第一章低速宏觀運動的基本原理§1.1.0

緒論、質點運動學和質點動力學§1.1.1無約束質點的拉格朗日方程§1.1.2有約束情況下的拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理§1.1.4伽利略相對性，自由質點的拉格朗日函數(shù)§1.1.5習題2024/2/152BurhanSalay@PhysicsofXJU理論力學的研究的條件：宏觀、低速運動物體①質量不變

②絕對時間

③絕對空間

0

過現(xiàn)未時間*V<<C*物體的尺度>>

原子，分子2024/2/153BurhanSalay@PhysicsofXJU第一篇低速宏觀物體的運動-理論力學

第一章低速宏觀運動的基本原理§1.1.0緒論、質點運動學和質點動力學§1.1.1無約束質點的拉格朗日方程§1.1.2有約束情況下的拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理§1.1.4伽利略相對性，自由質點的拉格朗日函數(shù)§1.1.5習題2024/2/154BurhanSalay@PhysicsofXJU§1.1.1無約束質點的拉格朗日方程對于保守系，必存在勢能U，它是坐標的函數(shù)U(x,

y,

z)，且：定義廣義力：

將所有坐標用新的獨立坐標表示（稱為廣義坐標），則用Cartesian坐標表示：（1）

（2）

（3）

2024/2/155BurhanSalay@PhysicsofXJU這樣Newton第二定理可以改寫為（基本形式的拉氏方程）：

令

L=T-U

（代表體系的動能與勢能之差），則：這樣(6)式變?yōu)椋?/p>

（4）

（6）——保守系的拉格朗日方程

L=T-U

叫做拉格朗日函數(shù)，簡稱拉氏函數(shù)。（5）

2024/2/156BurhanSalay@PhysicsofXJU第一篇低速宏觀物體的運動-理論力學

第一章低速宏觀運動的基本原理§1.1.0緒論、質點運動學和質點動力學§1.1.1無約束質點的拉格朗日方程§1.1.2有約束情況下的拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理§1.1.4伽利略相對性，由質點的拉格朗日方程§1.1.5習題2024/2/157BurhanSalay@PhysicsofXJU約束的概念TheConceptofConstrain

機械運動是物體空間位置隨著時間的推移而變動,對機械運動所加的強制性的限制條件叫作約束。

一個質點可用矢徑r或三個坐標表示,n個質點組成的系統(tǒng),則由n個矢徑或3n個坐標描述,它們確定每一時刻各質點的位置以及質點組的形狀——確定系統(tǒng)的位形。

約束條件對運動的限制由一些力來體現(xiàn),這些力一般不是給定的,而是與運動狀況有關的未知力。因此,對于動力學問題,約束也應作為一個基本因素加以考慮。位形不能決定系統(tǒng)的“力學狀態(tài)”,僅由某時刻的位形不能預言在下一個時刻系統(tǒng)的位形.對于n個質點的系統(tǒng)，還需知道n個速度矢量才能確定系統(tǒng)的狀態(tài)?！?.1.2

有約束情況下的拉格朗日方程2024/2/158BurhanSalay@PhysicsofXJU注意：

幾乎所有的力學系統(tǒng)都存在著約束。例如,剛體內任意兩質點間距離不變,兩個剛體用鉸鏈連接,輪子無滑動地滾動,兩個質點用不可伸長的繩連接等等。對狀態(tài)的限制也就是對力學系統(tǒng)內各質點的位置和速度加以限制,其數(shù)學表示式是約束方程:它是坐標和速度必需滿足的條件，稱為約束條件。EquationsofConstrain約束方程2024/2/159BurhanSalay@PhysicsofXJU某些約束僅對力學系統(tǒng)的幾何位置加以限制,而對各質點的速度沒有限制,這種約束稱為幾何約束,

其數(shù)學表示式是例如，剛體內任意兩點間的距離保持不變就是一種幾何約束，

對于涉及力學系統(tǒng)運動情況的約束,即對速度也有限制的,則稱為運動約束,其中顯含速度.例如半徑為R的圓柱在地面上沿著直線作無滑動地滾動.這意味著著地點的速度為零，即運動約束亦稱為微分約束或速度約束。幾何約束的約束方程雖然不顯含速度項,但實際上它在對位置限制的同時也對系統(tǒng)的速度給予了限制,事實上,由式(5.1)對時間求全導數(shù),得2024/2/1510BurhanSalay@PhysicsofXJU

有些運動約束又可以通過積分成為幾何約束，例如圓柱無滑動地滾動的約束方程很容易積分為化成幾何約束的約束方程?？煞e分的運動約束與幾何約束在物理實質上沒有區(qū)別,合稱為完整約束。

不可積的運動約束,即不能化為幾何約束的運動約束,它們在物理實質上不同于幾何約束,稱為非完整約束。2024/2/1511BurhanSalay@PhysicsofXJU一、約束與分類1、約束：限制各質點自由運動的條件。用約束方程來描述。2、約束的分類(1)幾何約束和運動約束(也叫微分約束)幾何約束:fi(r1,r2,

…rn

,t)=0，(i=1,2,…k)

運動約束:fi(r1,r2,

…rn

,v1,v2,

…vn

,t)=0，(i=1,2,…k)式中k為約束個數(shù)。

***對于由n個質點組成的系統(tǒng)，獨立約束的個數(shù)≤3n。2024/2/1512BurhanSalay@PhysicsofXJU(2)穩(wěn)定約束和非穩(wěn)定約束

穩(wěn)定約束:

約束方程不顯含時間t的約束。

非穩(wěn)定約束:

約束方程顯含時間t的約束。例：穩(wěn)定的幾何約束：fi(r1,r2,

…rn

)=0，i=1,2,…k

穩(wěn)定的運動約束:fi(r1,r2,

…rn

,v1,v2,

…vn

)=0非穩(wěn)定約束；fi(r1,r2,

…rn,t)=0，fi(ri,vi,t)=0

(3)可解約束和不可解約束不可解約束：約束方程為等式。

可解約束：約束可以至少在一個方向偏離等式。例：不可解幾何約束：fi(r1,r2,

…rn

,t)=0

可解幾何約束：fi(r1,r2,

…rn

,t)≥0或≤0。穩(wěn)定約束=定常約束穩(wěn)定約束SteadyConstrain2024/2/1513BurhanSalay@PhysicsofXJU(4)完整約束和非完整約束非完整約束:

有兩種情況

(a)可解約束;(b)微分約束中若約束方程不能單獨積分的(必須與運動方程聯(lián)立才能積分，即解出運動的同時才能積分)。完整約束:

除上述兩種情況外的約束叫完整約束。

今后主要研究受完整約束的力學體系,即研究完整系的力學問題。2024/2/1514BurhanSalay@PhysicsofXJU對非完整約束舉例

具有尖銳邊緣的薄圓盤在粗糙面上做作無滑滾動,則圓盤的著地點的速度為零。可表為把上式投影到x軸和y軸上,得式中x0和y0是盤心的坐標。這兩個微分關系是不能積分的。因為當薄圓盤沿著長度各不相同的不同閉合曲線循行一周回到原處時，盤心坐標(x0，y0)和角

都可以回復到原來的值，但

卻未必也恰好回復原值。這就是說，在x0,y0,

和

之間并不存在一種確定不變的關系。這種運動約束是不可能積分的。2024/2/1515BurhanSalay@PhysicsofXJU幾類平面約束繩索、鏈條、皮帶1、柔性體約束2024/2/1516BurhanSalay@PhysicsofXJU繩索的約束反力沿繩索中心線，離開物體，為拉力。2024/2/1517BurhanSalay@PhysicsofXJU2、光滑面約束2024/2/1518BurhanSalay@PhysicsofXJU

光滑接觸的約束反力通過接觸點，沿接觸面在該點的公法線方向，為壓力。2024/2/1519BurhanSalay@PhysicsofXJU3、圓柱鉸鏈約束上擺銷釘下擺固定鉸支座固定鉸支座的約束反力通過銷釘中心，在垂直銷釘軸線的平面內，方向不定。銷釘2024/2/1520BurhanSalay@PhysicsofXJU滾動鉸支座上擺銷釘?shù)装鍧L輪滾動鉸支座的約束反力:通過銷釘中心，垂直于支承面，指向物體。2024/2/1521BurhanSalay@PhysicsofXJU中間鉸銷釘2024/2/1522BurhanSalay@PhysicsofXJU銷釘2024/2/1523BurhanSalay@PhysicsofXJU簡化表示：約束力表示：2024/2/1524BurhanSalay@PhysicsofXJU4、連桿、支座連桿連桿支座2024/2/1525BurhanSalay@PhysicsofXJU連桿-支座間的約束力沿連桿中心線，指向不定。2024/2/1526BurhanSalay@PhysicsofXJU活動鉸支座固定鉸支座2024/2/1527BurhanSalay@PhysicsofXJU例1：線性三原子分子組成的體系只能在該連線上運動。體系在無外力作用。分析：體系的質心速度為常數(shù)，即約束方程為：

vC

=C（微分約束）積分得：xC

=Ct+xCo

x1m2m3m1x2x32024/2/1528BurhanSalay@PhysicsofXJU二、自由度和廣義坐標n個質點系統(tǒng)由n個位矢rl,r

2,…,rn確定，或由N＝3n個直角坐標，(x1，yl，z1),…,(xn，yn，zn)表示。如果該系統(tǒng)存在k

個完整約束那么，在N個坐標之中，有

k個坐標可以從以上方程組“解出”，即有

k個坐標可用其余

N-k個坐標表出，因此只剩下

s=N-k

個獨立坐標。任選

N=3n個坐標中的

s=3n-k

個獨立坐標2024/2/1529BurhanSalay@PhysicsofXJU—再討論2024/2/1530BurhanSalay@PhysicsofXJU三

、虛功原理1、實位移和虛位移質點由于實際發(fā)生運動的位移,叫做實位移，用dr

表示。在約束許可情況下質點的想象中的位移,叫做虛位移。用

r

表示。虛位移只決定于質點在某時刻的位置和加在它上面的約束，而不是由于時間變化所引起的。虛位移和實位移的區(qū)別是實位移要滿足運動方程,而虛位移只需要滿足約束。在穩(wěn)定約束下,實位移是許多虛位移中的一個。而在不穩(wěn)定約束時，無此多選一關系。設有n個質點的系統(tǒng),存在m個完整約束,其約束方程設是滿足約束條件的虛位移,則2024/2/1531BurhanSalay@PhysicsofXJU對

ri

作多元函數(shù)的泰勒展開(

t被“凍結”),略去二次以上的項,滿足上式的一組

ri

就是虛位移。而真實位移dri是一個在時間dt

間隔中完成的位移,

為使其滿足約束條件,必須有于是得這是約束對真實位移的限制條件,即這是時間不被“凍結”的可能位移應滿足的條件。當約束穩(wěn)定時，就與

虛實位移的條件相同了。在不穩(wěn)定約束下，實位移和虛位移的方程不同，因此實位移不再是許多虛位移中的一個，即不存在二者之間的多選一關系。得2024/2/1532BurhanSalay@PhysicsofXJU虛位移與實位移比較表

虛位移實位移共同點為約束所允許為約束所允許不同點1)

主動力、作用時間、初始條件無關;

2)

是可能位移,可有多限個或無窮多個;

3)

是無限小量。與左邊三個因素有關、唯一的，方向確定的有限量。表示方法用變分符號表示。如

等用微分符號表示。如

等相互關系在穩(wěn)定約束情況下，實位移是許多虛位移中的一個；

在不穩(wěn)定約束情況時，不存在這樣的多選一的關系。穩(wěn)定約束=定常約束----約束方程不顯含時間。2024/2/1533BurhanSalay@PhysicsofXJU2、虛功作用在質點上的力在任意虛位移

r

中所作得功,叫做虛功。如果作用在一個力學系統(tǒng)上所有作用反力在任意虛位移中所作得虛功之和為零,即那么系統(tǒng)受到得約束叫做理想約束。一切光滑接觸以及剛體等都是理想約束。例1:質點沿固定的光滑曲面運動,約束方程為質點的虛位移應滿足2024/2/1534BurhanSalay@PhysicsofXJU即虛位移垂直于曲面的法向(

).由于約束面是光滑的,約束力沿曲面的法向,即因此虛功為例2:質點沿運動的光滑曲面運動,約束方程為質點的虛位移應滿足即虛位移仍垂直于曲面的法向。而約束力沿曲面的法向，所以虛功也仍為零。2024/2/1535BurhanSalay@PhysicsofXJU注意,這里約束力所作的真實的功并不為零,因為真實位移dr

滿足它并不垂直于曲面的法向。

約束力的虛功為零,

這完全是因為虛位移在“凍結”了的(

t＝0

)曲面的切平面上。例3:剛性約束。剛體中兩質點的徑矢分別為

ri和

rj,則約束方程為：因約束力是一對內力,大小相等方向相反,即

Ri＝－Rj＝

(ri－rj).由約束方程可知虛位移滿足因此，約束力的虛功2024/2/1536BurhanSalay@PhysicsofXJU3、虛功原理當系統(tǒng)處于平衡（加速度為零，即a=0）時,系統(tǒng)每一質點都是處于平衡。這樣,作用于第

i個質點的主動力

Fi和約束力

Ri

的合力應為零,即于是,作用于第

i

質點所有各力的虛功之和為零2024/2/1537BurhanSalay@PhysicsofXJU在理想約束條件下,如果系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),則其平衡條件為用這個方程來描述靜力學平衡問題稱為虛功原理。顯然:當一個只有理想約束的系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時,作用于該系統(tǒng)的所有主動力的虛功之總和為零。

其實,即使是非理想的約束，仍然可以使用虛功原理。只要把F

理解為既包括主動力又包括非理想約束反力即可。分量式矢量式2024/2/1538BurhanSalay@PhysicsofXJU4、d’Alembert原理當系統(tǒng)內質點處在任意運動狀態(tài)（加速度非零，即a<>0）時,可以認為每一質點都是處于動態(tài)平衡。即,作用于第

i個質點的主動力

Fi、約束反力

Ri

和所謂的d’Alembert慣性力的合力應為零,即

(d’Alembert原理)于是,作用于第

i

質點所有各力的虛功之和為零2024/2/1539BurhanSalay@PhysicsofXJU在理想約束條件下,如果系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),則其平衡條件為用這個方程來描述動態(tài)平衡問題稱為虛功原理。顯然:當一個只有理想約束的系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時,作用于該系統(tǒng)的所有主動力的虛功之總和為零。

其實,即使是非理想的約束，仍然可以使用虛功原理。只要把F

理解為既包括主動力又包括非理想約束反力即可。分量式矢量式2024/2/1540BurhanSalay@PhysicsofXJU5、廣義坐標下的虛功原理由于虛位移不獨立,因而上述虛功原理不能消除虛位移來得出平衡時系統(tǒng)的受力。為解決這個困難,采用廣義坐標。任何一個質點的矢徑

ri都可用

s個廣義坐標表示,質點虛位移也可用廣義坐標的虛位移(廣義虛位移)表示,這樣在廣義坐標中得到平衡方程為:2024/2/1541BurhanSalay@PhysicsofXJUQ

是q

的函數(shù)。由于廣義虛位移是相互獨立的,所以Q

叫做廣義力。它的數(shù)目和力學體系的自由度數(shù)相等。6、主動力為保守力的情況在主動力是保守力的情況下,廣義力Q

的表達式很容易求得。并且此時平衡方程為上式具有鮮明的物理意義:保守力作用下的力學系統(tǒng)，如處于平衡，則勢能取極值。2024/2/1542BurhanSalay@PhysicsofXJU這時Newton第二定理仍可改寫為（基本形式的拉氏方程）：

令

L=T-U

（代表體系的動能與勢能之差），則：這樣(6)式變?yōu)椋?/p>

（2.21a）

（2.21）——保守系的拉格朗日方程

L=T-U

叫做拉格朗日函數(shù)，簡稱拉氏函數(shù)。（2.21b）

2024/2/1543BurhanSalay@PhysicsofXJU總結：拉格朗日方程的應用由拉格朗日方程解力學問題的步驟（以保守力系為例）：

1)確定力學體系的自由度s；

2)適當選取描述力學體系運動的廣義坐標；

3)寫出力學體系的動能T與勢能V，寫出拉氏函數(shù)L；

4)代入拉氏方程，得出力學體系的運動微分方程；

5)解方程，并討論結果。

拉氏函數(shù)L等于力學體系的動能與勢能之差，它是力學體系的一個特性函數(shù)，表征著約束、運動狀態(tài)、相互作用等性質。用拉氏方程解題時，正確寫出系統(tǒng)的拉氏函數(shù)是關鍵。

2024/2/1544BurhanSalay@PhysicsofXJU用拉格朗日方程是運動微分方程的一種表述形式，其優(yōu)點有：對約束的處理使方程數(shù)減少；表述形式統(tǒng)一；適用范圍普遍；用標量能量函數(shù)描述運動易于處理;

處理方法可以歸納為一種固定格式，易于掌握。拉格朗日方程(用于保守系)拉格朗日函數(shù)為L=T-U，簡稱拉氏函數(shù)。2024/2/1545BurhanSalay@PhysicsofXJU例1：一質點在主動力F的作用下，作平面運動，求它對應于平面極坐標的廣義力。解法1：利用虛功的表達式：虛功：

所以對應廣義坐標的廣義力：在平面極坐標系中：2024/2/1546BurhanSalay@PhysicsofXJU又解：利用廣義力的定義式：所以對應廣義坐標的廣義力：2024/2/1547BurhanSalay@PhysicsofXJUThankYou！今日作業(yè)：P22:1,2,5抄寫P9、P14的例題2024/2/1548BurhanSalay@PhysicsofXJU第一篇低速宏觀物體的運動-理論力學

第一章低速宏觀運動的基本原理§1.1.0緒論、質點運動學和質點動力學§1.1.1無約束質點的拉格朗日方程§1.1.2有約束情況下的拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理§1.1.4伽利略相對性，自由質點的拉格朗日函數(shù)§1.1.5習題2024/2/1549BurhanSalay@PhysicsofXJU

分析力學Analytical

Mechanics

用廣義坐標描述質點系。以虛位移原理和達朗貝爾原理為基礎，運用數(shù)學分析方法研究宏觀現(xiàn)象中的力學問題。

1788年，J.-L.拉格朗日寫的《分析力學》一書，為這門學科奠定了基礎。

1834年和1843年W.R.哈密頓分別又建立了哈密頓原理和正則方程，把分析力學推進了一步。

1894年，H.R.赫茲提出把約束和系統(tǒng)分成完整的和非完整的兩大類，從此開始非完整系統(tǒng)分析力學的研究。分析力學的基本內容是闡述力學的普遍原理，由這些原理出發(fā)導出質點系的基本運動微分方程，并研究這些方程本身以及它們的積分方法。2024/2/1550BurhanSalay@PhysicsofXJUoxyAB2024/2/1551BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1552BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1553BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1554BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1555BurhanSalay@PhysicsofXJU若拉格朗日函數(shù)為用哈密頓原理可導出完整保守力系的拉格朗日方程為：2024/2/1556BurhanSalay@PhysicsofXJUpABDh2h1irxn1n2S1S1’θθθS22024/2/1557第一篇低速宏觀物體的運動-理論力學

第一章低速宏觀運動的基本原理§1.1.0緒論、質點運動學和質點動力學§1.1.1無約束質點的拉格朗日方程§1.1.2有約束情況下的拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理§1.1.4伽利略相對性，自由質點的拉格朗日函數(shù)§1.1.5習題2024/2/1558BurhanSalay@PhysicsofXJU正變換在兩個慣性系中分析描述同一物理事件(event)。一、伽利略變換OZXYO'Z'(X')Y'vP(x,y,z)?在t＝t時刻，物體運動到P點。

在t＝0時刻，物體在O點,系重合；Z2024/2/1559BurhanSalay@PhysicsofXJU逆變換

伽利略坐標變換式

伽利略速度變換式

伽利略加速度變換式

牛頓定律不變性結論：在一切慣性系中，經(jīng)典力學中的時空是絕對的。(絕對時空觀)?時間是絕對的?空間是絕對的?時空相互分離2024/2/1560BurhanSalay@PhysicsofXJUY'X'O’二、力學相對性原理

(GalileanPrincipleofRelativity)結論1：光速可變，并與光源運動相關。XOYv系光速各向異性

光沿系Y軸傳播的速度:

光沿系X軸傳播的速度在系光速各向同性，則在

系中就不再各向同性了。

牛頓力學定律在所有慣性系中都是相同的。

一個相對于慣性系作勻速直線運動的參考系，在其內部所發(fā)生的一切力學過程，都不受該系統(tǒng)作勻速直線運動的影響。2024/2/1561BurhanSalay@PhysicsofXJU拉氏函數(shù)寫法如下：

1）選取適當?shù)淖鴺讼?，將系統(tǒng)中所有質點（或剛體）看作自由質點（或剛體），寫出系統(tǒng)的動能和勢能的表達式。

自由質點在各種坐標系下的動能表達式：*直角坐標系：*平面極坐標系：*柱坐標系：*球坐標系：

對于剛體，由柯尼希定理寫出它的動能表達式：2024/2/1562BurhanSalay@PhysicsofXJU例1.

質量為m1的滑塊，可以沿水平軸x自由滑動（不受摩擦），質量為m2的小球，用長為l的輕桿與滑塊相連，輕桿可以在鉛直平面內擺動，試求該系統(tǒng)的運動微分方程和首次積分。解：該系統(tǒng)的自由度為2，建立固定坐標系o---xy，選滑塊的水平位置x1和輕桿對鉛垂線的擺角為兩個廣義坐標，如圖所示。小球的坐標為：

小球的速度分量為：

體系的動能為：

2024/2/1563BurhanSalay@PhysicsofXJU體系的拉格朗日函數(shù)為：

作用在體系上的主動力是保守力m1g和m2g，選過x軸的水平面為零勢面，其勢能為：即：2024/2/1564BurhanSalay@PhysicsofXJU代入拉氏方程：

得體系的運動微分方程為：因為拉格朗日函數(shù)L中不顯含x1，x1是循環(huán)坐標，故可得一循環(huán)積分，即對應循環(huán)坐標x1的廣義動量守恒：因為L中不顯含時間t，且約束是穩(wěn)定的，所以可得一能量積分，即體系的機械能守恒：2024/2/1565BurhanSalay@PhysicsofXJUThankYou！今日作業(yè)：P22:

8,11寫本章的總結2024/2/1566BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1567BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1568BurhanSalay@PhysicsofXJUGalileo(1564-1642)：建立拋物運動基本理論，理論與實驗驗證相聯(lián)系(當時是全新的科研方法)。Newton(1642-1727)：1687年在Principia中提出牛三律，與Kepler(1571-1630)行星運動定律一致。建立了質點動力學。Euler(1707-1783)

(1736),d’Alembert

(1717-1783

(1743),Lagrange(1736-1813)(1788）將牛頓定律推廣到剛體動力學中。Naver,Stokes等將牛頓定律推廣到連續(xù)介質力學中。2024/2/1569BurhanSalay@PhysicsofXJU是法國著名的物理學家、數(shù)學家和天文學家，一生研究了大量課題，完成了涉及多個科學領域的論文和專著，其中最著名的有8卷巨著《數(shù)學手冊》、力學專著《動力學》、23卷的

《文集》、《百科全書》的序言等等。他的很多研究成果記載于《宇宙體系的幾個要點研究》中。達朗貝爾生前為人類的進步與文明做出了巨大的貢獻，也得到了許多榮譽。但在他臨終時，卻因教會的阻撓沒有舉行任何形式的葬禮。數(shù)學是達朗貝爾研究的主要課題，他是數(shù)學分析、三角級數(shù)理論、流體力學的主要開拓者。另外，達朗貝爾在復數(shù)的性質、概率論、力學、天文學等方面都有所研究，達朗貝爾為推動數(shù)學的發(fā)展做出了重要的貢獻。達朗貝爾(1717-1783)

達郎貝爾原理2024/2/1570BurhanSalay@PhysicsofXJU預備知識1）求和號“”的運算

a)求和指標的改變，不影響計算結果。b)

指標不同的求和號，前后秩序可交換。c)

與求和指標無關的因子，可放到求和號里面，也可放到求和號外面。d）與求和指標無關的微商（或微分）符號，可以放到求和號里面，也可以放到求和號外面。由以上規(guī)則，有以下關系：

2024/2/1571BurhanSalay@PhysicsofXJU2）求力學量的全微商和偏微商

求全微商：

求偏微商：首先弄清自變量：

只把當作變量，將都當常量，所以有：2024/2/1572BurhanSalay@PhysicsofXJU求對t的微商：

首先弄清自變量：2024/2/1573BurhanSalay@PhysicsofXJU開普勒認識到：任何物體都將給予企圖改變它運動狀態(tài)的其它物體以阻力（慣性力）。當物體受到力的作用，其運動狀態(tài)發(fā)生變化時，由于物體的慣性，對外界產(chǎn)生反作用，抵抗運動的變化。這種抵抗力稱為慣性力。慣性力的大小等于質量乘加速度，方向與加速度相反，作用在使此物體產(chǎn)生加速度的其它物體上。注意：“慣性力的大小等于質量乘加速度”，與重力或萬有引力的性質完全相同?；蛉f有引力與慣性力等價---廣義相對論的等效原理。2024/2/1574BurhanSalay@PhysicsofXJUsFIRFmaxzyOmAR

——約束力；F——主動力；根據(jù)牛頓定律ma＝F+RF+R－ma＝0FI

＝－maF+R＋FI

＝0FI

——質點的慣性力。

非自由質點的達朗貝爾原理作用在質點上的主動力和約束力與假想施加在質點上的慣性力，在形式上組成平衡力系。一、質點的達朗貝爾原理2024/2/1575BurhanSalay@PhysicsofXJU應用達朗貝爾原理求解非自由質點動約束力的方法:1、分析質點所受的主動力和約束力；2、分析質點的運動，確定加速度；3、在質點上施加與加速度方向相反的慣性力。非自由質點達朗貝爾原理的投影形式:質點的達朗貝爾原理叫做動靜法其中2024/2/1576BurhanSalay@PhysicsofXJU非慣性系中的慣性力牽連加速度達朗貝爾慣性力補注：達朗貝爾慣性力與非慣性系慣性力的關系是絕對加速度處理相對運動問題，用方程：動靜法處理絕對運動問題為平衡問題2024/2/1577BurhanSalay@PhysicsofXJU[例]變擺長的擺套在環(huán)上，擺繩原長為l0，以勻速v向下拉小球視為質點，質量為m[解]小球運動的一般位置用角慣性系小球加速度以小球為對象坐標y小球的笛卡兒坐標：2024/2/1578BurhanSalay@PhysicsofXJU真實外力主動力約束力建立此擺的的動力學方程：在這兩個動力學方程中消除約束力后才能求解角坐標的規(guī)律。即，得運動微分方程2024/2/1579BurhanSalay@PhysicsofXJU動靜法小球平衡方程這就是小球動力學方程。定義d’Alembert慣性力真實外力主動力理想約束力2024/2/1580BurhanSalay@PhysicsofXJUa2a1aiF1F2FiR1R2RiFI1FI2FIim1mim2質點系的主動力系質點系的約束力系質點系的慣性力系三、質點組的達朗貝爾原理每個質點的平衡方程這就是質點組的達朗貝爾原理。2024/2/1581BurhanSalay@PhysicsofXJU質點組的達朗貝爾原理的表述：在質點組運動的每一瞬時，作用于質點組上的所有主動力、約束反力與假想地加在質點組上各質點的慣性力構成一平衡力系。--這就叫達朗貝爾原理將此平衡方程代入虛功原理，得這就是在達朗貝爾原理下的虛功原理，它適用于任何靜力學問題和動力學問題。描述的是在理想約束下的最一般的動力學平衡條件。或2024/2/1582BurhanSalay@PhysicsofXJU四、基本形式的拉格朗日方程

由n

個質點所組成的力學體系

或：（1）——達朗伯原理

物理意義：表示主動力Fi、約束反力Ri和因質點有加速度而產(chǎn)生的有效力（慣性力）的平衡，通過這種方法將動力學問題化為靜力學問題來處理——動靜法。用虛位移點乘(1)式，并對i求和，在理想約束的條件下，得：（2）

——達朗伯—拉格朗日方程

2024/2/1583BurhanSalay@PhysicsofXJU推導基本形式的拉格朗日方程：

代入（2）得：將即：<====廣義力

令：則（3）式變?yōu)椋海?）

（4）

2024/2/1584BurhanSalay@PhysicsofXJU現(xiàn)在計算：

T——力學體系的動能由于是互相獨立的，，所以（4）式變?yōu)椋骸拘问降睦窭嗜辗匠蹋?）

2024/2/1585BurhanSalay@PhysicsofXJU基本形式的拉格朗日方程的物理意義：——叫廣義速度，可為線速度、角速度或其它；——叫廣義動量，可為線動量也可為角動量；——叫拉格朗日力?！袕V義力（不包含約束反力），其量綱由表達式?jīng)Q定。長度力面積表面張力電荷電壓等等。體積應力嚴格地講，談到廣義力時，應同時指出與它相應的廣義坐標。2024/2/1586BurhanSalay@PhysicsofXJU五、保守系的拉格朗日方程

對于保守系，必存在勢能V，它是坐標的函數(shù)V(xi,

yi,

zi)，且：廣義力：將所有坐標用廣義坐標表示：2024/2/1587BurhanSalay@PhysicsofXJU這樣基本形式的拉氏方程可改寫為：

令

L=T-V

（代表體系的動能與勢能之差），則：這樣(6)式變?yōu)椋?/p>

（6）

（7）——保守系的拉格朗日方程

L=T-V

叫做拉格朗日函數(shù)，簡稱拉氏函數(shù)。2024/2/1588BurhanSalay@PhysicsofXJU例2（周衍柏習題5.8）一光滑細管可在豎直平面內繞通過其一端的水平軸以勻角速轉動，管中有一質量為m的質點，開始時，細管取水平方向，質點距轉動軸的距離為a，質點相對于管的速度為v0，試由拉格朗日方程求質點相對于管的運動規(guī)律。解：如圖所示，取管軸為動坐標系的x軸，自由度s=1，選q=x，質點的相對速度為：牽連速度為：質點的動能：

質點的勢能：

（以通過O點的水平線為零勢線）

拉氏函數(shù)為：

2024/2/1589BurhanSalay@PhysicsofXJU代入拉氏方程：即：齊次方程的通解：非齊次方程的特解為：代入初始條件：

得：

故質點沿管的運動規(guī)律為：2024/2/1590BurhanSalay@PhysicsofXJU六、循環(huán)積分

一般地講，如果拉氏函數(shù)L中不顯含某一廣義坐標，則

:由拉氏方程得：

即：常數(shù)（廣義動量）。

——稱為循環(huán)坐標或可遺坐標。對于任一循環(huán)坐標，都有一對應的積分，叫做循環(huán)積分。例如：質量為m的質點，在平方反比引力場中運動時，用而平方反比引力的勢能為：

極坐標表示它的動能為：2024/2/1591BurhanSalay@PhysicsofXJU所以拉氏函數(shù)為：

有心力問題有兩個自由度，在極坐標系中：現(xiàn)在所求出的L中卻沒有，在這里就是一個循環(huán)坐標，對應這一循環(huán)坐標的循環(huán)積分為：

=常數(shù)即質點相對于力心的動量矩守恒。注意：拉氏函數(shù)L中不含某一廣義坐標，并不意味著也不含對應這一廣義坐標的廣義速度。拉氏函數(shù)L

中不含某一廣義坐標時，對應這一廣義坐標的廣義動量為常數(shù)，但廣義速度一般并不是常數(shù)。

2024/2/1592BurhanSalay@PhysicsofXJU七、能量積分

假設有一個完整的、保守的力學體系，體系有s個自由度，先求出用廣義坐標及廣義速度所表示的動能：2024/2/1593BurhanSalay@PhysicsofXJU式中T2、T1、T0分別是廣義速度的二次、一次和零次函數(shù)，系數(shù)一般都是廣義坐標

及時間t的函數(shù)。

如果力學體系是穩(wěn)定的，ri

中不顯含時間t，因而，即：，a=0，于是動能T將僅是廣義速度的二次齊次函數(shù)，即：T=T2

。如果T=T2，而且也不顯含時間t，那么：各項乘以，然后對求和得：

第一項：代入上式得：2024/2/1594BurhanSalay@PhysicsofXJU歐拉齊次函數(shù)定理：齊次函數(shù)的偏導數(shù)各乘以相應的變量，相加起來，就等于這函數(shù)乘上它的次數(shù)。動能T是廣義速度的二次齊次函數(shù)，根據(jù)歐拉齊次函數(shù)定理知：

若拉氏函數(shù)中不顯含時間t，T和V都不是時間t的顯函數(shù)，所以：（1）（3）（2）將（2）（3）代入（1）式得：

2024/2/1595BurhanSalay@PhysicsofXJU得到能量積分的條件：一個完整的、保守的力學體系，拉氏

函數(shù)L中不顯含時間t，且約束是穩(wěn)定的。即：積分得到：T+V=E

—這就是力學體系的能量積分。

如果拉氏函數(shù)L中不顯含時間t，但約束是非穩(wěn)定的，即動能并不是廣義速度的二次齊次函數(shù)，即：T=T2+T1+T0

，那么：

將上式代入（1）式得：

2024/2/1596BurhanSalay@PhysicsofXJU

并不代表動能，h

雖然也是常數(shù)，但并不代表總機械能量，這與前面的E不同。從形式上看，h不是能量積分，但是，因為它與能量積分類似，所以它被稱為廣義能量積分。積分得：

由此可見，即使主動力都是保守力，拉格朗日方程也不一定給出能量積分，除非約束是穩(wěn)定的。這一結果的一種解釋是：因為在不穩(wěn)定約束的情況下，約束反力可以作實功（而總虛功之和仍為零-理想約束），然而在拉格朗日方程中并不含有約束反力，這就產(chǎn)生了如上的差異。2024/2/1597BurhanSalay@PhysicsofXJU

2）利用約束關系或坐標變換關系，找出各坐標變量與廣義坐標的關系，將動能和勢能用廣義坐標和廣義速度表示，即得拉氏函數(shù)。

注意：對非穩(wěn)定約束情況，有時用動坐標系來寫出拉氏函數(shù)較方便，在這種情況下，速度要用相對靜止坐標系的絕對速度，勢能也應以靜系中的固定點為參考點計算。計算廣義力有三種方法：

3)對保守力系：

2)利用虛功：

1)利用廣義力的定義式：2024/2/1598BurhanSalay@PhysicsofXJU例1（5.12）.

均質桿AB，質量為m，長為2a，其A端可在光滑水平槽上運動，而棒本身又可在豎直面內繞A端擺動，如除重力作用外，B端還受有一水平的力F的作用，試用拉格朗日方程求其運動微分方程。如擺的角度很小，則又如何？解：系統(tǒng)自由度為2，如圖所示,選取為廣義坐標由科尼希定理知棒的動能為：

K為棒繞質心c轉動的回轉半徑。

棒質心坐標：

2024/2/1599BurhanSalay@PhysicsofXJU虛功：

所以廣義力為：

2024/2/15100BurhanSalay@PhysicsofXJU代入基本形式的拉格朗日方程：得運動微分方程為：若很小，則

。這里：

則運動微分方程為：2024/2/15101BurhanSalay@PhysicsofXJU例2：

均勻桿OA，重P1，長為l1，能在豎直平面內繞固定鉸鏈O轉動，此桿的A端用鉸鏈連另一重P2，長為l2

的均勻桿AB，在AB桿的B端加以水平力F，求平衡時此二桿與水平線所成的角度及，如圖所示。解：自由度s=2，選和為兩個廣義坐標。由虛功原理得：（1）

2024/2/15102BurhanSalay@PhysicsofXJU代入（1）式得：

因為：是互相獨立的，故得：所以：2024/2/15103BurhanSalay@PhysicsofXJU

例3.一滑輪可繞通過輪心的水平軸轉動，在此