考研數(shù)學考點與題型歸類分析總結(jié)

1高數(shù)部分

1.1高數(shù)第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》

000

求極限題最常用的解題方向：L利用等價無窮??；2.利用洛必達法則，對于二型和一型的

000

八8

題目直接用洛必達法則，對于0、80、1I00型的題目則是先轉(zhuǎn)化為:0；型或0一0型，再使

000

用洛比達法則；3.利用重要極限，包括Hm—匚=1、lim(i+%)”=e、

x->osinx.io

lim(l++)*=e；4.夾逼定理。

1.2高數(shù)第二章《導數(shù)與微分》、第三章《不定積分》、第四章《定積分》

第二章《導數(shù)與微分》與前面的第一章《函數(shù)、極限、連續(xù)》、后面的第三章《不定積分》、

第四章《定積分》都是基礎(chǔ)性知識，一方面有單獨出題的情況，如歷年真題的填空題第一

題常常是求極限；更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運用，故非常有必要打牢基

礎(chǔ)。

對于第三章《不定積分》，陳文燈復(fù)習指南分類討論的非常全面，范圍遠大于考試可能涉及

的范圍。在此只提醒一點：不定積分\fMdx=F(x)+C中的積分常數(shù)c容易被忽略,

而考試時如果在答案中少寫這個C會失一分。所以可以這樣建立起二者之間的聯(lián)系以加深

印象：定積分jr(x)dx的結(jié)果可以寫為F(x)+1,1指的就是那一分，把它折彎后就是

\f{x}dx=F(x)+C中的那個C,漏掉了C也就漏掉了這1分。

第四章《定積分及廣義積分》可以看作是對第三章中解不定積分方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵

除了運用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異——出題人在定積分題目中

首先可能在積分上下限上做文章：對于「型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有

￡/(x)Jx=0,若f(X)為偶函數(shù)則有1/(x)dx；對于f型

71

積分，f(x)一般含三角函數(shù)，此時用/=萬一X的代換是常用方法。所以解這一部分題的

思路應(yīng)該是先看是否能從積分上下限中入手，對于對稱區(qū)間上的積分要同時考慮到利用變

量替換x=-u和利用性質(zhì)J奇函數(shù)=0、［偶函數(shù)=2(偶函數(shù)。在處理完積

分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路對于證明定積分等

式的題目也同樣有效。

1.3高數(shù)第五章《中值定理的證明技巧》

由本章《中值定理的證明技巧》討論一下證明題的應(yīng)對方法。用以下這組邏輯公式來作模

型：假如有邏輯推導公式AnE、(AIB)nc、(CIDIE)nF,由這樣一組邏輯關(guān)系可以

構(gòu)造出若干難易程度不等的證明題，其中一個可以是這樣的：條件給出A、B、D,求證F成

立。

為了證明F成立可以從條件、結(jié)論兩個方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，

把從結(jié)論入手證明稱之為反方向。正方向入手時可能遇到的問題有以下幾類：1.已知的邏

輯推導公式太多，難以從中找出有用的一個。如對于證明F成立必備邏輯公式中的AnE

就可能有Anil、An(IIK)、(AIB)nM等等公式同時存在，有的邏輯公式看起來最有

可能用到，如(AIB)nM,因為其中涉及了題目所給的3個條件中的2個，但這恰恰走不

通；2.對于解題必須的關(guān)鍵邏輯推導關(guān)系不清楚，在該用到的時候想不起來或者弄錯。如

對于模型中的(AIB)=>C,如果不知道或弄錯則一定無法得出結(jié)論。從反方向入手證明時

也會遇到同樣的問題。

通過對這個模型的分析可以看出，對可用知識點掌握的不牢固、不熟練和無法有效地從眾

多解題思路中找出答案是我們解決不了證明題的兩大原因。

針對以上分析，解證明題時其一要靈活，在一條思路走不通時必須迅速轉(zhuǎn)換思路，而不應(yīng)

該再從頭開始反復(fù)地想自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點是如何從

題目中盡可能多地獲取信息。

當我們解證明題遇到困難時，最常見的情況是拿到題莫名其妙，感覺條件與欲證結(jié)論簡直

是風馬牛不相及的東西，長時間無法入手；好不容易找到一個大致方向，在做若干步以后

卻再也無法與結(jié)論拉近距離了。從出題人的角度來看，這是因為沒能夠有效地從條件中獲

取信息?！氨M可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的條解題思路，同時出題老師也正是

這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時也非常有效。如在上面提到的模型

中，如果做題時一開始就想到了公式(CIDIE)=>F再倒推想到(AIB)=>C、AnE就

可以證明了。

如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那么主要靠“倒推結(jié)

論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。其中的規(guī)律性

很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來。下表列出了中值定理證明問題的兒種類型：

條件欲證結(jié)論可用定理

A關(guān)于閉區(qū)間上的存在一個￡介值定理(結(jié)論部分為：存在一個￡使得

連續(xù)函數(shù)，常常滿足某個式

f(￡)=Z)

是只有連續(xù)性已子

知零值定理(結(jié)論部分為：存在?個￡使得

f(￡)=0)

B條件包括函數(shù)在存在一個￡

費爾馬定理(結(jié)論部分為：/(x0)=。)

閉區(qū)間上連續(xù)、滿足

在開區(qū)間上可導

/O，)u)=0洛爾定理(結(jié)論部分為：存在一個￡使得/([)二°)

C條件包括函數(shù)在存在一個￡拉格朗日中值定理(結(jié)論部分為：存在一個￡使得

閉區(qū)間上連續(xù)、滿足

2

在開區(qū)間上可導ff_

f（￡）=kJ(￡)-b-a)

柯西中值定理(結(jié)論部分為：存在一個￡使得

于")_/(?)(0)

t-gS)-g(a))

g(￡)

另外還常利用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為可用費爾馬或

洛爾定理的形式來證明

從上表中可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱，如表格中B、C的條件

是一樣的，同時A也只多了一條“可導性”而已；所以在面對這一部分的題目時,如果把

與證結(jié)論與可能用到的幾個定理的的結(jié)論作一比較，會比從題目條件上挖掘信息更容易找

到入手處。故對于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重

點應(yīng)該放在熟記定理的結(jié)論部分上；如果能夠做到想到介值定理時就能同時想起結(jié)論“存

在一個￡使得了(￡)二%"、看到題目欲證結(jié)論中出現(xiàn)類似“存在一個￡使得

f⑹=k”的形式時也能立刻想到介值定理;想到洛爾定理時就能想到式子兒)=0；

而見到式子~gW-g(a)也如同見到拉格朗日中值定理一樣，那么在處理本部分的

8(￡)

題目時就會輕松的多，時常還會收到“豁然開朗”的效果。所以說，“牢記定理的結(jié)論部分”

對作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現(xiàn)的最為明顯。

綜上所述，針對包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是“盡一切可能挖掘題目的

信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)

合；同時保持清醒理智，降低出錯的可能”。希望這些想法對你能有一點啟發(fā)。不過僅僅弄

明白這些離實戰(zhàn)要求還差得很遠，因為在實戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的變形轉(zhuǎn)換技

巧、性質(zhì)甚至定理我們當時想不到；很多結(jié)論、性質(zhì)和定理自己感覺確實是弄懂了、也差

不多記住了，但是在做題時那種沒有提示、或者提示很少的條件下還是無法做到靈活運用；

這也就是自身感覺與實戰(zhàn)要求之間的差別。

這就像在記英語單詞時，看到英語能想到漢語與看到漢語能想到英語的掌握程度是不同的

一樣，對于考研數(shù)學大綱中“理解”和“掌握”這兩個詞的認識其實是在做題的過程中才

慢慢清晰的。我們需要做的就是靠足量、高效的練習來透徹掌握定理性質(zhì)及熟練運用各種

變形轉(zhuǎn)換技巧，從而達到大綱的相應(yīng)要求，提高實戰(zhàn)條件下解題的勝算。依我看，最大的

技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來解決。

1.4高數(shù)第六章《常微分方程》

本章常微分方程部分的結(jié)構(gòu)簡單，陳文燈復(fù)習指南對?階微分方程、可降階的高階方程、

高階方程都列出了方程類型與解法對應(yīng)的表格。歷年真題中對于?階微分方程和可降階方

程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點處的切線、法

線、積分方程等問題來引出；從歷年考察情況和大綱要求來看，高階部分不太可能考大題,

而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。

對于本章的題目，第一步應(yīng)該是辨明類型，實踐證明這是必須放在第一位的；分清類型以

3

后按照對應(yīng)的求解方法按部就班求解即可。這是因為其實并非所有的微分方程都是可解的，

在大學高等數(shù)學中只討論了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識

點緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。這樣的知識點特點就決定了我們可以采取相對機械的“辨明類

型——〉套用對應(yīng)方法求解”的套路，而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的，便

于以這樣的方式使用。

先討論一下一階方程部分。這一部分結(jié)構(gòu)清晰，對于各種方程的通式必須牢記，還要能夠

對易混淆的題目做出準確判斷。各種類型都有自己對應(yīng)的格式化解題方法，這些方法死記

硬背并不容易，但有規(guī)律可循——這些方法最后的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出

現(xiàn)的方程都化為f(x)dx=f(y)dy這樣的形式，再積分得到答案。對于可分離變量型方程

flMg^y)dx+f2(x)g2(y)dy=0,就是變形為，再積分求

1A*)g。)

解：對于齊次方程y'=/(號)則做變量替換u=7＞則y'化為"+%半，原方程

就可化為關(guān)于〃和％的可分離變量方程，變形積分即可解；對于一階線性方程

y'+p(x)y=q(x)第一步先求曠+p(%)y=。的通解，然后將變形得到的

V=~~p(x)dx積分，第二步將通解中的c變?yōu)镃(x)代入原方程y'+p(x)y=q(x)

解出c(x)后代入即可得解；對于貝努利方程y'+p(%)y=虱％)V，先做變量代換

z=代入可得到關(guān)于z、x的一階線性方程，求解以后將z還原即可；全微分方程

M(x,y)dx+N(x,y)dy比較特殊，因為其有條件詈=野，而且解題時直接套用通解公式

fM(x,y0)dx+fN(x,y)dy=C.

山‘0.vo

所以，對于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結(jié)果公式。對于求解可

降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對于y(n)=/(x)型方程，就是先把y"LD當作未知

函數(shù)z,則y{n}=Z'原方程就化為dz=f(x)dx的一階方程形式，積分即

得；再對y"‘-"、依次做上述處理即可求解；

y"=fy')叫不顯含y的二階方程，解法是通過變量替換y'=p、

fffffr/t\

y=pe為x的函數(shù))將原方程化為一階方程；y=/(y,y)叫不顯含x的二階

方程，變量替換也是令y'=P(但此中的P為y的函數(shù))，則

〃_dpdy_dp_r

y=不不=P~^=PP,也可化為一階形式。

4

y

所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換；=〃"，“求解貝努利方

程就用變量替換2=y]~nM一樣，在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量

fffft

替換y=p、y=p”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換y=p、

fff

y=PP北

大綱對于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可。其中二階線性微分方程解

的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對比記憶：

若齊次方程組Ax=O的基礎(chǔ)解系有

若%(%)、>2(%)是齊次方程

(n-r)個線性無關(guān)的解向量，則齊次

方程組的通解為

V+p(%)y'+式％)y=0的兩個線性無關(guān)

%=/%+左2y2

的特解，則該齊次方程的通解為

^(x)=c1y1(x)+c2y2(x)

非齊次方程組Ax=b的一個通解等

非齊次方程yr+P(x)yf+q(x)y=/(x)

于Ax=b的一個特解與其導出組齊

次方程Ax=O的通解之和

的通解為y=G乃(x)+c2y2(%)+y；(%)，其

中y；(%)是非齊次方程的一個特解，

必必(％)+，2為(％)是對應(yīng)齊次方程

V+P(x)y'+q(x)y=0的通解

若非齊次方程有兩個特解y(%)y2(x),則對應(yīng)齊若八、G是方程組Ax=b的兩個特

次方程的一個解為y(%)=%(%)-%(%)解，則(1-G)是其對應(yīng)齊次方程

組Ax=O的解

由以上的討論可以看到，本章并不應(yīng)該成為高數(shù)部分中比較

難辦的章節(jié)，因為這一章如果有難點的話也僅在于“如何準確無誤地記憶各種方程類型及

對應(yīng)解法”，也可以說本章難就難在記憶量大上。

1.5高數(shù)第七章《一元微積分的應(yīng)用》

本章包括導數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分，其中導數(shù)應(yīng)用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是

題目的考察重點；而定積分的應(yīng)用在歷年真題的大題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結(jié)合。

典型的構(gòu)題方式是利用變區(qū)間上的面積、體積或弧長引出積分方程，一般需要把積分方程

中的變上限積分1f⑴出單獨分離到方程的?端形成“{f⑺出=s”的形式,

在兩邊求導得到微分方程后套用相關(guān)方程的對應(yīng)解法求解。

對于導數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識點：

5

1.利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導判

斷，判定極、最值時則須注意以下兩點：A.極值的定義是：對于與的鄰域內(nèi)異于的

任一點都有/(1)＞)或/(%)＜/(^0)＞注意是＞或＜而不是，或W；B.

極值點包括圖1、圖2兩種可能，

所以只有在/(X)在

%0處可導且在玉)處取極值時才有了'(X)=°。以上兩點都是實際做題中經(jīng)常忘掠的地

方，故有必要加深?下印象。

2.討論方程根的情況。這一部分常用定理有零值定理(結(jié)論部分為/(￡)二°)、洛爾

定理(結(jié)論部分為了(1)=°)；常用到構(gòu)造輔助函數(shù)法；在作題時，畫輔助圖會起到很好

的作用，尤其是對于討論方程根個數(shù)的題目，結(jié)合函數(shù)圖象會比較容易判斷。

3.理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件：A.若函數(shù)/(%)在區(qū)間I

上的于〃(X)＜0，則/(%)在I上是凸的；若/(X)在I上的/"(X)＞。，則

/(%)在I上是凹的；B.若/(%)在點玉)處有f(x)=。且/(*0)。。，則當

/〃(%0)＜。時/(%)為極大值，當/"(%0)＞。時/(%0)為極小值。

其中，A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導數(shù)定義，/'(X)是/(%)的變化率，

/〃(1)是/'(X)的變化率。/(；)〉?？梢哉f明函數(shù)是增函數(shù)，典型圖像是

/'〃(％)＜?？梢哉f明函數(shù)/(%)的變化率在區(qū)間I

上是遞減的，包括以下兩種可能:

6

＞

0x

a.止匕時/'(%)為正,

且隨工變大而變小(大小關(guān)系可參

考圖3)；

八

y

A

0x

b.此時/'(%)為負,

隨％變大而變小(大小關(guān)系可參考

圖3)；

同樣，/〃(％)＞。也只有兩種對應(yīng)圖像：

八

y

-----------------------A

0x

c.此時f(X)為正，隨著％變大而變大；

八

X

A

0x

d.此時/''(1)為負，

隨％變大而變大。

〃廠'

所以，當/"(%)＜。時，對應(yīng)或

的函數(shù)圖像，是凸的；當

/〃(％)〉。時,對應(yīng)

或的函數(shù)圖像，是凹的。

7

相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了"/(A-)=0

且/(10)。?！?，這從圖像上也很容易理解：滿足/〃(％)<。的圖像必是凸的，即

當/(；)=。且/'(%)。。時不就一定是

y

0“。x

a<

的情況嗎。

對于定積分的應(yīng)用部分，首先需要對微元法熟練掌握。在歷年考研真題中，有大量的題是

利用微元法來獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識點之一；但是

由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習

才能真正體會其思想。在此結(jié)合函數(shù)圖像與對應(yīng)的微無法核心式來歸納微元法的三種常見

類型：

axy

0bx

dx

1.薄桶型.本例求的是由平面圖型aWxWb,OWyWf(x)

繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體(如上圖陰影部分所

示)，則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積dv=17txf(x)dx,其中f(x)是薄桶的高，

2句‘(％)是薄桶展開變成薄板后的底面積，4%就是薄板的厚度；二者相乘即得體積。

對dv=2時(x)dx積分可得V=(x)dxc在這個例子中，體現(xiàn)微元

法特色的地方在于：1.雖然薄桶的高是個變化量，但卻用f(%)來表示；2.用dx表示薄

桶的厚度；3.核心式dv=2時(x)dx。

8

繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的高H的旋轉(zhuǎn)體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的?個薄餅型形

體，可得微元法核心式du二萬（＞一卷）dy。其中）（》一卷）是薄餅的底面積，薄

22

餅與y=%旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是"r=x,：.

犯

TIT2=7TX2=7iy.同理薄餅與y=4A%2旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是才，二

者相減即得薄餅底面積。核心式中的dy是薄餅的高。這個例子中的薄餅其實并不是上

下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺，但將其視為上下等粗來求解，這一點也體現(xiàn)了微

元法的特色。

2

N=丫，其中r指球內(nèi)任意一點到球心的距離。方法是取球體中的?個薄球形形體,

其內(nèi)徑為r厚度為dr,對于這個薄球的體積有dv=^7irr2dr,其中4"?是

薄球表面積，dr是厚度。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個薄面以后再

用底面積乘高得到的。由于dr很小，故可認為薄球內(nèi)質(zhì)量均勻，為〃二r2,則薄球質(zhì)

量dm=4/.r2dr=4/dr,積分可得結(jié)果。本例中“用內(nèi)表面的表面積

4"2乘以薄球厚度dr得到核心式”、“將du內(nèi)的薄球密度視為均勻”體現(xiàn)了微元法的

特色。

通過以上三個例子談了一下了我對微元法特點的一點認識。這種方法的靈活運用必須通過

自己動手做題體會才能實現(xiàn)，因為其中一些邏輯表面上并不符合常規(guī)思維，但也許這正是

研究生入學考試出題老師喜歡微元法的原因。

9

關(guān)于定積分的應(yīng)用，以下補充列出了定積分各種應(yīng)用的公式表格:

求平面圖形

面積

f(x)dx

求旋轉(zhuǎn)體體

積（可用微

元法也可用

公式）

左圖中圖形繞光軸旋轉(zhuǎn)體的體積

2

Vx=7T\f(x)dx繞y軸旋轉(zhuǎn)體得體積

燈（x）dx

yA

o

左圖中圖形繞入軸旋轉(zhuǎn)體的體積

="2"］）一力2（x）］dx,繞y軸旋轉(zhuǎn)體得體積

Vy=27r^x[f2(x)—力(x)]dx

10

己知平行截

面面積求立

體體積

V=fs(x)dx

求平面曲線

的弧長

I=fJi+(y)2dx

1.6高數(shù)第八章《無窮級數(shù)》

本章在考研真題中最頻繁出現(xiàn)的題型包括“判斷級數(shù)斂散性”、“級數(shù)求和函數(shù)”和“函數(shù)

的幕級數(shù)展開”。其中判斂是大、小題都?？嫉?，在大題中一般作為第一問出現(xiàn)，求和與展

開則都是大題。這一章與前面的常微分方程、后面的曲線曲面積分等章都是比較獨立的章

節(jié)，在考試時會出大題，而且章內(nèi)包含的內(nèi)容多、比較復(fù)雜。陳文燈復(fù)習指南上對相關(guān)章

節(jié)的指導并不盡如人意，因為套題型的方法在這些復(fù)雜章節(jié)中不能展現(xiàn)其長處，故整體來

說結(jié)構(gòu)比較散亂。

對于級數(shù)判斂部分，主要用的方法是比較法、級數(shù)斂散性的定義和四則運算性質(zhì)。其中比

較判斂法有一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子：L已知級

數(shù)收斂，判斷級數(shù)

Z工的斂散性。其判斂過程的核心是找到不等式

總7）,再應(yīng)用比較法的一般形式即可判明。其實這種“知一判一”

式的題目是有局限性的——若已知級數(shù)收斂，則所要求判斂的級數(shù)只能也是收斂的，因為

只有“小于收斂級數(shù)的級數(shù)必收斂”這一條規(guī)則可用，若待判斂級數(shù)大于已知收斂級數(shù)，

則結(jié)果無法判定。所以考研真題中一般只會出成選擇題“已知某級數(shù)收斂，則下列級數(shù)中

收斂的是（）\

2.上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是給出級數(shù)某些性質(zhì)要求判斷斂散性，方

法是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級數(shù)建立起聯(lián)系，再應(yīng)用比較法一般形式判斷。

舉例如下：已知單調(diào)遞減數(shù)列滿足lim°〃=。〉o,判斷級數(shù)乞田"

Xf0

的斂散性。關(guān)鍵步驟是：由去T<出<1得到（工匕）”<（"?）"，再利用比較判斂

法的一般形式即得。對于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會超出“知一判一”和

11

“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。

幕級數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)的基級數(shù)展開問題是重點內(nèi)容，也是每年都有的必考題。通過做歷

年真題，我發(fā)現(xiàn)像一元函數(shù)微積分應(yīng)用中的微元法、無窮級數(shù)中的求和與展開這樣倍受出

題人青睞的知識點都有一個相似之處，就是這些知識點從表面上看比較復(fù)雜、難于把握，

實際上也必須通過認真思考和足量練習才能達到應(yīng)有的深度，但在領(lǐng)會到解決方法的精髓

思想以后這些知識點又會“突然”變的十分簡單。

也就是說，掌握這樣的知識點門檻較高，但只要跨過緩慢的起步階段，后面的路就是一馬

平川了；同時，具有這種特點的知識點也可以提供給出題人更大的出題靈活性，而通過“找

到更多便于靈活出題的知識點來跳出題型套路”正是近幾年考研真題出題專家致力達到的

目標，這一趨勢不僅體現(xiàn)在了近年來的考卷上，也必然是今后的出題方向。

所以我們在復(fù)習過程中對于具有“淺看復(fù)雜、深究簡單、思路巧妙、出法靈活”的知識點

要倍加注意，對于無窮級數(shù)這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知

識點，更是要緊抓不放。因為這種知識點對“復(fù)習時間投入量”的要求接近于一個定值，

認認真真搞明白以后，只要接著做適量的題目鞏固就行了，有點“一次投入，終生受益”

的意思，花時間來掌握很劃算。

另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達到熟練做題程度以后會發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。

這種規(guī)律是建立在對6個關(guān)鍵的函數(shù)展開式“熟之乂熟”的掌握上的。對此6個展開式的

掌握必須像掌握重要定理一樣，對條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到

三者中的任意一個就能立刻寫出其他兩部分，而且要能夠區(qū)別相似公式，將出錯概率降到

最小。公式如下：

1.

CO

?〃〃〃

-\r-—u=1+M~+,,++,?,=//U

71=0

(-1,1)

2.

00

~r~=1—W+W2-/+???+(一］)〃〃，+???=(_1)，?Un

n=0

3.

8

ln(l+w)=w+|w3------F(-1)〃丁H—二Z(-1)"旨

n=0

(-00,+oo)

4.

oo

e"=\+U+57?2H------H--------------=Z%

n=0

(-oo,+oo)

12

5.

00

sinw=+...+(-1)〃7^yy〃2"+i+--?=^(-l)z，

n=0

(-00,+oo)

6.

COS”=1-*〃2++(_])〃/“2"+…=￡(_])〃磊

〃二0

(-00,+oo)

這六個公式可以分為兩個部分，前3個相互關(guān)聯(lián)，后3個相互關(guān)聯(lián)。1式是第一部分式子的

基礎(chǔ)。1+〃+[J+???+””+?…不就是一個無窮等比數(shù)列嗎，在I"1<1時的求

和公式S二士正是函數(shù)展開式的左端。所以這個式子最好記，以此為出發(fā)點看式子2：1

8

式左端是六，2式左端是出；1式右端是,2式右端也僅僅是變成了交錯級數(shù)

n=0

00

，故可以通過這種比較來記憶式子2；對于3式來說，公式左端的

77=0

ln(l+〃)與2式左端的七存在著關(guān)系“[ln(l+")]'=*”,故由出的展開式

00

可以推導出ln(l+u)的展開式為￡(—1)”幻。這三個式子中的“e(-1,1),

71=0

相互之間存在著上述的清晰聯(lián)系。

后3個式子的〃e(-00,+oo),相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開式形式上的相似

00

性。這一部分的基本式是公式4：?”二￡%與之相比，sin”的展開式是

n=0

0000

2（-1）〃焉,

COS”的展開式是。一個可看成是將e"展開式

〃二0n=0

13

中的奇數(shù)項變成交錯級數(shù)得到的，一個可看成是將e”展開式中的偶數(shù)項變成交錯級數(shù)而得

到。像這樣從“形似”上掌握不費腦子，但要冒記混淆的危險，但此處恰好都是比較順的

搭配：sinu、cos”習慣上說“正余弦”，先正后余；而sin”的展開式對應(yīng)的是奇數(shù)

項，COS”的展開式對應(yīng)的是偶數(shù)項，習慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。

記好6個關(guān)鍵式是解決毒級數(shù)求和與函數(shù)的幕級數(shù)展開問題的基礎(chǔ)，不僅在記憶上具有規(guī)

律性，在解題時也大有規(guī)律可循。

在已知塞級數(shù)求和函數(shù)時，最佳途徑是根據(jù)各個公式右端的形式來選定公式：第一部分（前

3式）的展開式都不帶階乘，其中只有士的展開式不是交錯級數(shù)；第二部分（后3式）的

U

展開式都帶階乘，其中只有e的展開式不是交錯級數(shù)。由題目給出的幕級數(shù)的形式就可以

看個八九不離十了，比如給出的基級數(shù)帶階乘而不是交錯級數(shù)，則應(yīng)該用公式4,因為累級

數(shù)的變形變不掠階乘和（一D”；若題目給出的幕級數(shù)不帶階乘而且是交錯級數(shù)，則必從2、

3兩式中選擇公式，其它情況也類似。

對于函數(shù)的箱級數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更

為簡單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式

相符：變量替換（用于函數(shù)的幕級數(shù)展開）、四則運算（用于展開、求和）、逐項微積分（用

于展開、求和）。

對于數(shù)項級數(shù)求和的題目，主要方法是構(gòu)造慕級數(shù)法，即利用變換

000000

E%=1可1WX*"求得'基級數(shù)WX*"的和函數(shù)s（%）以后代入極限式即

/1=0'〃=0n=0

可。其中的關(guān)鍵步驟是選擇適當?shù)墓ぁ?一般情況下如果〃、（2九一1）這樣的項在分子

n（-）—15）—1

中，則應(yīng)該先用逐項積分再用逐項求導，此時的X應(yīng)為X的形式，如工、

（2〃一1）一11In（…）

X，以方便先積分；若題目有5E、訪M■這樣的項，則X應(yīng)為X的形

式，如工（2"-1）、％（3"+1）,便于先求導。這些經(jīng)驗在做一定量的題目后就會得到。

本章最后的知識點是付立葉級數(shù)，很少考到，屬于比較偏的知識點，但其思想并不復(fù)雜，

花時間掌握還是比較劃算的。函數(shù)的付立葉級數(shù)的物理意義就是諧波分析，即把?個復(fù)雜

周期運動看作是若干個正余弦運動的疊加。首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體

展開時有以下兩種情況：

1.題目給出的函數(shù)至少有一個完整的周期，如圖

14

則直接套用公式即可，不存在奇開拓和偶開拓的問題。對于

形狀類似上圖的函數(shù)，展開以

后級數(shù)中既有正弦級數(shù)也有余弦級數(shù)；

若為奇函數(shù)如,則展開后只有正弦級數(shù)：若為偶函數(shù)則展開

后只有余弦函數(shù)；

2.題目給出函數(shù)后沒有說明周期，則需要根據(jù)題目要求進行

奇開拓或偶開拓。如圖，若要求進行奇開拓就是展開成奇函

數(shù)，此時得到的級數(shù)中只有正弦級數(shù)，圖像為

偶開拓就是要展開成偶函數(shù)，此時得到的展開式中只有余弦級數(shù)，圖像為

\^/\/

o7"^

15

1.7高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》

本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復(fù)習本章時需要重

點考慮的問題。抓住本章前后知識點的聯(lián)系來復(fù)習是一種有效的策略，因為這樣做既可以

避免重復(fù)記憶、減少記憶量，乂可以保證記憶的準確性。同時，知識點前后聯(lián)系密切也正

是本章的突出特點之一。以下列出本章中前后聯(lián)系的知識點：

a)矢量間關(guān)系在討論線線關(guān)系、線面關(guān)系中的應(yīng)用。這個聯(lián)系很

明顯，舉例來說，平面與直線平行時，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢

XT。_y-%_z-z0

量關(guān)系性質(zhì)知此時二矢量的數(shù)積為0,若直線方程為~T~~~.平面方

程為Ax++Cz+。=0,則有Al+Bm+Cn=Oc同理可對線面、線

線、面面關(guān)系進行判定。

b)數(shù)積定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯(lián)系。數(shù)積定義式

―>—>—>—>~_>

為。?=1aII〃Icos?,故有C°s6=待,這個式子是所有線線、線面、面面夾

/.X—._y—?_

-

角公式的源公式。舉例來說，設(shè)直線"1?/)mx~,直線

/?A'_)'一)'2_『2n_“2+嗎叫+4"2_方

1?，2機2?2>則二直線夾角一扃俞?扁燕一溫而，

->-?

其中a、匕分別是兩條直線的方向矢量。對于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點就

是線面夾角公式中不是cos0=???而是sinS=?一，因為如右圖所示

由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量

卻與平面垂直，所以線面夾角。是兩矢量夾角6'的余角，即8+8'=90°,故求夾角

公式的左端是sin0。對于線線夾角和面面夾角則無此問題。

C)平面方程各形式間的相互聯(lián)系。平面方程的一般式、點法式、

三點式、截距式中，點法式和截距式都可以化為一般式。點法式

4>-%o)+8(y—y0)+C(z—4)=0(點為平面上已知

16

點，{A,B,C}為法矢量）可變形為

Ax+By+Cz-（Ax0+By0+Cz0）=0,符合一般式

Ar+By+Cz+O=0的形式；截距式§+卷+"=1（。,反c為平面在三個

坐標軸上的截距）可變形為bcx-acy+abz-abc=0,也符合一般式的形式。

這樣的轉(zhuǎn)化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是因為在考試中可能需要將這些式子相互

轉(zhuǎn)化以方便答題（這種情況在歷年真題中曾經(jīng)出現(xiàn)過）。

同樣，直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形式和標準式之間可以相互轉(zhuǎn)

x=x0+It

化。直線方程的參數(shù)形式“,-（（%o,y（）,zo）是平面上已知點，

z=z0+nt

號二/

為方向矢量）可變形為]加，即為標準式

=t

x_x。__z-ZoX-X。_）'o_Z-Zo

~T~~一"V；標準式~T~~~若變形為

x—與_y-%_z-z0_t

~r~~~"v—'則也可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式。這個轉(zhuǎn)化在歷年真題中應(yīng)用

過不止一次。

d）空間曲面投影方程、柱面方程、柱面準線方程之間的區(qū)別與聯(lián)

系。關(guān)于這些方程的基礎(chǔ)性知識包括：F（X,y,z）=0表示的是一個空間曲面；由于空

F1(%,y,z)=0

間曲線可視為由兩個空間曲面相交而得到的，故空間曲面方程為;柱

「2(%,y,z)=。

222*,v]j'i

面方程如圓柱面%+y=R、橢圓柱面二+”二i可視為是二元函數(shù)

（2D

f（x,y）=0在三維坐標系中的形式。

J/（%,y）=o

在這些基礎(chǔ)上分析，柱面方程的準線方程如jz=0可視為是由空間曲面——柱

17

面與特殊的空間曲面——坐標平面z=0相交形成的空間曲線，即右圖

中的曲線2；而空間曲線的投影方程與柱面準線方程其實

是一回事，如上圖中曲線1的投影是由過曲線1的投影柱面與坐標平面相交得到的，所以

尸i（”z）=O

也就是圖中的柱面準線。在由空間曲線方程尸2（1y［）=0求投影方程時，需要先從

方程組中消去z得到一個母線平行于z軸的柱面方程;；再與z=0聯(lián)立即可得投影方程

f(x,y,z)=O

z=0

1.8高數(shù)第十章《多元函數(shù)微分學》

復(fù)習本章內(nèi)容時可以先將多元函數(shù)各知識點與一元函數(shù)對應(yīng)部分作對比，這樣做即可以將

相似知識點區(qū)別開以避免混淆，乂可以通過與一元函數(shù)的對比來促進對二元函數(shù)某些地方

的理解。本章主要內(nèi)容可以整理成一個大表格：

二元函數(shù)的定義（略）相?元函數(shù)的定義（略）

似

二元函數(shù)的連續(xù)性及極限：一元函數(shù)的連續(xù)性及極限：

一元函數(shù)的極限與路徑無關(guān)，

二元函數(shù)的極限要求點9（兒y）以任何方向、任何

不由等價式

同

路徑趨向尸（％o，y（））時均有y）tAlim/（x）=A

（%—>%o、y如果沿不同路徑的Of（%）=/+（%（））二

鷺*“）不相等，則可斷定粵即可判斷。

yfyo

不存在。

二元函數(shù)z—f（x,y）在點尸（x（），y0）處連續(xù)一元函數(shù)y=/（%）在點

相