BD=x,CE=y,求了與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量*的取值范圍）.

ZAJ3C=ZAEF=ZDCB=90"