3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)非零實(shí)數(shù)，使得曲線：是雙曲線，則（

）A． B． C． D．2．（2022·四川·閬中中學(xué)高二期中（文））與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且短半軸長為的橢圓方程是（

）A． B． C． D．3．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上有一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．或 D．或4．（2022·山西臨汾·二模（理））已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．或5．（2022·四川省通江中學(xué)高二階段練習(xí)（理））曲線表示雙曲線，則的取值范圍（

）A． B．或C． D．6．（2022·河南信陽·高二期末（文））設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)，，為左、右焦點(diǎn)，，則（

）A．，，為一個(gè)銳角三角形的頂點(diǎn) B．，，為一個(gè)鈍角三角形的頂點(diǎn)C．，，為一個(gè)直角三角形的頂點(diǎn) D．，，不為三角形的頂點(diǎn)7．（2022·上海中學(xué)東校高二期末）過橢圓右焦點(diǎn)F的圓與圓外切，該圓直徑的端點(diǎn)Q的軌跡記為曲線C，若P為曲線C上的一動(dòng)點(diǎn)，則長度最小值為（

）A．0 B． C．1 D．28．（2022·江西鷹潭·二模（文））已知雙曲線的一條漸近線方程為，左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．9多選題9．（2022·廣東潮州·高二期末）方程表示的曲線為C，下列正確的命題是（

）A．曲線C可以是圓 B．若，則曲線C為橢圓C．若曲線C為雙曲線，則或 D．若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則10．（2022·福建廈門·高三階段練習(xí)）已知P是圓O:x2+y2=4上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)A在x軸上，線段AP的垂直平分線與直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q的軌跡可以是（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線三、填空題11．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，實(shí)軸長為4，過的直線與雙曲C線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若是和的等差中項(xiàng)，則的周長為______．12．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)A是C右支上的一點(diǎn)，則的最小值為___________.四、解答題13．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，且焦點(diǎn)在x軸上；(2)焦點(diǎn)為和，且經(jīng)過點(diǎn)．14．（2022·江蘇·高二）已知，，若點(diǎn)滿足，則P點(diǎn)的軌跡是什么，并求點(diǎn)P的軌跡方程.B能力提升1．（2022·寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））黃金分割起源于公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個(gè)系統(tǒng)研究了這一問題，公元前年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時(shí)吸收了歐多克索斯的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數(shù).已知雙曲線的實(shí)軸長與焦距的比值恰好是黃金分割數(shù)，則的值為A． B． C． D．2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)平面內(nèi)兩向量滿足：，，，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：與互相垂直．求證：平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B，使對滿足條件的任意一點(diǎn)M，均有等于定值．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，在雙曲線的右支存在一點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)．C綜合素養(yǎng)1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)定圓和，它們的半徑分別是和，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，又與圓外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.2．（2022·上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）雙曲線上一點(diǎn)到左、右兩焦點(diǎn)距離的差為2．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的點(diǎn)，若，求的面積．3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)非零實(shí)數(shù)，使得曲線：是雙曲線，則（

）A． B． C． D．【答案】C曲線：是雙曲線，則實(shí)數(shù)，異號(hào)，即.故選：C2．（2022·四川·閬中中學(xué)高二期中（文））與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且短半軸長為的橢圓方程是（

）A． B． C． D．【答案】B雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)為，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，依題意，橢圓短半軸，則，所以橢圓的方程為.故選：B3．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上有一點(diǎn)，若，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】B由雙曲線方程知：；根據(jù)雙曲線定義知：，解得：（舍）或.故選：B.4．（2022·山西臨汾·二模（理））已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．或【答案】A設(shè)雙曲線方程為則，解的所以雙曲線的方程為故選：A5．（2022·四川省通江中學(xué)高二階段練習(xí)（理））曲線表示雙曲線，則的取值范圍（

）A． B．或C． D．【答案】B由題意，曲線表示雙曲線，則滿足，即，解得或.所以的取值范圍.故選：B.6．（2022·河南信陽·高二期末（文））設(shè)為雙曲線右支上一點(diǎn)，，為左、右焦點(diǎn)，，則（

）A．，，為一個(gè)銳角三角形的頂點(diǎn) B．，，為一個(gè)鈍角三角形的頂點(diǎn)C．，，為一個(gè)直角三角形的頂點(diǎn) D．，，不為三角形的頂點(diǎn)【答案】D設(shè)雙曲線的實(shí)軸，虛軸，半焦距分別為，，，則，，，由已知得，，又，所以，，所以為實(shí)軸的右端點(diǎn)，所以，，不為三角形的頂點(diǎn).故選：.7．（2022·上海中學(xué)東校高二期末）過橢圓右焦點(diǎn)F的圓與圓外切，該圓直徑的端點(diǎn)Q的軌跡記為曲線C，若P為曲線C上的一動(dòng)點(diǎn)，則長度最小值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C橢圓，，所以.設(shè)以為直徑的圓圓心為，如圖所示：因?yàn)閳A與圓外切，所以，因?yàn)?，，所以，所以的軌跡為：以為焦點(diǎn)，的雙曲線的右支.即，曲線.所以為曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，則長度最小值為.故選：C8．（2022·江西鷹潭·二模（文））已知雙曲線的一條漸近線方程為，左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．9【答案】B由，所以有，設(shè)圓的圓心為，半徑為，設(shè)該雙曲線另一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，因此當(dāng)點(diǎn)依次共線時(shí)，有最小值，即，故選：B多選題9．（2022·廣東潮州·高二期末）方程表示的曲線為C，下列正確的命題是（

）A．曲線C可以是圓 B．若，則曲線C為橢圓C．若曲線C為雙曲線，則或 D．若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則【答案】ACDA.若曲線C是圓，則，解得，故正確；B.若曲線C為橢圓，則，解得且，故錯(cuò)誤；C.若曲線C為雙曲線，則，解得或，故正確；D.若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，解得，故正確；故選：ACD10．（2022·福建廈門·高三階段練習(xí)）已知P是圓O:x2+y2=4上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)A在x軸上，線段AP的垂直平分線與直線OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q的軌跡可以是（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】BC當(dāng)點(diǎn)A在圓內(nèi)時(shí)，如圖1，因?yàn)辄c(diǎn)Q在PA的垂直平分線上，所以，所以，又，所以由橢圓定義知，此時(shí)軌跡為橢圓；當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí)，如圖2，，且，由雙曲線定義可知，此時(shí)軌跡為雙曲線；當(dāng)點(diǎn)A在圓上時(shí)，易知點(diǎn)Q為定點(diǎn)，即圓心O；當(dāng)點(diǎn)A在于點(diǎn)O重合時(shí)，易知Q為AP的中點(diǎn)，軌跡為圓.故選：BC三、填空題11．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別是，，實(shí)軸長為4，過的直線與雙曲C線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若是和的等差中項(xiàng)，則的周長為______．【答案】24解：由是和的等差中項(xiàng)得，根據(jù)雙曲線的定義知，，兩式相加得，即，，故的周長為，因?yàn)?，所以的周長為24．故答案為：12．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C：的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)A是C右支上的一點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】8解：由雙曲線C：，可得，，所以，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，所以，由雙曲線的性質(zhì)可知：，令，則，所以，記，設(shè)，則，所以，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)A為雙曲線的右頂點(diǎn)（1，0）．故答案為：8．四、解答題13．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，且焦點(diǎn)在x軸上；(2)焦點(diǎn)為和，且經(jīng)過點(diǎn)．【答案】(1)(2)(1)解：根據(jù)題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)解：設(shè)雙曲線方程為，則，解得，所以雙曲線方程為；14．（2022·江蘇·高二）已知，，若點(diǎn)滿足，則P點(diǎn)的軌跡是什么，并求點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】當(dāng)時(shí)，軌跡是直線，軌跡方程為：；當(dāng)時(shí)，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，軌跡是射線，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在.【解析】當(dāng)時(shí)，易知，即點(diǎn)在的垂直平分線上，故P點(diǎn)的軌跡是直線，軌跡方程為：；當(dāng)時(shí)，由，知P點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線方程為，又知，故軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，由知P點(diǎn)的軌跡是射線，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，顯然滿足的點(diǎn)不存在.綜上：當(dāng)時(shí)，軌跡是直線，軌跡方程為：；當(dāng)時(shí)，軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，軌跡是射線，軌跡方程為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在.B能力提升1．（2022·寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））黃金分割起源于公元前世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯第一個(gè)系統(tǒng)研究了這一問題，公元前年前后歐幾里得撰寫《幾何原本》時(shí)吸收了歐多克索斯的研究成果，進(jìn)一步系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著.黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，把稱為黃金分割數(shù).已知雙曲線的實(shí)軸長與焦距的比值恰好是黃金分割數(shù)，則的值為A． B． C． D．【答案】A由題意得，在雙曲線中，∴．∵雙曲線的實(shí)軸長與焦距的比值為黃金分割數(shù)，∴，∴，∴，解得．故選A．2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)平面內(nèi)兩向量滿足：，，，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：與互相垂直．求證：平面內(nèi)存在兩個(gè)定點(diǎn)A、B，使對滿足條件的任意一點(diǎn)M，均有等于定值．【答案】證明見解析．由題設(shè)，，整理得，即軌跡是以為焦點(diǎn)且實(shí)軸長為4的雙曲線，由雙曲線定義知：當(dāng)、有，得證.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，在雙曲線的右支存在一點(diǎn)，使，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】解：由雙曲線得，右準(zhǔn)線方程為，雙曲線的右支存在一點(diǎn)，由，，解得，設(shè)d為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，則由雙曲線的定義可得：，所以，，又，解得，代入得，所以．C綜合素養(yǎng)1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個(gè)定圓和，它們的半徑分別是和，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，又與圓外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.【答案】由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；設(shè)動(dòng)圓的半徑為，動(dòng)圓