圖形模型構(gòu)建---

最短路徑問題澤普縣第五中學(xué)趙停仙lABCB′如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，可使所用的輸氣管道線最短？在連接AB′兩點(diǎn)的線中，線段AB′最短.因此，線段AB′與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求.作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．問題回顧在直線l上任取另一點(diǎn)C′，連接AC′、BC′、B′C′．∵直線l是點(diǎn)B、B′的對稱軸，點(diǎn)C、C′在對稱軸上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，

∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最?。甽ABCB′C′證明：如圖.根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.“將軍飲馬”問題

這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個(gè)百思不得其解的問題：

將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？

這就是被稱為"將軍飲馬"而廣為流傳的問題。A?

?B①A、B兩點(diǎn)在直線異側(cè)lA?

?Bl

PA+PB的最小值為AB的值

P②A、B兩點(diǎn)在直線同側(cè)A?B?A?

PA'?

?B模型1、”兩線一點(diǎn)”型模型2、”兩線一點(diǎn)”型

?Pl2

P'?

PM+MN+PN的最小值為P'P''值l1

?Pl2l1?P''MN使△PMN的周長最小不動(dòng)

?Pl2l1

?Q3、“兩點(diǎn)兩線”型：

P'?PQ長度固定.PM+MN+NQ的最小值為P'Q'值?Q'MN②使四邊形PMNQ的周長最小

?Pl2l1

?Q不動(dòng)BAA1MN連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，模型4、造橋選址問題BA如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.喬造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.

已知正方形ABCD的邊長為4，F(xiàn)為BC邊的中點(diǎn)，P為對角BD上的一動(dòng)點(diǎn)，要使PF+PC的值最小，試確定點(diǎn)P的位置，并求出最小值。

應(yīng)用----模型1如圖,草地邊緣OM與小河河岸ON在點(diǎn)O處形成30°的夾角,牧馬人從A地出發(fā),先讓馬到草地吃草,然后去河邊飲水,最后回到A地.已知OA=2km,請?jiān)趫D中設(shè)計(jì)一條路線,使所走的路徑最短,并求出整個(gè)過程所行的路程.

應(yīng)用----模型2如圖，在矩形ABCD中，F(xiàn)是BC的三等分點(diǎn)，E是AB的二等分點(diǎn)，在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長最??？如果存在,求出周長的最小值;如果不存在,請說明理由.EFE/F/MN應(yīng)用----模型3例如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A，B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x－2經(jīng)過點(diǎn)A、C.拋物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸為直線l.(1)求拋物線的表達(dá)式、頂點(diǎn)D的坐標(biāo)及對稱軸l；中考鏈接(2)設(shè)點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G，使得GD＋GB的值最小，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)在直線l上是否存在一點(diǎn)F，使得△BCF的周長最小，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△BCF周長的最小值；若不存在，請說明理由；(4)點(diǎn)S為y軸上任意一點(diǎn)，K為直線AC上一點(diǎn)，連接BS，BK，是否存在點(diǎn)S，K使得△BSK的周長最小，若存在，求出S，K的坐標(biāo)，并求出△BSK周長的最小值；若不存在，請說明理由；例如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A，B(1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x－2經(jīng)過點(diǎn)A、C.拋物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸為直線l.(1)求拋物線的表達(dá)式、頂點(diǎn)D的坐標(biāo)及對稱軸l；典例精析(1)解：對于直線y＝x－2，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝－2，∴點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)C(0，－2)，將點(diǎn)A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)得到拋物線(2)設(shè)點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G，使得GD＋GB的值最小，若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【溫馨提示】要使GD＋GB的值最小，一般是通過軸對稱作出對稱點(diǎn)來解決．

解：存在．如解圖，要使GD＋GB的值最小，取點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′，點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(－1，0)．連接B′D，直線B′D與y軸的交點(diǎn)G即為所求的點(diǎn)，B′G(3)在直線l上是否存在一點(diǎn)F，使得△BCF的周長最小，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及△BCF周長的最小值；若不存在，請說明理由；【溫馨提示】要使△BCF周長最小，BC長為定值，即要使CF＋BF的值最小．存在．要使△BCF的周長最小，即BC＋BF＋CF最小，如解圖所示，連接BC.在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理得BC＝＝，為定值，∴當(dāng)BF＋CF最小時(shí)，△BCF的周長最小，∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱，∴AF＝BF，則BF＋CF＝AF＋CF，∴直線AC與對稱軸l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)F，連接BF，將x＝代入直線y＝x－2，得y＝×－2＝－，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，－)，在Rt△AOC中，由AO＝4，OC＝2，根據(jù)勾股定理得AC＝＝2，∴△BCF周長的最小值為BC＋AC＝3；(4)點(diǎn)S為y軸上任意一點(diǎn)，K為直線AC上一點(diǎn)，連接BS，BK，是否存在點(diǎn)S，K使得△BSK的周長最小，若存在，求出S，K的坐標(biāo)，并求出△BSK周長的最小值；若不存在，請說明理由；【溫馨提示】要求△BSK周長的最小值，可分別作點(diǎn)B關(guān)于y軸和直線AC的兩個(gè)對稱點(diǎn)B′、B″，連接B′B″與y軸和直線AC交點(diǎn)即為使得△BSK的周長最小的點(diǎn)S、K，最小值即線段B′B″的長．課堂小結(jié)說說你的收獲……考察知識點(diǎn)：

；兩點(diǎn)之間線段最短，點(diǎn)關(guān)于直線對稱，中垂線的性質(zhì)等；數(shù)學(xué)思想：

；數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)模型思想等；數(shù)學(xué)模型：

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已知直線l和l的同側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線上求作點(diǎn)P，使PA+PB最小。

1.如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC邊中點(diǎn)，E是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則EC＋ED的最小值為________．針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練2.如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE＋PB的最小值為________．3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCD的周長最小時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

針對訓(xùn)練4、如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為A(1，4)